Cómo encontrar los máximos y mínimos (extremos) de las funciones

Objetivos

En esta sección, aprenderás cómo se relacionan los valores máximos y mínimos de las funciones (llamados extremos) con las derivadas.

Concepto

Poder distinguir los valores más pequeños y más grandes de una función y dónde es que ocurren en cierto intervalo del dominio o sobre todo el dominio es de gran utilidad al momento de graficar una ecuación de una función y también para resolver problemas de “optimización”. La ubicación de estos extremos se vincula con el comportamiento de la derivada. Anteriormente aprendiste, al trabajar con funciones cuadráticas (parábolas, $y=ax^2+bx+c$ ), que el valor mínimo o máximo de la parábola se puede encontrar en su vértice (en el eje de simetría $x=-\frac{b}{2a}$ ). Antes del final de esta sección, ve si puedes determinar cómo es que se relacionan la derivada de la función cuadrática y el vértice $x=-\frac{b}{2a}$ .

Mira Esto

Haz click en la imagen anterior para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

*Este video solo está disponible en inglés

http://www.youtube.com/watch?v=-Ytczz1YFyc - James Sousa: How to Determine Relative Extrema on the Graphing Calculator

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*Este video solo está disponible en inglés

http://www.youtube.com/watch?v=w6bafnqHOgU - Absolute Extrema

Orientación

Comencemos nuestra discusión con algunas definiciones formales de trabajo de los valores máximos y mínimos de una función.

Definición: máximo y mínimo de una función

1. Una función $f$ tiene un máximo en $x=a$ si $f(a) \ge f(x)$ para todo $x$ en el dominio de $f$ .

2. Una función $f$ tiene un mínimo en $x=a$ si $f(a) \le f(x)$ para todo $x$ en el dominio de $f$ .

Los valores de la función para estos valores $x$ se llaman valores extremos o extrema. .

Ejemplo A

A continuación hay un ejemplo de una función que tiene un máximo en $x=a$ y un mínimo en $x=d$ :

Observa el gráfico donde $x=b$ . Si bien no tenemos un mínimo en $x=b$ , observamos que $f(b) \le f(x)$ para todo $x$ cerca de $b$ . Decimos que la función tiene un mínimo local en $x=b$ .

Del mismo modo, podemos decir que la función tiene un máximo local en $x=c$ dado que $f(c) \ge f(x)$ para algún $x$ contenido en intervalos abiertos de $c$ .

Recuerda usar los términos máximo y mínimo (sin incluir el término local ) sólo cuando se habla de los valores extremos absolutos o globales de la función; los extremos locales se deberían llamar máximo local o mínimo local.

¿Todas las funciones tienen un máximo y mínimo? Sí, todas las funciones continuas los tienen. Esto está establecido por el teorema Min-Max que hemos discutido en la sección sobre Continuidad.

Teorema de los valores extremos (min-max)

Si una función $f(x)$ es continua en un intervalo cerrado $I$ , entonces $f(x)$ tiene tanto un valor máximo como un valor mínimo en $I$ .

Conceptualmente parece lógico. Intenta dibujar una función (en un intervalo cerrado, incluyendo los puntos extremos) de modo que ningún punto esté en la parte más alta del gráfico. No importa cómo se dibuje la función, habrá al menos un punto que es el más alto.

¿Cómo se relacionan los valores extremos, máximos y mínimos con las derivadas? El siguiente teorema del matemático francés Fermat muestra como:

Teorema

Si $f(c)$ es un valor extremo de $f$ para algún intervalo abierto que contenga a $c$ , entonces o bien $f^\prime(c)=0$ , o $f^\prime(c)$ no existen.

Esta relación entre la ubicación de los extremos y la derivada en la ubicación es tan importante que le damos a la ubicación el nombre de punto crítico.

Definición: punto crítico

Llamaremos $x=c$ un punto crítico en el intervalo cerrado $[a, b]$ si $f(c)$ existe, y, o bien $f^\prime(c)=0$ o $f^\prime(c)$ no existe.

Resumen hasta ahora: si una función es continua en un intervalo cerrado, esta tiene tanto un mínimo y un máximo en alguna ubicación o ubicaciones, y la derivada en estas ubicaciones es 0 o bien no existe. Las ubicaciones se llaman puntos críticos.

La siguiente tabla identifica explícitamente cuáles son los puntos críticos. Los puntos extremos del intervalo cerrado se incluyen como puntos críticos si examinamos la función solamente definida en el intervalo cerrado y no fuera del intervalo. En este caso, la derivada en cada punto extremo no sería definida.

**Directrices para determinar si $x=c$ es un punto crítico para $f(x)$**
		$f(x)$ es continua en $x=c$		$f(x)$ no es continua en $x=c$
$x=c$ es un punto extremo.		$x=c$ no es un punto extremo.		$x=c$ *es un* *Punto crítico*
**$x=c$ es un Punto crítico**	$f^\prime(c)$ es definida		$f^\prime(c)$ no es definida
	$f^\prime(c)=0$	$f^\prime(c) \ne 0$	**$x=c$ es un Punto crítico**
	**$x=c$ es un Punto crítico**	*$x=c$* *es un* *Punto crítico*

Ahora podemos enunciar el teorema del valor extremo.

Teorema del valor extremo

Si una función $f(x)$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$ , con el máximo de $f$ en $x=c_1$ y el mínimo de $f$ en $x=c_2$ entonces $c_1$ y $c_2$ son valores críticos de $f$ .

Ejemplo B

Examinemos el siguiente par de funciones y comentemos algo sobre ellas en el intervalo cerrado [-2, 2]. Fíjate que $g(x)$ tiene una cúspide en $x=0$ .

Ambas funciones son continuas en [-2, 2]. De acuerdo con el Teorema del Min-Max ambas tienen un mínimo y un máximo. Como muestra la tabla, $f(x)$ tiene un valor extremo donde $f^\prime(x)=0$ , y $g(x)$ tiene un valor extremo donde $g^\prime(x)$ no está definida. Estos son los puntos críticos.

Propiedad de la función	$f(x)=5x^2+7x-52$	$g(x)=x^{\frac{2}{3}}$
Valor en el punto extremo $x=-2$	-46	1.59
Valor en el punto extremo $x=2$	-18	1.59
Ubicación y valor donde $f^\prime(x)=0$	(-0.7, -54.45)	---
ubicación donde $f^\prime(x)$ no existe	puntos extremos	puntos extremos, $x=0$
Punto(s) crítico(s)	$x=-0.7$ puntos extremos	$x=0$ , puntos extremos
Valor mínimo y ubicación o ubicaciones	(-0.7, -54.45)	(0, 0)
Ubicación o ubicaciones del valor máximo	(2, -18)	(-2, 1.59) (2, 1.59)

Cabe señalar que el recíproco del Teorema del valor extremo no es necesariamente verdadero, es decir, sólo porque $f^{\prime}(x)=0$ en alguna ubicación $x=a$ , el valor de la función $f(a)$ no tiene que ser de un mínimo o máximo local.

Ejemplo C

Examine $f(x)=x^3$ y su gráfico. Vemos que mientras $f^{\prime}(0)=0$ en $x=0$ , $x=0$ no es un punto extremo de la función.

Análisis del Problema de la Sección

Antes del final de esta sección, ve si se puedes determinar cómo es que la derivada de la función cuadrática $(y=ax^2+bx+c)$ se relaciona con el vértice $x=-\frac{b}{2a}$ .

Si te diste cuenta de que el vértice de la función cuadrática corresponde también al lugar donde la pendiente de la recta tangente y, por lo tanto, la derivada, es igual a 0 quiere decirte que hiciste una gran observación. $\frac{dy}{dx}=2ax+b=0$ significa que $x=-\frac{b}{2a}$ . Este es el valor de $x$ del vértice y un valor o punto crítico de la función.

Vocabulario

Los extremos de una función son los valores más grandes (máximo) y más pequeños (mínimo) que tiene una función en un punto, ya sea dentro de un intervalo local o sobre todo el dominio (global) de la función.

Un máximo es el valor más grande que tiene la función local o globalmente.

Un mínimo es el valor más pequeño que tiene la función local o globalmente.

Un mínimo local es el valor más pequeño que tiene la función en un intervalo.

Un máximo local es el valor más grande que tiene la función en un intervalo.

Un valor crítico (o punto) es un valor en un intervalo cerrado del dominio de la función donde ya sea el derivado de la función en el punto es 0, o el derivado no existe.

Práctica Guiada

La función $f(x)=\sqrt{25-x^2}$ es la parte superior de un círculo centrado en (0, 0) con un radio de 5. Encuentra los puntos críticos de la función y el máximo y el mínimo.

Solución:

Calcula la derivada: $f^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{25-x^2}}(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{25-x^2}}$

$f^{\prime}(x)=0$ significa $x=0$ es un punto crítico y $f(0)=5$ .

Ten en cuenta que $f^{\prime}(x)$ es indefinida en la dos ubicaciones $x=\pm 5$ , lo que significa que estos son puntos críticos. Ambos valores están asociados con valores de la función $f(\pm 5)=0$ .

Los mínimos de la función se encuentran en (-5, 0) y (5, 0); la máxima de la función está en (0, 5).

Práctica

En los problemas # 1-3, identifica los valores máximos y mínimos absoluto y locales de la función (si es que existen); encuentra los extremos. (Las unidades sobre los ejes indican 1 unidad).

1. Continua sobre [0, 9]

2. Continua sobre [0, 9]

3. Continua sobre $[0, 4] \cup [4, 9]$

En los problemas # 4-6, encuentra los extremos y traza el gráfico.

4. $f(x)=-x^2-6x+4$ , [-4, 1]

5. $f(x)=x^3-x^4$ , [0, 2]

6. $f(x)=-x^2+\frac{4}{x^2}$ , [-2, 0]

7. ¿Cuál es el máximo absoluto de la función seno en el intervalo $[0, \pi]$ ?

8. ¿Cuál es el mínimo local de la función coseno en el intervalo $[0, 2 \pi]$ ?

9. ¿Cuál es el máximo absoluto y mínimo absoluto de la función $x^2$ en el intervalo [6, 7]?

10. ¿En qué punto la función $f(x)=(x^2-7x-8)^4$ alcanza su mínimo absoluto en el intervalo [5, 10]?

11. Que $[a, b]$ sean un intervalo cerrado finito, y que $f(x)$ sea una línea recta. Si $f(x)$ logra su valor máximo sobre $[a, b]$ en puntos distintos a $a$ y $b$ , ¿qué debe ser cierto respecto a $f(x)$ ?

12. Encuentra todos los número críticos de $f(x)=3x^4-\frac{8}{3}x^3-6x^2+8x+1$ .

13. Encuentra todos los número críticos de $f(x)=\frac{1}{2x^2-5x-3}$ .

14. Encuentra todos los número críticos de $f(x)=\ln(x-4)$ .

15. Encuentra todos los número críticos de $f(x)=\sqrt{x} \times(1-x)$ .

16. Encuentra todos los número críticos de $f(x)=\frac{x^2+x+1}{x-2}$ .

17. ¿el polinomio $f(x)=x^6+x^4+x^2+1$ alcanza un valor mínimo en el intervalo $[-\pi, \pi]$ ?

18. ¿la función $f(x)=7^{\sin (x)}$ alcanza un valor máximo en el intervalo $(0, \pi)$ ?

19. ¿la función $f(x)=\frac{10}{x}$ alcanza un valor máximo en el intervalo [-1, 1]?

20. ¿la función $f(x)=\sin \left(\frac{x}{2} \right)$ alcanza un valor mínimo en el intervalo $(0, \pi)$ ?

21. Que $a$ y $b$ sean dos números positivos tal que $a < b$ . ¿Alcanza la función $f(x)=\ln(x)$ un valor máximo en el intervalo $[a, b]$ ?

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