Criterio de la segunda derivada

Objetivos

En esta lección, aprenderás una propiedad sobre las formas de los gráficos llamada concavidad y te presentaremos el criterio de la segunda derivada que se utiliza para estudiar esta propiedad.

Concepto

La derivada de una función curva en un punto es la analogía matemática de nuestra determinación visual si la función es creciente o decreciente en el punto. Pero si observas una curva de una función, también puedes determinar a simple vista si las rectas tangentes son cada vez más verticales o más horizontales en un intervalo. El reconocimiento visual de esta razón de cambio de la pendiente es una medida de curvatura (o concavidad), que a su vez te puede decir específicamente qué tipo de extremos están presentes. La representación matemática de la razón de cambio de la pendiente es la segunda derivada, la que se utiliza para identificar los tipos de curvatura. ¿Puedes resumir estas relaciones?

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*Este video solo está disponible en inglés

http://www.youtube.com/watch?v=2tmRPytHBuk - James Sousa: The second derivative test to determine relative extrema

Orientación

Hay una propiedad sobre la forma o curvatura de un gráfico llamada concavidad, la cual ayudará a identificar con precisión los intervalos en los que una función es creciente o decreciente, dónde se ubican el máximo y el mínimo, y también sirve de ayuda para trazar el gráfico. La concavidad se define de la siguiente manera:

Definición

Una función $f$ se dice que es cóncava hacia arriba en $[a,b]$ contenida en el dominio de $f$ si $f^\prime$ es una función creciente en $[a,b]$ y cóncava hacia abajo en $[a,b]$ si $f^\prime$ es una función decreciente en $[a,b]$ .

He aquí un ejemplo que ilustra estas propiedades.

Ejemplo A

Examina la función $f(x)=x^3-x$ :

Ya que $f(x)=x^3-x=x(x^2-1)$ , la función tiene ceros en $x=\pm 1,0$ .

Además, $f^\prime (x)=0=3x^2-1$ , nos dice la ubicación de los extremos: un máximo relativo en $x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ y un mínimo relativo en $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Ten en cuenta que el gráfico parece ser cóncavo hacia abajo para todos los intervalos en $(-\infty, 0)$ y cóncavo hacia arriba para todos los intervalos en $(0, + \infty)$ . ¿Dónde crees que la concavidad del gráfico pasó de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba? Si respondiste en $x=0$ estarías en lo cierto.

En general, queremos identificar no solamente los extremos de una función, sino que también los puntos donde el gráfico cambia de concavidad. La siguiente definición proporciona una caracterización formal del punto donde el gráfico cambia de concavidad.

Definición

Un punto en un gráfico de una función $f$ donde la concavidad cambia se llama un punto de inflexión .

El ejemplo anterior sólo tenía un punto de inflexión. Pero fácilmente podemos dar con ejemplos de las funciones donde hay más de un punto de inflexión.

Ejemplo B

Examina la función $f(x)=x^4-3x^3+x-2$ que se muestra en la figura.

Podemos ver que el gráfico tiene dos mínimos relativos, un máximo relativo y dos puntos de inflexión (en $A$ y $B$ ).

En general, se puede utilizar la siguiente prueba para la concavidad:

Prueba de la concavidad

Supongamos que $f$ es continua en $[a, b]$ y que $I$ es algún intervalo abierto en el dominio de $f$ .

Si $f^{\prime\prime} (x)>0$ para todo $x \in I$ , entonces el gráfico de $f$ es cóncava hacia arriba en $I$

Si $f^{\prime\prime} (x)<0$ para todo $x \in I$ , entonces el gráfico de $f$ es cóncavo hacia abajo en $I$

Vamos a aplicar la prueba de la concavidad a la función $f(x)=x^4-3x^3+x-2$ :

La segunda derivada es, $f^{\prime\prime} (x)=12x^2-18x=6x(2x-3)$ , la concavidad se da en la tabla.

Intervalo o Punto	$f^{\prime\prime} (x)$	Concavidad
[-1,0)	>0	Hacia arriba
0	=0	Cambio=inflexión
(0, 1.5)	<0	Hacia abajo
1.5	=0	Cambio=inflexión
(1.5, 3]	>0	Hacia arriba

¿Puedes ver cómo la concavidad entrega una pista de la presencia de un máximo relativo, o mínimo, o punto de inflexión? Una consecuencia de la prueba de la concavidad es la siguiente prueba para identificar donde tenemos extremos y puntos de inflexión de $f$ .

Prueba de la segunda derivada para los extremos

Supongamos que $f$ es una función continúa cerca de $c$ y que $c$ es un valor crítico de $f$ Entonces

Si $f^{\prime\prime} (c) < 0$ , entonces $f$ tiene un máximo relativo en $x=c$ .

Si $f^{\prime\prime} (c) > 0$ , entonces $f$ tiene un mínimo relativo en $x=c$ .

Si $f^{\prime\prime} (c) = 0$ , entonces la prueba no es concluyente y $x=c$ puede ser un punto de inflexión.

¿Funciona la prueba en el caso de nuestro ejemplo anterior de $f(x)=x^4-3x^3+x-2$ ?

Ejemplo C

La función es $f(x)=x^4-3x^3+x-2$ .

Podemos encontrar los valores críticos donde $f^\prime (x)=4x^3-9x^2+1=0$ , y usarlos para evaluar $f^{\prime\prime}(c)$ . Los resultados se presentan a continuación.

Punto crítico	$f^{\prime\prime} (c)$	Conclusión
$x=-0.312$	>0	Mínimo relativo
$x=0.364$	<0	Máximo relativo
$x=2.198$	>0	Mínimo relativo

Las pruebas funcionan en este ejemplo.

Sin embargo, recuerda que la prueba de la segunda derivada nos advierte que si $f^{\prime\prime}(c)=0$ , la prueba no es concluyente, porque $c$ puede ser un punto de inflexión. Recuerda que este era el caso para $f(x)=x^3$ .

Análisis del Problema de la Sección

La curvatura del gráfico de una función se puede describir por su concavidad (hacia arriba o abajo), que a su vez se puede determinar en cada punto por la segunda derivada (si se define). Debido a que los puntos críticos pueden determinar las ubicaciones de los máximos relativos o mínimos sin identificar cual, conocer el tipo de curvatura de la segunda derivada puede identificar específicamente si tenemos un mínimo o un máximo, o ninguno.

Vocabulario

Concavidad describe el comportamiento de la pendiente de la recta tangente de una función tal que la concavidad es positiva, si la pendiente es creciente, negativa si la pendiente es decreciente y cero si la pendiente es constante.

Un punto de inflexión es un punto en el dominio donde la concavidad pasa de positiva (negativa) a negativa (positiva).

Práctica Guiada

Examina la función $f(x)=x+\frac{4}{x}$ . Encuentra los puntos críticos y determina si son máximos relativos o mínimos relativos por medio del criterio de la segunda derivada.

Solución:

La primera cosa para notar es que la función no está definida en $x=0$ .

Para encontrar los puntos críticos buscamos los puntos $c$ donde $f^\prime (c)=0$ .

$f^\prime (x)=1-\frac{4}{x^2}=0$ significa que hay puntos críticos en $x=-2$ , y $x=2$ .

Dado que $f^{\prime\prime} (x)=\frac{8}{x^3}: f^{\prime\prime}(-2)=-1$ y la curva es cóncava hacia abajo con un máximo relativo; $f^{\prime\prime} (2)=1$ , y la curva es cóncava hacia arriba con un mínimo relativo.

El gráfico de la función es el que se muestra.

Práctica

1. Encuentra todos los extremos usando el criterio de la segunda derivada: $f(x)=\frac{x^2}{4}+\frac{4}{x}$ .

2. Examina $f(x)=x^2+ax+b$ , con $f(1)=3$ .

a. Determine $a$ y $b$ por lo que $x=1$ es un valor crítico de la función $f$ .

b. ¿Es el punto (1, 3) un máximo, un mínimo o ninguno?

En los problemas #3-6, encuentra todas las extremas y puntos de inflexión. Traza el gráfico.

3. $f(x)=x^3+x^2$

4. $f(x)=\frac{x^2+3}{x}$

5. $f(x)=x^3-12x$

6. $f(x)=-\frac{1}{4}x^4+2x^2$

7. Usa tu calculadora gráfica para examinar el gráfico de $f(x)=x(x-1)^3$ (Pista: tendrás que cambiar el rango de $y$ en la ventana de visualización)

a. Discute la concavidad del gráfico en el intervalo $\left(0,\frac{1}{2}\right)$ .

b. Usa tu calculadora para encontrar el valor mínimo de la función en el intervalo.

8. Verdadero o Falso: $f(x)=x^4+4x^3$ tiene un mínimo relativo en $x=-2$ y un máximo relativo en $x=0$ ?

9. Si es posible, proporcione un ejemplo de una función que no sea un polinomio que tenga exactamente un mínimo relativo.

10. Si es posible, proporciona un ejemplo de una función que no sea un polinomio que sea cóncava hacia abajo en todas partes de su dominio.

11. Que $f(x)$ sea una función continua y que $[a, b]$ esté en un intervalo cerrado en el cual $f(x)$ es definida. Si sabemos que $f(x)$ es positiva en el intervalo $[a, b]$ , ¿nos dice algo acerca de la concavidad de $f(x)$ en $[a, b]$ ?

12. ¿La función es $f(x)=x^4$ cóncava hacia arriba o hacia abajo en el intervalo [10, 11]?

13. ¿La función es $f(x)=-\cos (x)$ cóncava hacia arriba o hacia abajo en el intervalo $\left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right]$ ?

14. Si la primera derivada de $f(x)$ es $f^\prime (x)=20^x \sin (\pi x)$ , ¿es $f(x)$ cóncava hacia arriba o hacia abajo sobre el intervalo $\left[0, \frac{1}{2}\right]$ ?

15. ¿Cuál es un punto de inflexión de la función $f(x)=4x^3+3x^2+2x+1$ ?

16. Utiliza el criterio de la segunda derivada para clasificar los extremos de la función $f(x)=x^3+x^2-5 \ln (x)$ en el intervalo $\left(\frac{1}{2},2\right)$ .

17. Utiliza el criterio de la segunda derivada para clasificar los extremos de la función $f(x)=5^{\sin (x)}$ en el intervalo $\left(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right)$ .

18. Utiliza el criterio de la segunda derivada para clasificar los extremos de la función $f(x)=\ln (2x+x^2)$ en el intervalo $\left(-\frac{5}{2},-\frac{1}{2}\right)$ .

19. Utiliza el criterio de la segunda derivada para clasificar los extremos de la función $f(x)=x^4$ en el intervalo (1, 5).

20. ¿Podemos utilizar la segunda derivada para comprobar si $x=0$ es un máximo o un mínimo de la función $f(x)=x^{10}+25$ ?

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