Objetivos

En esta sección, aprenderás a resolver problemas en los que existe alguna relación entre dos o más derivadas, es decir, donde hay tasas relacionadas.

Concepto

En la sección sobre diferenciación implícita, aprendiste que dada una relación entre dos cantidades, la relación entre sus respectivas tasas de cambio puede ser determinada. Por lo general esto significa una herramienta muy valiosa en las aplicaciones, ya que nos permite encontrar la tasa a la que alguna cantidad está cambiando al relacionarla con otras cantidades cuyas tasas de cambio son conocidas (o al menos más fácil de encontrar). Por ejemplo, si estuvieras en el lugar de un accidente en el que un derrame de petróleo desde un gran buque se estuviera extendiendo en un patrón circular cuyo radio has determinado estaría aumentando en alrededor de 1 pie por segundo, ¿serías capaz de contarle a alguien cuán rápido estaba aumentando el área del derrame cuando el radio medía alrededor de 30 pies?

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http://www.youtube.com/watch?v=I9iWnLfHmHk - Math Video Tutorials by James Sousa, Related Rates (10:34)

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Orientación

¿A qué nos referimos con tasas relacionadas? Se trata simplemente de las derivadas, razones, de uno o más parámetros que se relacionan entre sí a través de una ecuación. La relación entre las tasas se obtiene tomando la derivada de alguna otra relación entre los parámetros.

Un ejemplo simple con una forma geométrica familiar debería servir de ayuda para ilustrar el concepto.

Ejemplo A

Considere el triángulo rectángulo simple en la siguiente figura con lados $x, y,$ y $z$ . La relación que existe entre los lados se rige por el Teorema de Pitágoras.

$x^2+y^2=z^2$

Fácilmente podríamos conectar alguna situación de la vida cotidiana con esta figura geométrica. Digamos por ejemplo que $x$ y $y$ representan los caminos de dos personas comenzando en el punto $p$ quienes caminan hacia el Norte y Oeste, respectivamente, durante dos horas. La cantidad $z$ representa la distancia que hay entre ellos en cualquier momento $t$ . Determinemos ahora las relaciones que hay entre las diferentes tasas de cambio que obtenemos mediante la diferenciación implícita de la ecuación original $x^2+y^2=z^2$ con respecto al tiempo $t$ .

$\frac{d}{dt} [x^2+y^2] &= \frac{d}{dt} [z^2]\\2x \frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt} &= 2z \frac{dz}{dt}\\x \frac{dx}{dt}+y \frac{dy}{dt} &= z \frac{dz}{dt} \qquad \ldots \text{Equation} \ 1$

La diferenciación implícita de la relación pitagórica entre las longitudes de los lados, produce relaciones entre las derivadas de la longitud de lado, y dado que las derivadas son tasas, este es un ejemplo de tasas relacionadas .

¿Cómo se podría usar la relación para resolver o responder un problema?

Ejemplo B

Digamos que esa persona está caminando en la dirección $x$ a 5 mph, y que otra persona está caminando en la dirección $y$ a 3 mph. La distancia, $z$ , entre los caminantes cambia con el tiempo y el tiempo de la razón de cambio de, $z, \frac{dz}{dt},$ depende de las tasas a las que las dos personas están caminando.

Un problema que podríamos plantear es:

¿A qué tasa está aumentando la distancia entre $x$ y $y$ luego de una hora? Es decir, ¿cuánto es $\frac{dz}{dt}$ después de una hora?

Solución:

Supongamos que han caminado durante una hora. Por lo tanto $x=5 \ mi$ y $y=3$ .

Usando el Teorema de Pitágoras, encontramos la distancia que hay entre ellos después de una hora $z=\sqrt{34}=5.83 \ miles$ .

Si sustituimos los valores para $x, y,$ y $z$ en la Ecuación 1 junto con las tasas individuales obtenemos

$5(5)+3(3) &= \sqrt{34} \frac{dz}{dt}\\34 &=\sqrt{34} \frac{dz}{dt}\\\frac{34}{\sqrt{34}} &= \frac{dz}{dt}.$

Por lo tanto, después de una hora la distancia entre las dos personas aumenta a una tasa de:

$\frac{dz}{dt}=\frac{34}{\sqrt{34}} \approx 5.83 \ mph$ .

Ejemplo C

Supongamos que tenemos un campo rectangular y sabemos que en un instante de tiempo, la longitud está cambiando a una tasa de 8 pies/hora y el perímetro está cambiando a una velocidad de 24 pies/hora. ¿A qué tasa está cambiando el ancho en ese instante? ¿A qué tasa está cambiando el área en ese instante?

Solución:

Ya estás familiarizado con las fórmulas para calcular el perímetro:

$P=2l+2w$

Si diferenciamos la ecuación del perímetro, tenemos

Ecuación 2: $\frac{dP}{dt}=2 \frac{dl}{dt}+2 \frac{dw}{dt}$ .

Si sustituimos nuestra información conocida en la ecuación 2, tenemos

$24 &= (2 \times 8)+2 \times \frac{dw}{dt}\\8 &= 2 \times \frac{dw}{dt}\\4 &= \frac{dw}{dt}.$

El ancho está cambiando a una tasa de 4 pies/hora.

Análisis del Problema de la Sección

Si estuvieras en el lugar de un accidente en el que un derrame de petróleo desde un gran buque se estuviera extendiendo en un patrón circular, cuyo radio has determinado estaría aumentando en alrededor de 1 pie por segundo, ¿serías capaz de contarle a alguien cuán rápido estaba aumentando el área del derrame cuando el radio medía alrededor de 30 pies?

Dado que el área circular del derrame es $A=\pi r^2$ , la razón de cambio del tiempo del área es $\frac{dA}{dt}=\pi 2 r \frac{dr}{dt}$ . Esto significa que con $\frac{dr}{dt}=1 \ ft/sec$ , cuando $r=30 \ ft, \frac{dA}{dt}=60 \pi ft^2/sec$ .

Vocabulario

Las tasas relacionadas son derivadas de variables que son comunes (relacionadas) a una o más ecuaciones ligadas.

Práctica Guiada

Tenemos un tanque de agua que tiene la forma de un cono circular recto invertido. Supongamos que el agua fluye en el tanque a razón de $5 \ ft^3/min$ . ¿A qué tasa está subiendo el nivel del agua cuando la altura del agua en el tanque es de 6 pies?

Solución:

Sabemos que el volumen de agua en el tanque es:

$V=\frac{1}{3} \pi r^2 h$

Cuando diferenciamos esta ecuación obtenemos:

$\frac{dV}{dt}=\frac{1}{3} \pi (h)(2r) \frac{dr}{dt}+\frac{1}{3} \pi r^2 \frac{dh}{dt}$ .

Esta es una ecuación de tasas relacionadas. La tasa $\frac{dV}{dt}$ está relacionada con las tasas $\frac{dr}{dt}$ y $\frac{dh}{dt}$ .

Conocemos $\frac{dV}{dt}=5 \ ft^3/min$ , no conocemos $\frac{dr}{dt}$ , pero queremos encontrar $\frac{dh}{dt}$ . Tenemos que de alguna manera encontrar una relación entre $h$ y $r$ .

Que $r_1$ sea el radio de la superficie del agua a medida que fluye fuera del tanque.

Hay que tener en cuenta que los dos triángulos son semejantes y, por consiguiente, las partes correspondientes son proporcionales. En particular,

$\frac{r_1}{h} &= \frac{8}{20}\\r_1 &= \frac{8h}{20}=\frac{2h}{5}.$

podemos escribir esto como una relación general entre $r$ y $h$ .

$r=\frac{2h}{5}$ , lo que también significa que $\frac{dr}{dt}=\frac{2}{5} \frac{dh}{dt}$ . Tenemos la relación que necesitamos.

Ahora podemos resolver el problema de un par de maneras:(a) sustituir $r=\left(\frac{2h}{5}\right)$ en la ecuación original por $V$ , o (b) sustituir $r=\left(\frac{2h}{5}\right)$ y $\frac{dr}{dt}=\frac{2}{5} \frac{dh}{dt}$ en la ecuación por $\frac{dV}{dt}$ . Probemos con la estrategia (a).

$V=\frac{1}{3} \pi \left(\frac{2h}{5}\right)^2 h=\frac{4 \pi}{75} h^3$

Por lo tanto $\frac{dV}{dt}=\frac{12 \pi}{75} h^2 \frac{dh}{dt}$ , y por sustitución,

$5 &= \frac{12 \pi}{75} (36) \frac{dh}{dt}\\\frac{dh}{dt} &= \frac{375}{432 \pi} \approx 0.28 \frac{ft}{min}.$

Práctica

1. Inventa un problema de tasas relacionadas sobre el área de un rectángulo. Ilustra la solución del problema.

2. Supongamos que una partícula se mueve a lo largo de la curva $4x^2+16y^2=32$ . Cuando alcanza el punto (2, 1), la coordenada $x$ crece en una tasa de 3 pies/segundo. ¿A qué tasa está cambiando la coordenada $y$ en ese instante?

3. Una cancha de softball es un cuadrado, cada uno de sus lados mide 60 pies. Supongamos que un jugador corre desde la primera base a la segunda base a una velocidad de 18 pies/segundo. ¿A qué tasa cambia la distancia que hay entre el corredor y el home plate cuando el corredor se encuentra a $\frac{2}{3}$ del camino desde la primera a la segunda base?

4. En festival de globos aerostáticos celebrado recientemente, un globo fue lanzado. Al alcanzar una altura de 300 pies, el globo se estaba elevando a una tasa de 20 pies / segundo. El Sr. Smith se encontraba observando el globo a 100 pies de distancia del lugar de lanzamiento. ¿A qué tasa estaba cambiando la distancia que había entre el Sr. Smith y el globo en ese instante?

5. Dos trenes salieron de la estación de trenes de St. Louis al final de la mañana. El primer tren estaba viajando hacia el este a una velocidad constante de 65 mph. El segundo tren estaba viajando hacia el sur a una velocidad constante de 75 mph. A las 3 de la tarde, el primer tren había recorrido una distancia de 120 millas, mientras que el segundo tren había recorrido una distancia de 130 millas. ¿Qué tan rápido estaba variando en ese momento la distancia entre los dos trenes?

6. Supongamos que una escalera que mide 17 pies se desliza por una pared a una velocidad de -6 pies/ segundo. ¿A qué tasa se está moviendo la parte inferior de la escalera cuando la parte superior se encuentra a 8 pies del suelo?

7. Supongamos que la longitud de un rectángulo está aumentando a una tasa de 6 pies / min y que el ancho está aumentando a una tasa de 2 pies / min. ¿En qué tasa está cambiando el área del rectángulo cuando su longitud es de 25 pies y su ancho 15 pies?

8. Supongamos que la demanda de nuevos televisores plasma de $40^{\prime\prime}$ se relaciona con su precio unitario por la fórmula $p+x^2=1200$ , donde $p$ se mide en dólares y $x$ se mide en unidades de mil. ¿Cómo cambia la demanda cuando $x=20, p=1500,$ y el precio por TV disminuye a una tasa de $10?

9. El volumen de un cubo con el lado $s$ está cambiando. En cierto momento, las caras del cubo miden 6 pulgadas y crecen a una razón de $\frac{1}{4} \ in/min$ . ¿Qué tan rápido está aumentando el volumen del cubo en ese momento?

10. (1) Supongamos que el área de un círculo está aumentando a una tasa de $24 \ in^2/min$ . ¿Qué tan rápido está aumentando el radio cuando el área mide $36 \pi \ in^2$ ?

(2) ¿Qué tan rápido está cambiando la circunferencia en ese instante?

11. El radio de un círculo aumenta a una tasa de 5 centímetros por segundo. ¿Qué tan rápido está creciendo el área del círculo cuando el radio mide diez centímetros?

12. El área de un círculo se está expandiendo a una tasa de 100 centímetros cuadrados por segundo en un instante cuando su radio se expande a 50 centímetros por segundo. ¿Cuánto mide el radio del círculo en ese momento?

13.En un momento dado, el volumen de un cilindro con un área de corte transversal de 6 centímetros cuadrados está aumentando a una velocidad de 10 centímetros cúbicos por segundo. ¿Cuál es la tasa de aumento de su altura en ese instante?

14. Expresa la razón de cambio del volumen del cilindro como una función de su radio, su altura y la tasa de cambio de su radio, si se asume que su altura se mantiene constante.

15. Un objeto de cuatro dimensiones cuyo momentum está dado por la fórmula $M=\sin (\pi x_1)+\delta x{_2}^3+\ln (x_3x_4)x{_1}^5$ , donde delta es una constante, está cayendo por un agujero negro. La compresión resultante hace que su valor $x_1$ se reduzca a una tasa de 8 millones de millas por segundo (mientras que las otras variables se mantienen constantes). Si $x_3=\frac{5}{x_4}$ , ¿cuál es el cambio instantáneo en su momentum cuando $x_1=1$ ?

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