Usando el criterio de la primera y segunda derivada

En esta lección, usarás el criterio de la primera derivada y de la segunda derivada para analizar las características de los gráficos de una función.

Concepto

Cuando está definida en un punto, la primera derivada y la segunda derivada proporcionan uno de los tres resultados: + (valor > 0), - (valor < 0) o 0. Antes de continuar con esta sección, ¿puedes graficar todas las posibilidades de resultados para  y , e identifica cuál da información definitiva sobre los extremos de ?

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*Este video solo está disponible en inglés

http://www.youtube.com/watch?v=iOvorLc5NgQ - James Sousa: Summary of the First and Second Derivative of a Function

Orientación

Así que ahora nos gustaría utilizar todo lo que hemos aprendido del criterio de la primera y segunda derivada para trazar gráficos de funciones. La siguiente tabla ofrece un resumen de los criterios y puede ser una guía muy útil a la hora de trazar gráficos.

Signos de 1 a y 2 a derivadas	Conclusión	Forma de los gráficos
	es creciente es cóncava hacia arriba
	es creciente  es cóncava hacia abajo
	es decreciente  es cóncava hacia arriba
	es decreciente  es cóncava hacia abajo

Observemos un ejemplo en el que podemos usar tanto el criterio de la primera derivada como el criterio de la segunda derivada para descubrir información que nos permitirá dibujar el gráfico.

Ejemplo A

Examinemos la función

1. Encuentra los valores críticos para los cuales

, lo que significa  en

2. Aplica el criterio de la primera y segunda derivada para determinar los extremos y puntos de inflexión.

Tomamos nota de los signos de  y  en los intervalos particionados por

Intervalos clave			Forma del gráfico
			Creciente, cóncava hacia abajo
			Decreciente, cóncava hacia abajo
			Decreciente, cóncava hacia arriba
			Creciente, cóncava hacia arriba

En los puntos críticos:

1. . Por el criterio de la segunda derivada tenemos un máximo relativo en , o en el punto (-1, 6).
2. . Por el criterio de la segunda derivada debemos tener un punto de inflexión debido a la transición desde cóncava hacia abajo hacia cóncava hacia arriba entre los intervalos clave.
3. . Por el criterio de la segunda derivada tenemos un mínimo relativo en  , o el punto (1, -2).

Ahora podemos trazar el gráfico.

Ahora, observa una función racional simple.

Ejemplo B

Examina la función .

1. Encuentra los valores críticos para los cuales .

 lo que significa que no hay valores  que hagan .

Ya que  no está definida en , este es el único punto crítico.

2. Notamos que los signos de  y  en los intervalos particionados por .

Intervalos clave			Forma del gráfico
			Decreciente, cóncava hacia abajo
			Decreciente, cóncava hacia arriba

En el punto crítico, hay una asíntota vertical y la función y las derivadas son indefinidas; no hay un mínimo o máximo.

Ahora podemos trazar el gráfico.

Ejemplo C

Para la función ,

1. Encuentra todos los valores críticos
2. Encuentra los correspondientes  valores para cada valor crítico
3. Clasifica cada punto como un máximo relativo o un mínimo relativo

Solución:

a. La derivada es:

Lo cual da valores críticos:  y

b. Esto significa que:  y

c. La segunda derivada es:

La evaluación en los puntos críticos determina que:

, lo que significa cóncava hacia abajo (un máximo) y

 significa cóncavos hacia arriba (un mínimo).

A continuación se representa el gráfico de la función:

Análisis del Problema de la Sección

¿Puedes trazar todas las posibilidades de signo/cero para  y , e identificar cual otorga información definitiva sobre los extremos de ?

Hay nueve posibilidades de la siguiente forma:

		¿Información definitiva sobre los extremos?
		No
		No
	0	No
		No
		No
	0	No
0		Sí
0		Sí
0	0	No

Solamente cuando hay un punto crítico con  podemos usar la información sobre  para decir si tenemos un mínimo o un máximo de .

Vocabulario

Una   función creciente es una función cuya variable dependiente   incrementa cuando la variable independiente  incrementa, pero se permiten los intervalos “planos”.

Una  función decreciente es una función cuya variable dependiente  decrece cuando la variable independiente  decrece, pero se permiten los intervalos “planos”.

Concavidad describe el comportamiento de la pendiente de la recta tangente de una función tal que la concavidad es positiva, si la pendiente es creciente, negativa si la pendiente es decreciente y cero si la pendiente es constante.

Un punto de inflexión es un punto en el dominio donde la concavidad pasa de positiva (negativa) a negativa (positiva).

Práctica Guiada

Para la función ,

1. Encuentra todos los valores críticos
2. Clasifica cada punto como un máximo relativo o un mínimo relativo
3. Identifica cualquier punto de inflexión

Solución:

a. La derivada es:

Lo cual da valores críticos:  y

b. La segunda derivada es:

La evaluación en los puntos críticos determina que:

, lo que significa cóncava hacia abajo (un máximo) y

 significa cóncava hacia arriba (dos mínimos).

c. La segunda derivada es 0 cuando .

 y  son puntos de inflexión.

Práctica

Para las siguientes funciones encontrar los puntos críticos, determinar si cada uno es un mínimo o máximo local, y determinar los puntos de inflexión:

1.

2.

3.  en el intervalo .

4.

5.

6.  en el intervalo [-5, 3]

7.

8. , (-1, 3]

9. Encuentra el máximo absoluto y mínimo absoluto de  en el intervalo [0, 4].

Encontrar los puntos críticos, los mínimos y máximos locales para:

10.

11.

12.

13. 

14.

15.  en el intervalo .