Objetivos

En esta Sección, aprenderás lo que significa evaluar una derivada de orden superior de una función.

Concepto

Quizá recuerdes a Becky y su competencia de Atletismo en una lección anterior. Su novio ha estado grabando en su computadora las señales de posición del transmisor GPS que Becky usaba durante su carrera. Ella usó un programa que había escrito para procesar las señales GPS una vez por segundo de modo que pudiera determinar qué tan lejos corrió y en qué tiempo durante la carrera. Estos puntos de distancia y tiempo estaban graficados en su computadora. Ella creó además un programa que le daba un modelo matemático de su distancia de modo que pudiera sacer la derivada de la función matemática en cualquier punto de tiempo para obtener su velocidad “instantánea” .

¿Qué pasaría si, en vez de solo querer hallar su velocidad en cualquier momento durante la carrera, también quisiera encontrar su aceleración ? ¿Cómo podría hacer eso?

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*Este video solo está disponible en inglés

https://www.youtube.com/watch?v=NaFZDaAAbok - James Sousa: Derivadas de Orden Superior: Parte 1, Parte 2

Orientación

Si la función $f$ tiene una derivada $f^{\prime}$ que es diferenciable, entonces la derivada de $f^{\prime}$ , señalada por $f^{{\prime}{\prime}}$ se denomina como la segunda derivada de $f$ . Podemos continuar el proceso de diferenciar derivadas y obtener una tercera, cuarta, quinta derivada u otras derivadas superiores de $f$ . Se señalan como se muestra a continuación:

**Notaciones de Derivadas de Orden Superior**
1ra	2da	3ra	4ta	$n$ simo orden
$f^{\prime}$	$f^{{\prime}{\prime}}$	$f^{{\prime}{\prime}{\prime}}$	$f^{(4)}$	$f^{(n)}$
$y^{\prime}$	$y^{{\prime}{\prime}}$	$y^{{\prime}{\prime}{\prime}}$	$y^{(4)}$	$y^{(n)}$
$\frac{dy}{dx}$	$\frac{d^2y}{dx^2}$	$\frac{d^3y}{dx^3}$	$\frac{d^4y}{dx^4}$	$\frac{d^ny}{dx^n}$
$D_xy$	$D^2_xy$	$D^3_xy$	$D^4_xy$	$D^n_xy$

Ejemplo A

Dado $f(x)=-2x^2-4x-1$ . ¿Que es $f^{{\prime}{\prime}}(x)$ ?

Solución:

Recuerda que $f^{{\prime}{\prime}}(x)$ significa “La segunda derivada de $f(x)$ ”, o “La derivada de la derivada de $f(x)$ ”. La función $f(x)$ debe diferenciarse dos veces de la siguiente manera:

$f^{\prime}(x) &= \frac{d}{dx}(-2x^2-4x-1) && \ldots \text{Determine the} \ 1^{\text{st}} \ \text{derivate}. \\&= -4x-4 \\f^{{\prime}{\prime}}(x) &= \frac{d}{dx}(-4x-4) && \ldots \text{Determine the} \ 2^{\text{nd}} \ \text{derivate}. \\&= -4$

Por tanto, $f^{{\prime}{\prime}}(x)=-4$

Ejemplo B

Dado $f(x)=(-x^4-4x^3-5x^2+3)$ . Halla $f^{{\prime}{\prime}}(x)$ cuando $x=3$ .

Solución:

Nuevamente, la función $f(x)$ debe diferenciarse dos veces; luego, la 2 ^da derivada debe evaluarse:

$f^{\prime}(x) &= \frac{d}{dx}(-x^4-4x^3-5x^2+3) && \ldots \text{Determine the} \ 1^{\text{st}} \ \text{derivate}. \\&= -4x^3-12x^2-10x \\f^{{\prime}{\prime}}(x) &= \frac{d}{dx}(-4x^3-12x^2-10x) && \ldots \text{Determine the} \ 2^{\text{nd}} \ \text{derivate}. \\&= -12x^2-24x-10 \\f^{\prime \prime}(3) &= -12(3)^2-24(3)-10 && \ldots \text{Evaluate the} \ 2^{\text{nd}} \ \text{derivate} \\&= -190$

Por tanto, $f^{{\prime}{\prime}}(3)=-190$ .

Ejemplo C

Muestra que $y=x^3+3x+2$ satisface la ecuación diferencial $y^{\prime\prime\prime}+xy^{{\prime}{\prime}} - 2y^{\prime}=0$ .

Solución:

Necesitamos obtener la primera, segunda y tercera derivada y sustituirlas en la ecuación diferencial para verificar la igualdad.

$y &= x^3+3x+2 \\y^{\prime} &= 3x^2+3 \\y^{{\prime}{\prime}} &= 6x \\y^{{\prime}{\prime}{\prime}} &= 6.$

Substituye,

$y^{{\prime}{\prime}{\prime}}+ xy^{{\prime}{\prime}} - 2y^{\prime}&= 6+x(6x)-2(3x^2+3) \\&= 6+6x^2-6x^2-6 \\&= 0$

lo que satisface la ecuación.

Análisis del Problema de la Sección

Ya que Becky ya había creado un programa para calcular su velocidad instantánea en un punto dado de la pista al encontrar la derivada del modelo matemático de sus datos de posición GPS, entonces ella podría sacar la derivada de esa función, la segunda derivada, para hallar su aceleración instantánea en el mismo punto de la carrera.

Al encontrar su velocidad y aceleración instantáneas en distintos puntos de la carrera, ella puede aprender mucho sobre su desempeño en la carrera y, muy probablemente, encontrar áreas en las que ella debe trabajar para mejorar su rendimiento promedio.

¡Con Cálculo se puede correr mejor!

Vocabulario

Una derivada de orden superior es una segunda, tercera o $n$ sima derivada de una función.

La velocidad instantánea es la derivada de posición, la velocidad, en una dirección dada en un solo momento “instantáneo” de tiempo.

La aceleración instantánea es el cambio en la velocidad calculada en un solo instante.

Práctica Guiada

Halla la quinta derivada de $f(x)=2x^4-3x^3+5x^2-x-1$ .

Solución:

Para hallar la quinta derivada, debemos hallar la primera, segunda, tercera y cuarta derivada, de esta forma:

$f^{\prime}(x)=8x^3-9x^2+5x-x$
$f^{(2)}(x)=24x^2-18x+5$
$f^{(3)}(x)=48x-18$
$f^{(4)}(x)=48$
$f^{(5)}(x)=0$

Práctica

1. Dado: $v(x)=-4x^3+3x^2+2x+3$ . ¿Qué es $v^{{\prime}{\prime}}(x)$ ?

2. Dado: $m(x)=x^2+5x$ . ¿Qué es $m^{{\prime}{\prime}}(x)$ ?

3. Dado: $d(x)=3x^4e^x$ . ¿Qué es $d^{{\prime}{\prime}}(x)$ ?

4. Dado: $t(x)=-2x^5 \sin(x)$ . ¿Qué es $\frac{d^2t}{dx^2}$ ?

5. ¿Qué es $\frac{d^2}{dx^2}3x^5e^x$ ?

6. Halla $\frac{d^3y}{dx^3}\big |_{x=1}$ , donde $y=\frac{2}{x^3}$ .

Usa la Regla del Cociente para Resolver:

7. Supón que $u^{\prime}(0)=98$ y $\left(\frac{u}{q}\right)^{\prime}(0)=7$ . Halla $q(0)$ asumiendo que $u(0)=0$ ?

8. Dado: $b(x)=\frac{x^2-5x+4}{-5x+2}$ . ¿Qué es $b^{\prime}(2)$ ?

9. Dado: $m(x)=\frac{e^x}{3x+4}$ . ¿Qué es $\frac{dm}{dx}$ ?

10. ¿Qué es $\frac{d}{dx} \cdot \frac{\sin(x)}{x-4}$ ?

11. Dado $q(x)=\frac{x}{\sin(x)}$ . ¿Qué es $q^{{\prime}{\prime}}(x)=\frac{x}{\sin(x)}$ ?

12. La posición de cierta nano-partícula puede aproximarse por la función $t^3+t$ . ¿Qué función nos da la aceleración de la partícula?

13. La posición de un auto se da por la función $\sin(t)+3t^2$ . ¿El auto está acelerando o desacelerando?

14. La posición de un velociraptor persiguiendo a un triceratops está dada por la función $\cos(-t)$ . ¿El raptor experimenta una sacudida positiva o negativa en $t=\frac{3 \pi}{2}$ ?

15. La posición de la luna en el cielo nocturno está dada por la siguiente función de tiempo: $\frac{1}{12}t^4-\frac{3}{6}t^3-5t^2+\pi^{\pi}$ . Nombra un momento de tiempo donde la luna no experimenta ninguna aceleración.

16. ¿Cuantas veces máximo tendríamos que diferenciar un polinomio de grado $N$ antes que la derivada se vuelva cero?

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