Derivadas de Funciones Trigonométricas

Objetivos

En esta Sección, aprenderás las derivadas de las funciones trigonométricas básicas.

Concepto

Las funciones $\sin x$ y $\cos x$ son periódicas, con periodo $2\pi$ . Has aprendido que la derivada de una función diferenciable da la pendiente de la recta tangente en un punto. Antes de proseguir con esta lección, observa las curvas de función de las dos funciones y ve si puedes identificar algún punto donde sepas que estará la derivada. Para cada función, ¿estos conjuntos de puntos se repiten a medida que $x$ se incrementa o disminuye? ¿Qué tan seguido? ¿Puedes hacer una afirmación general sobre las derivadas de las funciones trigonométricas?

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*Este video solo está disponible en inglés

http://www.youtube.com/watch?v=aFcYYT26tCo - Video Tutoriales de Matemáticas por James Sousa, La Derivada Del Seno y el Coseno (9:20)

Este video (solo en inglés) presenta las funciones de la derivada del seno y el coseno. También proporciona varios ejemplos de cómo determinar la derivada de funciones que contienen seno y coseno.

http://mathispower4u.wordpress.com/

Orientación

Ahora queremos encontrar una expresión para la derivada de cada una de las seis funciones trigonométricas:

$& \sin x\quad \cos x \quad \tan x\\& \csc x\quad \sec x\quad \cot x$

Primero consideremos el problema de diferenciar $\sin x$ , usando la definición de la derivada.

$\frac{d}{dx}[\sin x]=\lim_{h \to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}$

Puesto que

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha \sin\beta.$

La derivada se vuelve

$\frac{d}{dx}[\sin x]&=\lim_{h \to 0}\frac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}\\&=\lim_{h \to 0}\left[\sin x\left(\frac{\cos h-1}{h}\right)+\cos x\left(\frac{\sin h}{h}\right)\right]\\&=-\sin x\cdot\lim_{h \to 0}\left(\frac{1-\cos h}{h}\right)+\cos x\cdot\lim_{h \to 0}\left(\frac{\sin h}{h}\right)\\&=-\sin x\cdot(0)+\cos x\cdot(1)\\&=\cos x.$

$\frac{d}{dx}[\sin x] &=\lim_{h \to 0}\frac{\sin x \cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}\\&=\lim_{h \to 0}\left [ \sin x\left(\frac{\cos h-1}{h}\right)+\cos x\left(\frac{\sin h}{h}\right) \right ]\\&=-\sin x\cdot \lim_{h \to 0}\left(\frac{1-\cos h}{h}\right)+\cos x\cdot \lim_{h \to 0}\left(\frac{\sin h}{h}\right)$

Veamos $\lim_{h \to 0}\frac{1-\cos(h)}{h}$ y $\lim_{x \to 0}\frac{\sin(h)}{h}$ . Aunque hay métodos analíticos que pueden usarse para evaluar estos dos limites, veamos los gráficos de función y los datos de las tablas. Los gráficos de las dos funciones y algunos datos de tablas realizados con calculadora se muestran a continuación. Una inspección de estos datos cerca de $x=0$ pareciera mostrar que los limites son:

$\lim_{x \to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}=0$ y $\lim_{h \to 0}\frac{\sin(h)}{h}=1$

Los resultados anteriores pueden confirmarse analíticamente.

$x(rad)$	-0.001	-0.0001	0	0.0001	0.0001
$f(x)$	-0.0005	-0.00005	Error	0.00005	0.0005
$g(x)$	0.99999833	0.999999998	Error	0.999999998	0.99999833

Por tanto,

$\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$ .

Dejemos como ejercicio probar que $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$ .

Las derivadas de las funciones trigonométricas restantes se muestran en la siguiente tabla.

Derivadas de Funciones Trigonométricas

$& \frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x && \frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x && \frac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x\\&\frac{d}{dx}[\csc x]=-\csc x\cot x && \frac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x && \frac{d}{dx}[\cot x]=-\csc^2 x$

Ten en cuenta que el argumento $x$ para todas las funciones trigonométricas se mide en radianes.

Ejemplo A

Muestra que $\frac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x.$

Solución:

Es posible probar esta relación por la definición de la derivada. Sin embargo, usaremos un método más simple.

Puesto que

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},$

entonces

$\frac{d}{dx}[\tan x]=\frac{d}{dx}\left[\frac{\sin x}{\cos x}\right]$

Usando la regla del cociente,

$&=\frac{(\cos x)(\cos x)-(\sin x)(-\sin x)}{\cos^2 x}\\&=\frac{\cos^2x+\sin^2 x}{\cos^2 x}\\&=\frac{1}{\cos^2 x}\\&=\sec^2 x$

Ejemplo B

Halla $f^\prime(x)$ sí $f(x)=x^2\cos x+\sin x$ .

Solución:

Usando la regla del producto y las formulas anteriores, obtenemos

$f^\prime(x) &=x^2(-\sin x)+2x\cos x+\cos x\\&=-x^2\sin x+2x\cos x+\cos x.$

Ejemplo C

Encuentra $\frac{dy}{dx}$ si $y=\frac{\cos x}{1-\tan x}$ . ¿Cuál es la pendiente de la recta tangente en $x=\frac{\pi}{3}$ ?

Solución:

Usando la regla del cociente y las formulas anteriores, obtenemos

$\frac{dy}{dx}&=\frac{(1-\tan x)(-\sin x)-(\cos x)(-\sec^2x)}{(1-\tan x)^2}\\&=\frac{-\sin x+\tan x\sin x+\cos x\sec^2 x}{(1-\tan x)^2}$

Para calcular la pendiente de la recta tangente, simplemente sustituimos $x=\frac{\pi}{3}$ :

$\frac{dy}{dx}\bigg |_{x=\frac{\pi}{3}}=\frac{-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)+\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\sec^2\left(\frac{\pi}{3}\right)}{\left(1-\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)^2}.$

Finalmente, vemos que la pendiente es aproximadamente

$\frac{dy}{dx}\bigg |_{x=\frac{\pi}{3}}=4.9.$

Análisis del Problema de la Sección

Ve si puedes identificar algún punto donde conoces la derivada de $\sin x$ y $\cos x$ : Cada función tiene dos lugares en el intervalo $0\le x\le 2\pi$ donde la recta tangente tiene una pendiente de 0.

Para cada función, ¿estos conjuntos de puntos se repiten a medida que $x$ aumenta o disminuye? Si, estos puntos de pendiente 0 se repiten en cada función.

¿Qué tan seguido? El par de puntos de pendiente 0 se repite con un periodo de $2\pi$ .

¿Puedes hacer una afirmación general sobre las derivadas de las funciones trigonométricas? Debido a que los valores de función se repiten en cada periodo, la derivada de cada función en un punto específico también debería repetirse con periodo $2\pi$ .

Práctica Guiada

Encuentra $\frac{dy}{dx}$ si $y=\frac{\cot x}{\sin x}$ .

Solución:

$\frac{d}{dx}\left[\frac{\cot x}{\sin x}\right] & =\frac{\sin x\frac{dy}{dx}[\cot x]-\cot x\frac{dy}{dx}[\sin x]}{\sin^2 x} && \text{{....}Quotient Rule}\\& =\frac{\sin x\cdot[-\csc^2 x]-\cot x\cdot[\cos x]}{\sin^2 x} && \text{{.....}Trigonometric derivatives}\\& = \frac{-\sin x\cdot[\csc^2 x+\cot^2 x]}{\sin^2 x}&& \text{{.....}Factor} -\sin x\\& = -\csc x\cdot[1+\cot^2 x+\cot^2 x]&& \text{{....}Simplify and use trig identities}\\& = -\csc x\cdot[1+2\cot^2 x]$

Por tanto, $\frac{dy}{dx}=-\csc x\cdot[1+2\cot^2 x]$ .

Práctica

Encuentra la derivada $y^\prime$ de las siguientes funciones:

1. $y=x\sin x+2$

2. $y=x^2\cos x-x\tan x-1$

3. $y=\sin^2 x$

4. $y=\frac{\sin x-1}{\sin x+1}$

5. $y=\frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}$

6. $y=\frac{\sqrt{x}}{\tan x}+2$

7. $y=\csc x\sin x+x$

8. $y=\frac{\sec x}{\csc x}$

9. Si $y=\csc x$ , encuentra $y^\prime\left(\frac{\pi}{6}\right)$ .

10. $y=x^5 \cos(x)$ ?

11. ¿Cuál es la derivada de $x^2\csc(x)$ ?

12. ¿Cuál es la derivada de $\csc(x)\tan(x)$ ?

13. Usa la regla del cociente para verificar que la derivada de $\sec(x)$ es $\sec(x)\tan(x)$ .

14. ¿Cuál es la derivada de $\cot\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$ ?

15. ¿Cuál es la derivada de $\csc^2(x)-\cot^2(x)$ ?

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