El criterio de la primera derivada

Objetivos

En esta sección, usarás el criterio de la primera derivada para determinar si una función es creciente o decreciente y para encontrar los extremos.

Concepto

Si observas cualquier curva de una función, con solo mirar puedes decir si la función es creciente, decreciente o permanece constante en un intervalo. También puedes en qué lugar la función alcanza puntos altos y puntos bajos. Hay una manera de determinar matemáticamente lo mismo que proporcionan tus observaciones usando la derivada. ¿Puedes descifrar por tu cuenta, antes de seguir con la siguiente lección, cómo es que conocer la pendiente de una recta tangente puede hacer lo que tus observaciones visuales hacen?

Mira Esto

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*Este video solo está disponible en inglés

http://www.youtube.com/watch?v=6YM3TrudIzQ - Math Video Tutorials by James Sousa, Determining where a function is increasing and decreasing using the first derivative (10:05)

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*Este video solo está disponible en inglés

http://www.youtube.com/watch?v=Oc6P7p7wyCs - Math Video Tutorials by James Sousa, Finding relative extrema using the first derivative (6:18)

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Orientación

Primero exploramos algunas definiciones para ayudar a aclarar qué se quiere decir con que una función es creciente o decreciente en un intervalo. A continuación determinamos cómo es que la derivada de una función se puede utilizar para cuantificar esto.

Ejemplo A

Examina los gráficos del siguiente par de funciones.

Ambas funciones son continuas en los intervalos indicados. En la primera, $f(x) = x^3$ , los valores de la función son siempre crecientes a medida que $x$ aumenta. En el segundo, los valores de la función por tramos aumentan en el intervalo [-5, -2], permanecen igual en el intervalo [-2, 2], y luego vuelven a aumentar en [2, 5].

La diferencia entre estos dos casos de valores de función crecientes motiva la necesidad de hacer las siguientes distinciones:

Definiciones

Una función $f$ se dice que es creciente en $[a,b]$ contenida en el dominio de $f$ si $f(x_1) \le f(x_2)$ siempre que $x_1 \le x_2$ para todo $x_1, x_2 \in [a,b]$ .

Si $f(x_1) < f(x_2)$ siempre que $x_1 < x_2$ para todo $x_1, x_2 \in [a,b]$ . entonces decimos que $f$ es estrictamente creciente en

$[a,b]$ .

De similar manera,

Una función $f$ se dice que es decreciente en $[a,b]$ contenida en el dominio de $f$ si $f(x_1) \ge f(x_2)$ siempre que $x_1 \ge x_2$ para todo $x_1, x_2 \in [a,b]$ .

Si $f(x_1) > f(x_2)$ siempre que $x_1 > x_2$ para todo $x_1, x_2 \in [a,b]$ . Entonces decimos que $f$ es estrictamente decreciente en

$[a,b]$ .

Nota sobre la notación: el símbolo $\epsilon$ y $\in$ son equivalentes y denotan que un elemento particular está contenido dentro de un conjunto particular.

Usando la terminología anterior, decimos que la función $f(x) = x^3$ es estrictamente creciente en el intervalo; la función por tramos es creciente sobre el intervalo.

Ahora observa las derivadas de las dos funciones del Ejemplo A.

Ahora podemos enunciar un teorema que relaciona la derivada de una función con las propiedades de incremento y disminución de la función.

Teorema

Si $f$ es continua en el intervalo $[a,b]$ , y diferenciable en $(a, b)$ entonces:

Si $f^{\prime}(x) > 0$ para cada $x \in (a,b)$ , entonces $f$ es creciente en $[a,b]$ .
Si $f^{\prime}(x) < 0$ para cada $x \in (a,b)$ , entonces $f$ es decreciente en $[a,b]$ .

Ejemplo B

Para la función $f(x) = x^3 - 3x^2 - 6x + 8$ , encuentra los intervalos en los que $f$ es creciente y los intervalos en los que $f$ es decreciente.

Solución:

La función $f(x)$ es continua en todas partes. La derivada de la función es $f^{\prime}(x) = 3x^2 - 6x - 6 = 3(x^2 - 2x - 2)$ , que es una parábola con dos interceptos $x$ (números críticos de $f$ ) en $x = 1 \pm \sqrt{3}$ . Evaluación de $f^{\prime}(x)$ en los tres intervalos que son definidos por las dos raíces proporciona la siguiente información:

$f^{\prime}(x) = \begin{cases} >0, \qquad \qquad \quad x<1- \sqrt{3} \qquad \qquad f(x) \ \text{is increasing} \\=0, \qquad \qquad \quad x=1- \sqrt{3} \\<0, \qquad (1- \sqrt{3})< x <(1+ \sqrt{3}) \quad \ f(x) \ \text{is decreasing} \\=0, \qquad \qquad \quad x=1+ \sqrt{3} \\>0, \qquad \qquad \quad x>1+ \sqrt{3} \qquad \qquad f(x) \ \text{is increasing} \\\end{cases}$

Los cambios en la derivada de una función de positivo a negativo o de negativo a positivo pueden indicar la presencia de un extremo local.

El criterio de la primera derivada

Supongamos que $f$ es una función continua y que $x=c$ es un valor crítico de $f$ , entonces :

Si $f^{\prime}$ pasa de positivo a negativo en $x=c$ , entonces $f$ tiene un máximo local en $x=c$ .
Si $f^{\prime}$ pasa de negativo a positivo en $x=c$ , entonces $f$ tiene un mínimo local en $x=c$ .
Si $f^{\prime}$ no cambia de signo en $x=c$ , entonces $f$ no tiene ni un máximo local ni un mínimo en $x=c$ .

Ejemplo C

Podemos observar las consecuencias de este teorema mediante la observación de las rectas tangentes del siguiente gráfico en cada uno de los intervalos $(0, a)$ , $(a, b)$ , $(b, + \infty)$ .

Fíjate primero que tenemos un máximo relativo en $x=a$ y un mínimo relativo en $x=b$ . Las pendientes de las rectas tangentes cambian de positivo para $x \in (0, a)$ a negativo en el caso de $x \in (a, b)$ y luego de vuelta a positivo para $x \in (b, + \infty)$ .

Análisis del Problema de la Sección

Te felicitamos si las ideas de esta sección coincidieron con tu idea de cómo la derivada se podría usar para proporcionar la misma información que tus observaciones. Pendiente positiva significa una función creciente; pendiente negativa significa una función decreciente. Por lo general, la transición de la pendiente de positiva (negativa) a negativo (positiva) indica la ubicación de un extremo.

Vocabulario

Una función creciente es una función cuya variable dependiente $(y)$ incrementa cuando la variable independiente $(x)$ incrementa, pero se permiten los intervalos“planos” esto es, para.

Una función estrictamente creciente es una función cuya variable dependiente $(y)$ aumenta cuando la variable independiente $(x)$ aumenta y no se permiten los intervalos “planos”.

Una función creciente es una función cuya variable dependiente $(y)$ disminuye cuando la variable independiente $(x)$ disminuye, pero se permiten los intervalos “planos”.

Una función estrictamente decreciente es una función cuya variable dependiente $(y)$ disminuye cuando la variable independiente $(x)$ disminuye, pero no se permiten los intervalos “planos”.

Práctica Guiada

1. Examine el gráfico de la siguiente función. Determine si la función es estrictamente creciente o decreciente.

2. Examinemos la función $f(x) = x^2 + 6x - 9$ y observemos el gráfico alrededor $x = -3$ . ¿Qué le sucede a la primera derivada cerca de este valor?

Solución:

1. La función que se muestra aquí es estrictamente creciente en $(0, a)$ y $(b, c),$ y estrictamente decreciente en $(a, b)$ y $(c, d)$ .

2. Con $f(x) = x^2 + 6x - 9$ , la derivada es $f^{\prime}(x) = 2x + 6$ . Observa que la siguiente condición se aplica a las pendientes de rectas tangentes:

$f^{\prime}(x) = \begin{cases} <0, \ x<-3 \\=0, \ x=0 \\>0, \ x>-3\end{cases}$

Observamos que las pendientes de las rectas tangentes a la gráfica cambian de negativo a positivo en $x = -3$ . El criterio de la primera derivada establece que $f(x)$ tiene un mínimo local en $x = -3$ . La gráfica de la función lo verifica.

Práctica

En los problemas # 1-2, identifica los intervalos en los que la función es creciente, decreciente, o es constante. (Las unidades en los ejes indican unidades individuales).

3. Asignar el signo de las siguientes cantidades para el gráfico en el # 2.

$f^{\prime}(-3)$
$f^{\prime}(1)$
$f^{\prime}(3)$
$f^{\prime}(4)$

En el caso de los problemas #4–6, determina los intervalos en los cuales la función es creciente y en los que es decreciente. Traza el gráfico.

4. $f(x)=x^2 - \frac{1}{x}$

5. $f(x)=(x^2-1)^5$

6. $f(x)=(x^2-1)^4$

Para los problemas #7–10:

Usa el criterio de la primera derivada para encontrar los intervalos en los que la función crece y/o disminuye
Identificar todos los max, min o max relativo y minímos relativos
Traza el gráfico

7. $f(x)=-x^2-4x-1$

8. $f(x)=x^3+3x^2-9x+1$

9. $f(x)=x^{\frac{2}{3}}(x-5)$

10. $f(x)=2x \sqrt{x^2+1}$

11. Usa el criterio de la primera derivada para clasificar números $x=0$ y $x=\frac{3 \pi}{2}$ de $f(x)=\cos^2(x)$ como máximo local o mínimo.

12. Encuentra los números críticos de $f(x)=x^5-20x-2$ y clasifícalos como máximo local, mínimo o ninguno.

13. Encuentra los extremos locales de $f(x)=x+ \sin(x)$ en el intervalo $(-2 \pi, 2 \pi)$ .

14. Encuentra los extremos globales y locales de $f(x)=\frac{3}{4}x^4+4x^3-6x^2-48x-50$ .

15. Encuentra los extremos globales y locales de $f(x)=\frac{x^2-x-6}{x^2+x-6}$ .

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