Cómo evaluar límites indeterminados: la regla de L'Hôpital

Objetivos

En esta sección, te presentaremos un método muy útil para evaluar límites de formas indeterminadas, llamado la regla de L'Hôpital.

Concepto

A menudo, en la evaluación del límite de una función, el uso del método de sustitución directa conduce a una forma indeterminada como por ejemplo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty }{\infty }$ , y se debe probar otro método. ¿Recuerdas el método en que se cancela el factor utilizado en algunas expresiones racionales (numerador y denominador del polinomio) y el método de la multiplicación conjugada utilizado en algunas expresiones radicales? El método que se presenta en esta sección transforma la forma indeterminada original al tomar la derivada del numerador y denominador de la forma indeterminada y luego vuelve a aplicar el límite. ¿Se te ocurre alguna razón por la que tal técnica proporcionaría una mejor oportunidad de encontrar el límite?

Mira Esto

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*Este video solo está disponible en inglés

http://www.youtube.com/watch?v=E9NrTG_gavU - James Sousa: L’Hôpital’s Rule: Part 1

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*Este video solo está disponible en inglés

http://www.youtube.com/watch?v=hAb4Nvc_epA - James Sousa: L’Hôpital’s Rule: Part 2

Orientación

Las formas primarias indeterminadas que son aplicable por usar el método que estaremos discutiendo son las siguientes:

Formas indeterminadas

$\frac{0}{0}\frac{\infty}{\infty}\frac{-\infty}{\infty}\frac{\infty}{-\infty}\frac{-\infty}{-\infty}$

Como un ejemplo, $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$ no se puede evaluar por sustitución directa ya que el resultado es la forma indeterminada $\frac{0}{0}$ .

Hay un método que se puede utilizar, en muchos casos, para evaluar límites cuando la sustitución directa u otros métodos tienen como resultado una forma indeterminada. El método se llama la regla de L'Hôpital.

La regla de L’Hôpital

1. Que las funciones $f$ y $g$ sean diferenciables en cualquier número que no sea $c$ en algún intervalo, con $g^\prime(x) \ne 0$ si $x \ne c.$

Si $\lim_{x \to c} f(x) = 0$ y $\lim_{x \to c} g(x) = 0$ , o si $\lim_{x \to c} f(x) = \pm \infty$ y $\lim_{x \to c} g(x) = \pm \infty$ , luego:

$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$

siempre que $\lim_{x \to c} \frac{{f'(x)}}{{g'(x)}}$ exista o sea infinita.

2. Si $f$ y $g$ son diferenciables en cada número $x$ mayor que algún número $a$ , con $g^\prime(x) \ne 0$ entonces :

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$

siempre que $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$ exista o sea infinita.

Nota: la regla de L’Hôpital también es válida para los límites de un solo lado.

Observemos otra vez al resultado $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ usando la regla de L’Hôpital.

Ejemplo A

Encuentra $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ .

Solución:

Para este problema $f(x) = \sin x$ y $g(x) = x$ .

Dado que $\lim_{x \to 0} \sin x = \lim_{x \to 0} x = 0$ , la regla de L’Hôpital se aplica y tenemos

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} &=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{d}{dx}[\sin x]}{\frac{d}{dx}[x]} \\&=\lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1} \\&=\frac{1}{1}\\&=1$

Por lo tanto, $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ .

Existen algunos límites en los que la regla de L’Hôpital’s debe aplicarse más de una vez antes de que resulte una forma determinada.

Ejemplo B

Evalúa $\lim_{x \to + \infty } \frac{x^2}{e^x}$ .

Solución:

La sustitución directa resulta en una forma indeterminada de $\frac{\infty }{\infty }$ .

Dado que $\lim_{x \to + \infty } {x^2} = \lim_{x \to + \infty } {e^x} = + \infty$ , la regla de L’Hôpital se aplica y tenemos:

$\lim_{x \to +\infty}\frac{x^2}{e^x}&=\lim_{x \to \infty}\frac{\frac{d}{dx}[x^2]}{\frac{d}{dx}[e^x]}\\\lim_{x \to +\infty}\frac{x^2}{e^x}&=\lim_{x \to \infty}\frac{\frac{d}{dx}[x^2]}{\frac{d}{dx}[e^x]}\\&=\lim_{x \to \infty}\frac{2x}{e^x}\qquad \qquad\text{\dots Notice that applying L'H}\hat{\text{o}}\text{pital's Rule has resulted}\\ & \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \text{in the same indeterminate form}\ \frac{\infty}{\infty}. \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \quad\text{Try\ L'H}\hat{\text{o}}\text{pital's\ Rule\ again!} \\&=\lim_{x \to \infty}\frac{2}{e^x}\qquad\qquad \text{\ldots This can be evaluated.}\\&=0$

La regla, $\lim_{x \to + \infty } \frac{x^2}{e^x} = 0$ .

L’Hôpital se puede usar en varias ocasiones en funciones como esta. A menudo resulta útil ya que las funciones polinómicas se pueden reducir a una constante.

Las formas indeterminadas mencionadas anteriormente son las que se aplican directamente a la utilización de la regla de L’Hôpital, sin embargo no son las únicas formas indeterminadas. Las formas indeterminadas adicionales, que se muestra a continuación, pueden ocurrir cuando se evalúan los límites.

Formas indeterminadas adicionales

$0\cdot \pm \infty \quad \infty - \infty \quad 0^0 \quad \infty^0 \quad 1^\infty$

Estas otras formas no son aplicables usando la regla de L’Hôpital, sin embargo a veces se pueden transformar en una de las cuatro formas indeterminadas que es.

Ejemplo C

Evalúa $\lim_{x \to {0^+}} \sqrt x \cdot \ln x$ .

Solución:

Evaluar el límite usando sustitución directa nos lleva a la indeterminada para $0 \cdot - \infty$ , la cual no es una de las formas aplicables a la regla de L’Hôpital. El remedio consiste en convertir el producto límite en un cociente límite:

$\lim_{x \to 0^+}\sqrt{x}\cdot \ln x &=\lim_{x \to 0^+}\frac{\ln x}{\frac{1}{\sqrt{x}}}\qquad\ \ \quad\text{\ldots Current form must change for use with L'H}\hat{\text{o}}\text{pital's Rule}: \\& \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ \text{Convert the product to a quotient.}\\&=\lim_{x \to 0^+}\frac{\frac{d}{dx}\ln x}{\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{\sqrt{x}}\right]}\quad\quad \text{\ldots Apply L'H}\hat{\text{o}}\text{pital's Rule}\\&=\lim_{x \to 0^+}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{2}x^{\frac{-3}{2}}}\\&=\lim_{x \to 0^+}\left[-2\sqrt{x}\right]\\&=0$

Por lo tanto, $\lim_{x \to {0^ + }} \sqrt x\cdot \ln x = 0$ .

Análisis del Problema de la Sección

¿Se te ocurre alguna razón o razones de por qué sacando el derivado de un numerador y denominador de la forma límite se nos proporciona una mejor chance para encontrar el límite?

Además de una prueba de la regla de L’Hôpital , existen probablemente muchas razones intuitivas de por qué funciona. Quizás dijiste que la razón de cambio del numerador versus el denominador es importante en la determinación de la razón. Si el denominador se aproxima a infinito (0) más rápido que el denominador, esa información importa y es proporcionada por la derivada.

Vocabulario

Una forma indeterminada es una expresión que no se puede evaluar del tipo:

$\frac{0}{0}\frac{\infty }{\infty }\frac{ -\infty }{\infty}\frac{\infty}{-\infty}\frac{-\infty}{-\infty}, \ \text{or} \ 0\cdot\pm \infty\quad \infty - \infty\quad 0^0\quad\infty ^0\quad 1^\infty.$

Práctica Guiada

1. Evalúa $\lim_{x \to 0} \frac{{e^x} - 1}{x}.$

Solución:

La sustitución directa resulta en una forma indeterminada.

Dado que $\lim_{x \to 0} ({e^x} - 1) = \lim_{x \to 0} x = 0$ , la regla de L’Hôpital se aplica y tenemos

$\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x} &=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{d}{dx}[e^x-1]}{\frac{d}{dx}[x]}\\&=\lim_{x \to 0}\frac{e^x}{1}\\&=\frac{1}{1}\\&=1$

Por lo tanto, $\lim_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1$ .

2. Evalúa $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ .

Solución:

La sustitución directa resulta en la forma indeterminada $\frac{0}{0}$ .

Dado que $\lim_{x \to 0} (1 - \cos x) = \lim_{x \to 0} {x^2} = 0$ , la regla de L’Hôpital se aplica y tenemos

$\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}&=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{d}{dx}[1-\cos x]}{\frac{d}{dx}[x^2]} \\&= \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{2x}\qquad \qquad\text{\ldots Notice that applaying L'H}\hat{\text{o}}\text{pital's Rule has resulted} \\ & \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \text{in the same indeterminate form} \ \frac{\infty}{\infty}. \\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \text{Try\ L'H}\hat{\text{o}}\text{pital's\ Rule\ again!}\\&=\lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{2}\qquad\qquad \text{\ldots This limit can be evaluated}. \\&=\frac{1}{2}.$

Por lo tanto, $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}.$

Práctica

Use la regla de L’Hôpital para calcular los límites, si es que existen.

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$
$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} }{x}$
$\lim_{x \to + \infty } \frac{\ln (x)}{\sqrt x }$
$\lim_{x \to + \infty } {x^2}{e^{ - 2x}}$
$\lim_{x \to 0} {(1 - x)^{\frac{1}{x}}}$
$\lim_{x \to 0} \frac{{e^x} - 1 - x}{x^2}$
$\lim_{x \to - \infty } \frac{{e^x} - 1 - x}{x^2}$
$\lim_{x \to \infty } {x^{\frac{1}{4}}}\ln (x)$
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\tan x}{1 + \tan x}$
$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$
$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{{\sin }^2x}$
$\lim_{x \to 0} \frac{{e^{x^2}} - 1}{\sin {x^2}}$
$\lim_{x \to \infty } \frac{\sqrt {{x^2} + 1}}{x}$
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$
$\lim_{x \to \infty } {x^3}{e^{ - x}}$

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