Diferenciación Implícita

Objetivos

En esta Sección, aprenderás a usar la técnica de diferenciación implícita para hallar la derivada de funciones que no están explícitamente definidas en la forma $y=f(x)$ .

Concepto

Hasta ahora, las técnicas de diferenciación se han aplicado a definiciones de función (ecuaciones) de la forma $y=f(x)$ . No todas las funciones pueden expresarse de esta forma, por ejemplo, cuando están implicado productos de $x$ e $y$ . Cuando no se puede, hallar la derivada de $y$ puede requerir una técnica diferente.

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*Este video solo está disponible en inglés

http://www.youtube.com/watch?v=1scXr6g7HdA - Video Tutoriales de Matemáticas por James Sousa, Diferenciación Implícita (8:10)

http://mathispower4u.wordpress.com/

Orientación

Considera la ecuación $2xy=1$ .

Queremos obtener la derivada $\frac{dy}{dx}$ . Una forma de hacerlo es resolviendo primero por $y$ , para producir una función explicita de $x$ ,

$y=\frac{1}{2x},$

para luego sacar la derivada de ambos lados,

$\frac{dy}{dx}&= \frac{d}{dx}\left [ \frac{1}{2x}\right ] \\&= \frac{-1}{2x^2}.$

Sin embargo, hay otra forma de hallar $\frac{dy}{dx}$ que usa la ecuación original que es una función implícita de $x$ . Podemos diferenciar directamente ambos lados:

Ejemplo A

Encuentra la derivada $\frac{dy}{dx}$ de la ecuación $2xy=1$ sin transformarla en una función explicita de $x$ . Para hacer esto, diferencia directamente ambos lados:

$\frac{d}{dx}[2xy]=\frac{d}{dx}[1].$

Usando la Regla del Producto en el lado izquierdo,

$y \frac{d}{dx}[2x]+2x \frac{d}{dx}[y]&= 0 \\y[2]+2x \frac{dy}{dx}&= 0.$

Despejar $\frac{dy}{dx}$ ,

$\frac{dy}{dx}=\frac{-2y}{2x}=\frac{-y}{x}.$

Sin embargo, puesto que $y=\frac{1}{2x}$ , la sustitución nos da

$\frac{dy}{dx}&= \frac{-1}{x(2x)} \\&= \frac{-1}{2x^2}.$

Este resultado concuerda con los cálculos anteriores. Este segundo método de hallar una derivada se llama diferenciación implícita. Podrías aventurarte a decir que el primer método es más fácil y rápido y no hay necesidad del segundo método. Aunque podría ser cierto para este ejemplo y otros más, considera el siguiente problema.

Ejemplo B

Halla $\frac{dy}{dx}$ si $3y^2- \cos y=x^3$ .

Solución:

Será muy difícil hallar una representación de función explicita de esta ecuación. Mejor tratemos con la diferenciación implícita y veamos qué pasa.

Diferencia ambos lados de la ecuación con respecto a $x$ y luego despejando $\frac{dy}{dx}$ ,

$\frac{d}{dx}[3y^2- \cos y]&= \frac{d}{dx}[x^3] \\3 \frac{d}{dx}[y^2]- \frac{d}{dx}[\cos y]&= 3x^2 \\3 \left(2y \frac{dy}{dx}\right)-(-\sin y) \frac{dy}{dx}&= 3x^2 \\6y \frac{dy}{dx}+ \sin y \frac{dy}{dx}&= 3x^2 \\\left [ 6y+ \sin y \right ] \frac{dy}{dx}&= 3x^2.$

Al despejar $\frac{dy}{dx}$ , finalmente obtenemos

$\frac{dy}{dx}=\frac{3x^2}{6y+ \sin y}.$

En este ejemplo, la diferenciación implícita proporcionó una ruta manejable para una solución.

La diferenciación implícita puede usarse para calcular la pendiente de la recta tangente como muestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo C

Encuentra la ecuación de la recta tangente que pasa a través del punto (1, 2) en el gráfico de $8y^3+x^2y-x=3$ .

Solución:

El enfoque general para resolver este problema es:

hallar $\frac{dy}{dx}$ , luego
sustituir el punto (1, 2) en la derivada para hallar la pendiente, y luego
usa la ecuación de la recta (ya sea la forma pendiente-intercepto o la forma punto-intercepto) para encontrar la ecuación de la recta tangente.

En el paso 1, hallar una representación de función explicita de la ecuación no es algo obvio. Sin embargo, usar la diferenciación implícita permite diferenciar en ambos lados:

$\frac{d}{dx}[8y^3+x^2y-x]&= \frac{d}{dx}[3] \\24y^2 \frac{dy}{dx}+ \left[(x^2)(1) \frac{dy}{dx}+ y(2x) \right]-1&= 0 \\24y^2 \frac{dy}{dx}+x^2 \frac{dy}{dx}+2xy-1&= 0 \\\left [ 24y^2+x^2 \right ] \frac{dy}{dx}&= 1-2xy \\\frac{dy}{dx}&= \frac{1-2xy}{24y^2+x^2}.$

Ahora, sustituye el punto (1, 2) en la derivada para hallar la pendiente,

$\frac{dy}{dx}&= \frac{1-2(1)(2)}{24(2)^2+(1)^2} \\&= \frac{-3}{97}.$

Por tanto, la pendiente de la recta tangente es $\frac{-3}{97}$ , lo cual es un valor pequeño. (¿Qué nos dice esto acerca de la orientación de la recta tangente?)

Luego, necesitamos hallar la ecuación de la recta tangente. La forma pendiente-intercepto

$y=mx+b,$

donde $m=\frac{-3}{97}$ y $b$ es el intercepto en $y$ . Para hallar $b$ , simplemente sustituye (1, 2) en la ecuación de la recta y resuelve:

$2&= \left ( \frac{-3}{97}\right )(1)+b \\b&= \frac{197}{97}.$

Por tanto, la ecuación de la recta tangente es

$y=\frac{-3}{97}x+ \frac{197}{97}.$

Observación: podríamos haber usado la forma punto-pendiente equivalente $y-y_1=m(x-x_1)$ .

Resumen del Concepto

Para hallar la derivada de una función implícita, sigue los siguientes pasos:

Diferencia ambos lados con respecto a $x$
Mueve todos los términos $\frac{dy}{dx}$ al lado izquierdo de la ecuación y deja todos los otros términos sin $\frac{dy}{dx}$ al lado derecho.
Factoriza los $\frac{dy}{dx}$ en común para todos los términos
Despeja $\frac{dy}{dx}$ .

Nótese que la expresión para la derivada $\frac{dy}{dx}$ puede incluir TANTO $x$ COMO $y$ .

Vocabulario

Una función explicita es una función donde es posible establecer la variable dependiente como una función exclusiva de la variable independiente.

Una función implícita es una función donde la variable dependiente no es una función explicita de la variable independiente.

La diferenciación implícita es una aplicación de diferenciación en una función implícita que puede producir una expresión que implica tanto a las variables independientes como las dependientes

Práctica Guiada

Usa la diferenciación implícita para:

a. Hallar $\frac{d^2y}{dx^2}$ si $5x^2-4y^2=9$ .

b. Hallar $\frac{d^2y}{dx^2} \Big|_{(x,y)=(2,3)}$ .

c. ¿Que representa la segunda derivada?

Solución:

a. $\frac{d}{dx}[5x^2-4y^2]&= \frac{d}{dx}[9] \\10x-8y \frac{dy}{dx}&= 0.$

Despejar $\frac{dy}{dx}$ ,

$\frac{dy}{dx}=\frac{5x}{4y}.$

Diferencia nuevamente ambos lados de forma implícita (y usando la regla del cociente),

$\frac{d^2y}{dx^2}&= \frac{(4y)(5)-(5x)\left ( 4\frac{dy}{dx}\right )}{(4y)^2} \\&=\frac{20y}{16y^2}- \frac{20x}{16y^2} \frac{dy}{dx}\\&= \frac{5}{4y}- \frac{5x}{4y} \frac{dy}{dx}.$

Sin embargo, ya que $\frac{dy}{dx}=\frac{5x}{4y}$ , lo sustituimos en la segunda derivada:

$\frac{d^2y}{dx^2}&= \frac{5}{4y}- \frac{5x}{4y} \cdot \frac{5x}{4y} \\\frac{d^2y}{dx^2}&= \frac{5}{4y}- \frac{25x^2}{16y^2}.$

Esta es la segunda derivada de $y$ .

b. El paso siguiente es hallar: $\frac{d^2y}{dx^2} \Big|_{(x,y)=(2,3)}$ .

$\frac{d^2 y}{dx^2} \bigg |_{(2,3)}&= \frac{5}{4(2)}- \frac{25(2)^2}{16(3)^2} \\&= - \frac{5}{72}.$

c. Ya que la primera derivada de una función representa la tasa de cambio de la función $y=f(x)$ con respecto a $x$ , la segunda derivada representa la tasa de cambio de la función. Por ejemplo, en cinemática (el estudio del movimiento), la velocidad de un objeto $(y^\prime)$ representa el cambio de posición con respecto al tiempo, más la aceleración $(y^{\prime\prime})$ representa la tasa de cambio de la velocidad con respecto al tiempo.

Práctica

Halla $\frac{dy}{dx}$ por diferenciación implícita.

1. $x^2+y^2=500$

2. $x^2y+3xy-2=1$

3. $\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}=\frac{1}{2}$

4. $\sqrt{x}-\sqrt{y}=\sqrt{3}$

5. $\sin(25xy^2)=x$

6. $\tan^3(x^2-y^2)=\tan\left ( \frac{\pi}{4}\right )$

En los problemas #7 y 8, usa diferenciación implícita para hallar la pendiente de la recta tangente a la curva dada en el punto especificado.

7. $x^2y-y^2x=-1$ en (1,1)

8. $\sin(xy)=y$ en $(\pi,1)$

9. Halla $y^{\prime\prime}$ por diferenciación implícita de $x^3y^3=5$ .

10. Usa diferenciación implícita para mostrar que la recta tangente a la curva $y^2=kx$ en $(x_0,y_0)$ esta dada por $y_0y=\frac{1}{2}k(x+x_0)$ , donde $k$ es una constante.

11. Encuentra $\frac{d}{dx}(x \sin(y)+y \sin(x))$ .

12. Encuentra $y^\prime$ si $x^2+xy+y^2=10$ .

13. Halla la fórmula para la recta tangente a la curva $y^3+2xy^2-x=2$ en el punto (1, 1).

14. Encuentra $\frac{d}{dx} \left ( \sqrt{xy} \right )$

15. $y^2+\sin(y)=x$ . Halla $\frac{d^2y}{dx^2}$ en términos de $x$ e $y$ .

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