Derivados de Funciones Exponenciales

Objetivos

En esta Sección, aprenderás como encontrar la derivada de una función exponencial.

Concepto

Las funciones exponenciales, y la tasa de cambio, se usan para representar muchas situaciones reales tales como el crecimiento de la población, la desintegración del periodo radiactivo, la atenuación de señales electromagnéticas en los medios y las transacciones financieras. ¿Sabes cómo escribir ecuaciones exponenciales generales, y su tasa de cambio, para el crecimiento de una población que se duplica cada 5 años? Ve si puedes calcularlo antes de leer este Capítulo.

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*Este video solo está disponible en inglés

http://www.youtube.com/watch?v=9g6Yz174-a8 - James Sousa Ex 1: Derivados de Funciones Exponenciales

Orientación

Una función exponencial $f(x)$ tiene la forma:

$f(x) = {b^x},$

donde $b$ se denomina la base y es un número real positivo.

La imagen a continuación muestra unos cuantos gráficos de función exponencial para $0 < b \le 10$ . Está claro que el signo de la derivada de un exponencial depende del valor de $b$ . Si $0 < b < 1$ , el valor de la derivada de la función (pendiente de la recta tangente) será negativa porque la función siempre disminuirá a medida que $x$ aumenta. Para $b > 1$ , la derivada de la función siempre será positiva porque la función se incrementa a medida que $x$ aumenta.

Pero, ¿cuál es la derivada de una función exponencial? Podemos seguir los siguientes pasos para hallar una expresión para $\frac{d}{{dx}}[{b^x}]$ usando la definición de la derivada :

$\frac{d}{dx}[b^x] &=\lim_{h \to 0}\frac{b^{x+h}-b^x}{h} && .... \text{Limit definition of the derivative} \\&=\lim_{h \to 0}\frac{b^xb^h-b^x}{h} && .... \text{Exponent property} \\&=\lim_{h \to 0}\frac{b^h-1}{h} \cdot b^x && .... \text{Factoring} \\&=\left(\lim_{h \to 0} \frac{b^h-1}{h} \right) \cdot b^x && .... \text{Limit of a product property}$

El resultado anterior nos muestra que $\frac{d}{{dx}}[{b^x}]$ depende del producto de $\left(\lim_{h \to 0} \frac{b^h-1}{h} \right)$ y la función original. Pero, ¿qué es $\left(\lim_{h \to 0} \frac{b^h-1}{h} \right)$ ? Hay varias formas de evaluar este límite, pero por ahora echemos un vistazo rápido al comportamiento de $\left(\frac{b^h-1}{h}\right)$ . Esta función se grafica bajo una cantidad de valores de $b$ , y el límite en $h=0$ se indica por los puntos $A-E$ .

Aunque no es obvio del todo: $\lim_{h \to 0}\frac{b^h-1}{h}=\ln(b)$ . ¿Recuerdas la función de logaritmo natural $y=\ln x$ en tu calculadora? El logaritmo natural es la función general de logaritmo con base $b=e=2.71828...$

La derivada de la función exponencial general ahora puede expresarse: $\frac{d}{dx}[b^x]=\ln b \cdot b^x$ .

Cuando este resultado se combina con la Regla de la Cadena, la representación general de la derivada de una función exponencial se vuelve:

Derivados de Funciones Exponenciales

Dada la función exponencial $f(x)=b^x$ , donde la base $b$ es un número real positivo, entonces:

$\frac{d}{dx}[b^x]=\ln b \cdot b^x$

Dada la función exponencial $f(x)=b^u$ , donde $u=g(x)$ y $g(x)$ es una función diferenciable, entonces:

$\frac{d}{dx}[b^u]=(\ln b \cdot b^u)\frac{du}{dx}$

Ejemplo A

Dado $y=500 \cdot 0.7^x$ , ¿qué es $\frac{dy}{dx}$ ?

Solución:

$\frac{dy}{dx} &=\frac{d}{dx}[500 \cdot 0.7^x] \\&=500 \frac{d}{dx}[0.7^x] \\&=500[\ln(0.7) \cdot 0.7^x] \qquad .... \text{Use your calculator to find } \ln(0.7) \\&=-178.3 \cdot 0.7^x$

Por tanto, $\frac{dy}{dx}=- 178.3 \cdot 0.7^x$ , y, como se esperaba, las pendientes de las rectan tangentes son negativas.

Hay un caso especial importante que debes conocer

Ejemplo B

Dado $y = 500 \cdot e^x$ , ¿qué es $\frac{dy}{dx}$ ?

Solución:

$\frac{dy}{dx} &=\frac{d}{dx}[500 \cdot e^x] \\&=500 \frac{d}{dx}[e^x] \\&=500[\ln(e) \cdot e^x] \qquad .... \text{Use your calculator to find } \ln(e)\\\frac{dy}{dx} &=\frac{d}{dx}[500 \cdot e^x] \\&=500 [1 \cdot e^x] \\&=500 \cdot e^x$

Por ende, $\frac{dy}{dx}=500 \cdot e^x$ , y esto es solo la función original. Esta función exponencial, con base $e$ , es especial: la tasa de cambio (o pendiente de la recta tangente) de cualquier punto es igual al valor de la función en ese punto.

Ejemplo C

Dado $y=10 \cdot 2.5^{-3x^2}$ , ¿qué es $\frac{dy}{dx}$ ?

$\frac{dy}{dx} &=\frac{d}{dx}[10 \cdot 2.5^{-3x^2}] \\&=10 \frac{d}{dx}[2.5^{-3x^2}] \\&=10 \cdot \ln(2.5) \cdot 2.5^{-3x^2} \cdot \frac{d}{dx}[-3x^2] \\&=10 \cdot (0.9162) \cdot 2.5^{-3x^2} \cdot [-6x] \\&=-55x \cdot 2.5^{-3x^2}$

Por tanto, $\frac{dy}{dx}=-55x \cdot 2.5^{-3x^2}$

Resumen del Concepto

¿Cuáles son las ecuaciones exponenciales generales, y su tasa de cambio, para el crecimiento de una población que se duplica cada 5 años?

Una población $P(t)$ que se duplica cada 5 años puede representarse como $P(t)=P_0 2^{\frac{t}{5}}$ , donde la variable $t$ representa la cantidad de años desde que la población estaba a un nivel de $P_0$ . ¿Podrías determinar que la tasa de cambio de $P(t)$ es $P^{\prime}(t)=\frac{P_0 \ln 2}{5} \cdot 2^{\frac{t}{5}}$ ?

Vocabulario

Una función exponencial es una función de la forma: $f(x)=b^x$ , donde $b$ se denomina la base y es un número real positivo.

Práctica Guiada

Dado $y=500 \cdot e^{-2x} \cdot \cos(5 \pi x)$ , ¿qué es $\frac{dy}{dx}$ ?

Solución:

$\frac{dy}{dx} &=\frac{d}{dx}[500 \cdot e^{-2x} \cdot \cos (5 \pi x)] \\&=500 \cdot \left[\frac{d}{dx}(e^{-2x}) \cdot \cos (5 \pi x)+e^{-2x} \cdot \frac{d}{dx}(\cos (5 \pi x)) \right] && .... \text{Product Rule} \\&=500 \cdot [\ln (e) \cdot e^{-2x} \frac{d}{dx}(-2x) \cdot \cos (5 \pi x)+e^{-2x} \cdot (-\sin(5 \pi x) \cdot \frac{d}{dx}(5 \pi x))] && .... \text{Use Chain Rule} \\&=500 \cdot [(1) \cdot e^{-2x} \cdot (-2) \cdot \cos(5 \pi x)+e^{-2x} \cdot(-\sin(5 \pi x) \cdot 5 \pi)] && .... \text{Simplify} \\&=-500 \cdot e^{-2x}[2 \cdot \cos(5 \pi x)+5 \pi \sin(5 \pi x)] && .... \text{Simplify}$

Por tanto, $\frac{dy}{dx}=-500 \cdot e^{-2x}[2 \cdot \cos(5 \pi x)+5 \pi \sin(5 \pi x)]$ .

Práctica

Encuentra la derivada:

$y=7^x$
$y=3^{2x}$
$y=5^x-3x^2$
$y=2^{x^2}$
$y=e^{x^2}$
$f(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi \sigma}}e^{-\alpha k(x-x_0)^2}$ donde $\sigma$ , $\alpha$ , $x_0$ , y $k$ son constantes y $\sigma \ne 0$ .
$y=e^{6x}$
$y=e^{3x^3-2x^2+6}$
$y=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$
$y=\cos(e^x)$
$y=e^{-x}{3^x}$
$y=3^{{-x^2}+2x+1}$
$y=2^x 3^x$
$y=e^{-x} \sin x$
15. Encuentra una ecuación de la recta tangente a $f(x)=x^3+2e^x$ en el punto (0, 2).

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