El teorema del valor medio

Objetivos

En esta sección, aprenderás que existe una relación importante entre la tasa promedio y la tasa instantánea en un intervalo.

Concepto

Jim le estaba contando a su amigo estudiante de matemáticas sobre una multa que habría recibido hace poco por exceso de velocidad, por manejar a más de 80mph un fin de semana en la mañana cuando había poco tráfico en la carretera. Al parecer dos policías ubicados en diferentes lugares a lo largo de la carretera lo habrían grabado cuando conducía a 60 y 65 mph, respectivamente, cuando pasó por cada una de sus posiciones de trampa de velocidad. Jim dijo que él sabía dónde se ubicaban las trampas de velocidad y que siempre se aseguraba de ir dentro de la velocidad límite, por lo que no podía entender cómo es que podían decir que iba a alta velocidad. El amigo de Jim, estudiante de matemáticas, le preguntó si el oficial que emitió la multa había dicho algo. Jim recordó que el oficial había mencionado que las trampas de velocidad estaban exactamente a 3 millas de distancia y que sabían que el auto de Jim había recorrido la distancia en 2 minutos. El amigo de Jim sonrió y dijo: “Oh, así es como lo hicieron: el teorema del valor medio”. Jim miró perplejo.

¿Puedes descifrar cómo es que el policía pudo pasar la multa sin haber visto realmente al auto de Jim yendo a más de 80 mph?

Mira Esto

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*Este video solo está disponible en inglés

http://www.youtube.com/watch?v=2_FCYzch8ww - Math Video Tutorials by James Sousa, Rolle's Theorem (7:54)

Este video explica el Teorema de Rolle y proporciona ejemplos.

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*Este video solo está disponible en inglés

http://www.youtube.com/watch?v=RHQvYvL679o - Math Video Tutorials by James Sousa, Mean Value Theorem (9:52)

Este video explica el teorema del valor medio y entrega problemas de ejemplo.

Orientación

En el capítulo anterior, se presentó la derivada de una función como la pendiente de la recta tangente en un punto. Vimos cómo la pendiente de una recta secante cambiaba a medida que uno de los dos puntos se aproximaba al otro. La recta secante se convirtió en la recta tangente en el límite cómo se ilustra a continuación.

Ahora miremos los valores de la pendiente de la recta tangente en un intervalo definido por la recta secante entre dos puntos. El siguiente teorema entrega una relación importante.

Teorema de Rolle

Si $f$ es continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ y diferenciable en el intervalo abierto $(a, b)$ , y si $f(a)=f(b)$ entonces $f$ tiene al menos un valor $c$ en el intervalo abierto $(a,b)$ tal que $f^\prime(c)=0$ .

Veamos si puedes hacer uso del teorema de Rolle

Ejemplo A

Para la función $f(x)=x^2-3x-10$ , muestra que ésta satisface las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [-2, 5] y encuentra todos los números $c$ en (-2, 5) que satisfagan $f^\prime(c)=0$

Solución:

Evaluar $f(x)$ en $x=-2$ y $x=5$ nos lleva :

$f(-2) &=(-2)^2-3(-2)-10\\&=0\\f(5) &=(5)^2-3(5)-10\\&=0$

Luego $f(-2)=f(5)$ , que satisface las condiciones para que se cumpla el teorema de Rolle.

Ahora para encontrar valores de $c$ que satisfagan $f^\prime(c)=0$ .

$\frac{dy}{dx} &=2x-3\\f^\prime(c)&=0\\&=2(c)-3\\\therefore c&=\frac{3}{2}$

Así $f^\prime \left(\frac{3}{2}\right)=0$ satisface el teorema de Rolle.

Ejemplo B:

Examina la función $f(x)=x^{\frac{2}{3}}$ . En el intervalo [-4, 4], $f(-4)=f(4)$ . Sin embargo, ¿hay algún punto en el que la derivada de $f(x)=x^{\frac{2}{3}}$ es igual a cero? ¿Es esto una contradicción del teorema de Rolle?

Solución:

La curva de la función para $f(x)=x^{\frac{2}{3}}$ se muestra a continuación.

Su derivada es $f^\prime(x)=\frac{2}{3x^{\frac{1}{3}}}$ , que es indefinida en $x=0$ , y no hay punto en el que la derivada sea 0. Pero, debido a que la función no es diferenciable en el intervalo, el teorema de Rolle no se aplica. No hay contradicción.

El teorema de Rolle requiere que $f(a) = f(b)$ . . Pero el teorema de Rolle es la base para demostrar el importante teorema general llamado el teorema del valor medio, el cual no requiere $f(a) = f(b)$ .

El teorema del valor medio

Si $f$ es una función continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ y si $f^\prime$ contiene el intervalo abierto $(a,b)$ en su dominio, entonces existe un número $c$ en el intervalo $(a,b)$ de tal manera que

$f^\prime(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Una forma equivalente es: $f(b)-f(a)=(b-a)f^\prime(c)$ .

Una ilustración del significado del teorema del valor medio se muestra en la siguiente figura, donde la pendiente de la recta secante que conecta $f(a)$ y $f(b)$ se puede encontrar que es la misma que la pendiente de la recta tangente en $f(c)$ .

Ejemplo C:

Verifique que el teorema del valor medio se aplica para la función $f(x)=x^3+3x^2-24x$ en el intervalo [1, 4].

Solución:

Tenemos que encontrar $c$ en el intervalo (1, 4) de manera que $f^\prime(c) =\frac{f(4)-f(1)}{(4-1)}$

$f^\prime(c) &=\frac{f(4)-f(1)}{(4-1)}\\&=\frac{16+20}{3}\\&=12$

Ten en cuenta que

$f^\prime (x)=3x^2+6x-24,$

Por tanto, tenemos que resolver la siguiente ecuación:

$3c^2+6c-24&=12\\3c^2+6c-32 &=0\\c^2+2c-12 &=0\\c &=-1\pm\sqrt{13}$

Dado que tenemos que tener $c$ en el intervalo (1, 4), la raíz positiva es la solución:

$c\approx2.61.$

Análisis del Problema de la Sección

¿Sabes por qué Jim recibió una multa por exceso de velocidad por ir al menos a 80 millas por hora cuando la velocidad de su auto fue registrada a 60 mph y 65 mph?

La información clave fue que la policía calculó que Jim había recorrido 3 millas en 2 minutos, de modo que la velocidad promedio de Jim fue de 90 mph. El amigo de Jim que es estudiante de matemáticas sabía que por el teorema del valor medio tenía que haber habido al menos una vez en que la velocidad real de Jim fue de 90 mph, sin duda superior a 80 mph.

Vocabulario

El teorema de Rolle dice que una función que tiene el mismo valor en dos puntos tiene una derivada de 0 en, al menos, un punto en el intervalo.

El teorema del valor medio equipara la pendiente de la recta secante de una función en un intervalo con el valor de la derivada en algún lugar en el intervalo.

Práctica Guiada

Verifique que el Teorema del Valor Medio se aplica para la función $f(x)=2\sin x+3\cos x$ en el intervalo $(0, 2\pi )$ .

Solución:

Tenemos que encontrar $c$ en el intervalo $(0, 2\pi )$ de manera que $f^\prime(c)=\frac{f(2\pi)-f(0)}{(2\pi-0)}$ :

$f^\prime(c)&=\frac{f(2\pi)-f(0)}{(2\pi-0)}\\&=\frac{2-2}{2\pi}\\&=0$

Ten en cuenta que

$f^\prime(x)=2\cos x-3\sin x$

Por tanto, tenemos que resolver la siguiente ecuación:

$2\cos c-3\sin c &=0\\\tan c &=\frac{2}{3}\\c &=\tan^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\\c &=0.588 \ \text{radians} \ \ldots \ \text{and also} \ (0.588+\pi) \ \text{radians en el intervalo} \ (0,2\pi).$

El teorema del valor medio se aplica en dos lugares en el intervalo $(0,2\pi)$ .

Práctica

Para 1-5, de ser posible, verifica el teorema de Rolle para las siguientes funciones mediante la búsqueda de los valores de $x$ para los cuales $f(x)=0$ y $f^\prime(x)=0$ . Si no es posible, expone por qué.

1. $f(x)=3x^3-12x$

2. $f(x)=x^2-\frac{2}{x-1}$

3. $f(x)=-2x^2-12x+5$

4. $f(x)=|2x-3|$

5. $f(x)=2\sin x+3\cos x$

6. $f(x)=x^4-2x^2$

7. Demostrar que si la ecuación $x^3+a_1x^2+a_2x=0$ tiene una raíz positiva en $x=r$ y que la ecuación $3x^2+2a_1x+a_2=0$ tiene una raíz positiva menor que $r$ .

Verifica que el teorema del valor medio funcione para cada una de las siguientes funciones en el intervalo especificado o señala por qué no lo hace:

8. $f(x)=\frac{(x+2)}{x}$ , [1, 2]

9. $f(x)=\frac{2}{x}$ , [-1,1]

10. $f(x)=x^2-5x+1$ , [0, 3]

11. $f(x)=5-\frac{4}{x}$ , [1, 4]

12. $f(x)=x^3-8x-5$ , [1, 4]

13. $f(x)=\sin x$ , $\left[0,\frac{\pi}{2} \right]$

14. $f(x)=\cos x$ , $\left[0,\frac{\pi}{2} \right]$

15. $f(x)=2^x$ , [0, 3]

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