Reglas de Diferenciación: La Regla de la Cadena

Objetivos

En esta Sección, aprenderás la regla de diferenciación de la cadena y como aplicarla al calcular la derivada de una variedad de funciones compuestas.

Concepto

La Regla de la Cadena nos permite diferenciar una función compuesta $f \circ g$ . Pero, ¿por qué es necesario tener una forma especial para determinar la derivada de una función compuesta? Intuitivamente, es porque la variación del dominio de $f$ ahora está gobernada por la función $g(x)$ en vez de solo por $x$ , Además, la tasa de cambio de $g$ con respecto a $x$ debería ser tomada en cuenta de alguna forma. Antes de proceder, ve si encuentras el efecto de $g$ al comparar la derivada de $f(x)=x^2$ con la derivada de $f(x)=(5x)^2$ donde $g(x)=5x$ .

Mira Esto

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Orientación

Queremos derivar una regla para la derivada de una función compuesta de la forma $f\circ g$ en lo que respecta a las derivadas de $f$ y $g$ . Esta regla nos permitiría diferenciar funciones complicadas en términos de derivadas conocidas de funciones más simples. La regla que nos permite hacer esto se llama la Regla de la Cadena.

La Regla de la Cadena

Si $g$ es una función diferenciable en $x$ , y $f$ es diferenciable en $g(x)$ , entonces la función compuesta $f \circ g=f(g(x))$ es diferenciable en $x$ . La derivada de la función compuesta es:

$(f \circ g)^\prime (x)=f^\prime(g(x))g^\prime(x).$

O una expresión equivalente:

Si $u=u(x)$ y $f=f(u)$ , entonces $\frac{d}{dx}[f(u)]=f^\prime (u) \frac{du}{dx}$

O otra expresión equivalente:

Si $y$ es una función de $u$ , y $u$ es una función de $x$ , entonces

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

Ejemplo A

Diferencia $f(x)=(2x^3-4x^2+5)^2$ .

Solución:

Usando la regla de la cadena, deja $u=2x^3-4x^2+5$ . Entonces

$\frac{d}{dx}[(2x^2-4x^2+5)^2]&= \frac{d}{dx}[u^2] \\&= 2 u \frac{du}{dx} \\&= 2(2x^3-4x^2+5)(6x^2-8x).$

El ejemplo anterior es uno de los tipos más comunes de funciones compuestas. Es una función de potencia del tipo

$y=[u(x)]^n$ .

La regla para diferenciar tales funciones se llama la Regla General de Potencia. Es un caso especial de la Regla de la Cadena.

La Regla General de Potencia

Si $y=[u(x)]^n$ , entonces $\frac{dy}{dx}=n[u(x)]^{n-1} \frac{d}{dx}u(x)$

Ejemplo B

¿Cuál es la pendiente de la recta tangente a la función $y=\sqrt{x^2-3x+2}$ que pasa por el punto $x=3$ ?

Solución:

Podemos escribir $y=(x^2-3x+2)^{\frac{1}{2}}$ . Este ejemplo ilustra el punto de que $n$ puede ser cualquier número real, incluyendo fracciones. Usando la Regla General de Potencia,

$\frac{dy}{dx}&= \frac{1}{2}(x^2-3x+2)^{\frac{1}{2}-1}(2x-3) \\&= \frac{1}{2}(x^2-3x+2)^{-\frac{1}{2}}(2x-3) \\ &= \frac{(2x-3)}{2\sqrt{x^2-3x+2}}$

Para hallar la pendiente de la recta tangente, simplemente sustituimos $x=3$ en la derivada:

$\frac{dy}{dx} \bigg|_{x=3}=\frac{2(3)-3}{2\sqrt{3^2-3(3)+2}}=\frac{3}{2\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{4}.$

Ejemplo C

Halla $\frac{dy}{dx}$ para $y=\sin^3 x$ .

Solución:

La función puede escribirse como $y=[\sin x]^3$ . Por tanto

$\frac{dy}{dx}&= \frac{d}{dx}[\sin x]^3 \\&= 3[\sin x]^2 [\cos x] \\&= 3 \sin x^2 \cos x$

Análisis del Problema de la Sección

La tarea era ver si encontrabas el efecto de $g$ al comparar la derivada de $f(x)=x^2$ con la derivada de $f(x)=(5x)^2$ donde $g(x)=5x$ . La derivada de $f(x)=x^2$ es $f^\prime (x)=2x$ , y la derivada de $f(x)=(5x)^2$ es $f^\prime (x)=2(5x)5=2x \cdot 25$ . El efecto de $g$ en la función compuesta es cambiar la tasa de cambio de $f(x)=x^2$ .

Vocabulario

La Regla de la Cadena es el método para calcular la derivada de una función compuesta.

Práctica Guiada

Halla $\frac{dy}{dx}$ para $y=[\cos (\pi x^2)]^3$ .

Solución:

Este ejemplo mostrará la aplicación de la regla de la cadena muchas veces debido a que hay varias funciones incrustadas una dentro de otra.

La función $y$ puede escribirse en la forma

$y=(u(w))^3$ , donde

$u(w)&= \cos(w) \\w(x)&= \pi x^2$

Estos son los pasos para la solución:

$\frac{dy}{dx}&=\frac{d}{dx}[u(w)^3] \quad &&\ldots \text{Use} \ u \ \text{and} \ w \ \text{substitutions}. \\&=3 \cdot u(w)^2 \cdot \frac{du}{dx} \quad &&\ldots \text{After using the General Power Rule} \\&=3 \cdot u(w)^2 \cdot \left ( \frac{du}{dw} \cdot \frac{dw}{dx}\right ) \quad &&\ldots \text{After using the Chain Rule for} \frac{du}{dx} \\&=3 \cdot u(w)^2 \cdot [-\sin (w) \cdot 2 \pi x] \quad &&\ldots \text{After evaluating} \ \frac{du}{dw} \ \text{and} \ \frac{dw}{dx} \\&=3[\cos (\pi x^2)]^2 \cdot (-\sin (\pi x^2) \cdot 2 \pi x) \quad &&\ldots \text{After substituting for} \ u \ \text{and} \ w. \\&=-6 \pi x[\cos (\pi x^2)]^2 \sin(\pi x^2) \quad &&\ldots \text{After simplification}.$

Nótese que primero usamos la Regla General de Potencia y luego usamos la Regla de la Cadena, para en el último paso sacar la derivada de la expresión.

Práctica

Halla $f^\prime (x)$ :

1. $f(x)=(2x^2-3x)^{39}$

2. $f(x)=\left ( x^3-\frac{5}{x^2}\right )^{-3}$

3. $f(x)=\frac{1}{\sqrt{3x^2-6x+2}}$

4. $f(x)=\sin^3 x$

5. $f(x)=\sin x^3$

6. $f(x)=\sin^3 x^3$

7. $f(x)=\tan(4x^5)$

8. $f(x)=\sqrt{4x- \sin^2 2x}$

9. $f(x)=\frac{\sin x}{\cos(3x-2)}$

10. $f(x)=(5x+8)^3(x^3+7x)^{13}$

11. $f(x)=\left ( \frac{x-3}{2x-5}\right )^3$

12. Halla $\frac{dy}{dx}$ para $y=5 \cos(3x^2-1)$ .

13. Encuentra la derivada de $\sqrt{x^3+x^5+89}$ .

14. Encuentra la derivada de $\sin(\sin(\sin(x)))$ .

15. Por definición, cualquier función compuesta por su inverso es solo su identidad: $f(f^{-1}(x))=x$ . Diferencia ambos lados de esta ecuación y resuelve algebraicamente por el derivado de la inversa.

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