Analizar los gráficos de funciones

Objetivos

En esta sección, harás una síntesis de las propiedades de las funciones y dibujarás gráficos.

Concepto

Dado un conjunto de información sobre las propiedades claves de una función, puedes dibujar el gráfico. Antes de continuar, haz un intento de síntesis de las que piensas que son las propiedades clave. Por lo general, las propiedades claves de una función no se te presentan todas directamente, sin embargo se deben determinar a partir de la información a mano.

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*Este video solo está disponible en inglés

http://www.youtube.com/watch?v=ojcp0GJKluM - Khan Academy Graphing with Calculus (9:43)

Ilustra cómo utilizar la información acerca de la derivada de una función y los puntos dados que figuran en el gráfico de la función para dibujar la función.

http://www.khanacademy.org/video?v=ojcp0GJKluM

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Orientación

Primero vamos a resumir el tipo de información acerca de las funciones que ahora podemos generar sobre la base de nuestras discusiones anteriores. Luego vamos a utilizar esta información para analizar ejemplos de funciones racionales, polinómicas, radicales y trigonométricas representativas.

Vamos a utilizar una tabla como la que se muestra como una plantilla para organizar nuestros resultados.

Tabla de resumen
$f(x)=$	Análisis
Dominio y rango
Interceptos y ceros
Las asíntotas y límites en el infinito
Diferenciabilidad
Intervalos donde $f$ es creciente
Intervalos donde $f$ es decreciente
Extremos relativos
Concavidad
Puntos de inflexión

Ejemplo A: Analizar Funciones Racionales

Examina la función racional $f(x)=\frac{x^2-4}{x^2-2x-8}$ .

Propiedades generales: Parece que la función tiene zonas ceros en $x=\pm 2$ . Sin embargo, una vez que factorizamos la expresión vemos

$\frac{x^2-4}{x^2-2x-8}=\frac{(x+2)(x-2)}{(x-4)(x+2)}=\frac{x-2}{x-4}$ .

De ahí que, la función tiene un cero en $x=2$ , hay un agujero en el gráfico en $x=-2$ , el dominio es $(-\infty, -2) \cup (-2,4) \cup (4, + \infty)$ , y el intercepto $y$ es $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ .

Asíntotas y límites en el infinito

Dado el dominio, notamos que hay una asíntota vertical en $x=4$ . Para determinar otras asíntotas, examinamos el límite de $f$ como $x \rightarrow \infty$ y $x \rightarrow -\infty$ . Tenemos

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2-4}{x^2-2x-8}=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{x^2}{x^2}-\frac{4}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}-\frac{2x}{x^2}-\frac{8}{x^2}}=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1-\frac{4}{x^2}}{1-\frac{2}{x}-\frac{8}{x^2}}=1$ .

De la misma manera, vemos que $\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x^2-4}{x^2-2x-8}=1$ . También notamos que $y \neq \frac{2}{3}$ ya que $x \neq -2$ .

De ahí que tengamos una asíntota horizontal en $y=1$ .

Diferenciabilidad

$f^\prime (x)=\frac{-2x^2-8x-8}{(x^2-2x-8)}=\frac{-2}{(x-4)^2} < 0$ . De ahí que la función sea diferenciable en todos los puntos de su dominio, y ya que $f^\prime (x)<0$ en su dominio, entonces $f$ es decreciente en su dominio, $(-\infty, -2) \cup (-2, 4) \cup (4, + \infty)$ .

$f^{\prime\prime} (x)=\frac{4}{(x-4)^3}$ .

$f^{\prime\prime} (x) \neq 0$ en el dominio de $f$ . Por consiguiente, no hay extremos relativos y no hay puntos de inflexión.

Así $f^{\prime\prime} (x)>0$ cuando $x>4$ . Por lo tanto, el gráfico es cóncavo hacia arriba para $x>4$ .

De la misma manera, $f^{\prime\prime}(x)<0$ cuando $x<4$ . Por lo tanto, el gráfico es cóncavo hacia abajo en el caso de $x<4, x \neq -2$ .

Hagamos una síntesis de nuestros resultados en la tabla antes de dibujar la gráfica.

Tabla de resumen
$f(x)=\frac{x^2-4}{x^2-2x-8}$	Análisis
Dominio y rango	$D=(-\infty, -2) \cup (-2,4) \cup (4, + \infty)$ $R=\{ \text{all reals} \neq 1 \text{or} \ \frac{2}{3}\}$
Interceptos y Ceros	Cero en $x=2$ , $y-$ intercepto en $\left(0, \frac{1}{2}\right)$
Asíntotas y límites en el infinito	VA en $x=4$ , HA en $y=1$ , Agujero en el gráfico en $x=-2$
Diferenciabilidad	Diferenciable en cada punto de su dominio
Intervalos donde $f$ es creciente	en ninguna parte
Intervalos donde $f$ es decreciente	$(-\infty, -2) \cup (-2,4) \cup (4, + \infty)$
Extremos relativos	Ninguno
Concavidad	Cóncava hacia arriba en $(4, + \infty)$ , Cóncavo hacia abajo en $(-\infty, -2) \cup (-2,4)$
Puntos de inflexión	Ninguno

Finalmente, dibujamos el gráfico de la siguiente manera:

Ejemplo B: Análisis de Funciones Radicales

Examina la función $f(x)=\sqrt{2x-1}$ .

Propiedades generales

El dominio de $f$ es $\left(\frac{1}{2}, + \infty \right)$ , y tiene un cero en $x=\frac{1}{2}$ .

Asíntotas y Límites en el Infinito

Dado el dominio, notamos que no hay asíntotas verticales. Notamos que $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)=+\infty$ .

Diferenciabilidad

$f^\prime (x)=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}>0$ para todo el dominio de $f$ . Por consiguiente $f$ está aumentando en todas partes en su dominio. $f^\prime (x)$ no está definida en $x=\frac{1}{2}$ , por lo tanto $x=\frac{1}{2}$ es un valor crítico.

$f^{\prime\prime}(x)=\frac{-1}{\sqrt{(2x-1)^3}}<0$ en todas partes en $\left(\frac{1}{2}, +\infty\right)$ . Por lo tanto $f$ es cóncavo hacia abajo en $\left(\frac{1}{2}, +\infty\right)$ .

$f^\prime (x)$ no está definida en $x=\frac{1}{2}$ , por lo que $x=\frac{1}{2}$ es un mínimo absoluto.

Tabla de resumen
$f(x)=\sqrt{2x}-1$	Análisis
Dominio y rango	$D=\left(\frac{1}{2}, +\infty \right), R=\{y \ge 0 \}$
Interceptos y ceros	Cero en $x=\frac{1}{2}$ , No $y-$ intercepto
Las asíntotas y límites en el infinito	No asíntotas
Diferenciabilidad	Diferenciable en $\left(\frac{1}{2}, +\infty \right)$
Intervalos donde $f$ es creciente	En todas partes de $D=\left(\frac{1}{2}, + \infty \right)$
Intervalos donde $f$ es decreciente	En ninguna parte
Extremos relativos	Ninguno
Concavidad	Mínimo absoluto en $x=\frac{1}{2}$ , ubicado en $\left(\frac{1}{2}, 0 \right)$ Cóncavo hacia abajo en $\left(\frac{1}{2}, + \infty \right)$
Puntos de inflexión	Ninguno

Aquí hay un dibujo del gráfico:

Ejemplo C: Análisis de las Funciones Trigonométricas

Vamos a ver que mientras que las funciones trigonométricas se pueden analizar utilizando lo que sabemos sobre derivadas, ofrecerán algunos retos interesantes que tendremos que abordar.

Examine la función $f(x)=x-2 \sin x$ en el intervalo $[-\pi, \pi]$ .

Propiedades generales

Tomamos nota que $f$ es una función continua y alcanza un máximo absoluto y mínimo en $[-\pi, \pi]$ . Su dominio es $[-\pi, \pi]$ , y su rango es $R=\{ -\pi \le y \le \pi \}$ .

Diferenciabilidad

$f^\prime (x)=1-2 \cos x=0$ en $x=-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}$ .

Ten en cuenta que $f^\prime (x) > 0$ en $\left(-\pi, -\frac{\pi}{3}\right)$ y $\left(\frac{\pi}{3}, \pi \right)$ ; por consiguiente la función es creciente en $\left(-\pi, - \frac{\pi}{3}\right)$ y $\left(\frac{\pi}{3}, \pi\right)$ .

Ten en cuenta que $f^\prime (x) < 0$ en $\left(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right)$ ; por consiguiente la función es decreciente en $\left(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right)$ .

$f^{\prime\prime} (x)=2 \sin x=0$ si $x=0, \pi, -\pi$ . De ahí que los valores críticos están en $x=-\pi, -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}$ , y $\pi$ .

$f^{\prime\prime} \left(\frac{\pi}{3}\right)>0$ ; por lo que hay un mínimo relativo en $x=\frac{\pi}{3}$ .

$f^{\prime\prime} \left(-\frac{\pi}{3}\right)<0$ ; por lo que hay un máximo relativo en $x=-\frac{\pi}{3}$ .

$f^{\prime\prime} (x) <0$ en $(-\pi, 0)$ y $f^{\prime\prime} (x) > 0$ en $(0, \pi)$ . Por lo tanto, el gráfico es cóncavo hacia abajo en $(-\pi, 0)$ y cóncavo hacia arriba y decreciente en $(0, \pi)$ . Hay un punto de inflexión en $x=0$ , ubicado en el punto (0, 0).

Finalmente, hay un mínimo absoluto en $x=-\pi$ , ubicado en $(-\pi, -\pi)$ , y un máximo absoluto en $x=\pi$ , ubicado en $(\pi, \pi)$ .

Tabla de resumen
$f(x)=x-2 \sin x$	Análisis
Dominio y rango	$D=[-\pi, \pi], R=\{-\pi \le y \le \pi\}$
Interceptos y Ceros	$x=-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}$
Asíntotas y límites en el infinito	No hay asíntotas
Diferenciabilidad	Diferenciable en $D=[-\pi, \pi]$
Intervalos donde $f$ es creciente	$\left(\frac{\pi}{3}, \pi \right)$ y $\left(-\pi, -\frac{\pi}{3}\right)$
Intervalos donde $f$ es decreciente	$\left(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right)$
Extremos relativos	Máximo relativo en $x=-\frac{\pi}{3}$ Mínimo relativo en $x=\frac{\pi}{3}$
Concavidad	Máximo absoluto en $x=\pi$ , ubicado en $(\pi, \pi)$ Mínimo absoluto en $x=-\pi$ , ubicado en $(-\pi, -\pi)$ Cóncavo hacia arriba en $(0, \pi)$
Puntos de inflexión	$x=0$ , ubicado en el punto (0,0)

Aquí hay un dibujo del gráfico:

Análisis del Problema de la Sección

Como has visto en esta sección, las propiedades clave de las funciones incluyen: dominio, rango, interceptos, asíntotas (incluidos los límites en el infinito), la continuidad y diferenciabilidad, los intervalos crecientes y decrecientes, los extremos, la concavidad y los puntos de inflexión.

Práctica Guiada

Examina la función polinómica $f(x)=x^3+2x^2-x-2$ .

Propiedades generales

El dominio de $f$ es $(-\infty, +\infty)$ y el intercepto $y$ en (0, -2).

La función se puede factorizar $f(x)=x^3+2x^2-x-2=x^2 (x+2)-1(x+2)=(x^2-1)(x+2)=(x-1)(x+1)(x+2)$ y por consiguiente tiene ceros en $x=\pm 1, -2$ .

Asíntotas y límites en el infinito

Dado el dominio, notamos que no hay asíntotas verticales. Notamos que y $\lim_{x \to \infty} f(x)=+ \infty$ y $\lim_{x \to -\infty} f(x)=-\infty$ .

Diferenciabilidad

$f^\prime (x)=3x^2+4x-1=0$ si $x=\frac{-4 \pm \sqrt{28}}{6}=\frac{-2 \pm \sqrt{7}}{3}$ . Estos son los valores críticos. Tomamos nota de que la función es diferenciable en cada punto de su dominio.

$f^\prime (x) >0$ en $\left(-\infty, \frac{-2-\sqrt{7}}{3}\right)$ y $\left(\frac{-2 + \sqrt{7}}{3}, + \infty\right)$ ; de ahí que la función es creciente en estos intervalos.

De la misma manera, $f^\prime (x) <0$ en $\left(\frac{-2-\sqrt{7}}{3}, \frac{-2+\sqrt{7}}{3}\right)$ y de este modo es $f$ decreciente ahí.

$f^{\prime\prime} (x)=6x+4=0$ si $x=-\frac{2}{3}$ donde hay un punto de inflexión.

Además, $f^{\prime\prime} \left(\frac{-2-\sqrt{7}}{3}\right)<0$ . Así que el gráfico tiene un máximo relativo en $x=\frac{-2-\sqrt{7}}{3}$ y ubicado en el punto (-1,55, 0,63).

Notamos que $f^{\prime\prime} (x) <0$ para $x<-\frac{2}{3}$ . El gráfico es cóncavo hacia abajo en $\left(-\infty, -\frac{2}{3}\right)$ .

Y tenemos $f^{\prime\prime} \left(\frac{-2+\sqrt{7}}{3} \right)>0$ ; por tanto el gráfico tiene un mínimo relativo en $x=\frac{-2+\sqrt{7}}{3}$ y ubicado en el punto (0,22, -2,11).

Notamos que $f^{\prime\prime} (x) >0$ para $x>-\frac{2}{3}$ . El gráfico es cóncavo hacia abajo en $\left(-\frac{2}{3}, + \infty \right)$ .

Tabla de resumen
$f(x)=x^3+2x^2-x-2$	Análisis
Dominio y rango	$D=(-\infty, + \infty), R=\{\text{all reals} \}$
Interceptos y Ceros	Ceros en $x=\pm 1, -2, y,$ interceptos en (0, -2)
Asíntotas y límites en el infinito	No hay asíntotas
Diferenciabilidad	Diferenciable en cada punto de su dominio
Intervalos donde $f$ es creciente	$\left(-\infty, \frac{-2-\sqrt{7}}{3}\right)$ y $\left(\frac{-2+\sqrt{7}}{3}, + \infty \right)$
Intervalos donde $f$ es decreciente	$\left(\frac{-2-\sqrt{7}}{3}, \frac{-2+\sqrt{7}}{3}\right)$
Extremos relativos	Máximo relativo en $x=\frac{-2-\sqrt{7}}{3}$ y ubicado en el punto (-1,55, 0,63); Mínimo relativo en $x=\frac{-2+\sqrt{7}}{3}$ y ubicado en el punto (0,22, -2,11).
Concavidad	Cóncava hacia arriba en $\left(-\frac{2}{3}, +\infty \right)$ . Cóncavo hacia abajo en $\left(-\infty, -\frac{2}{3}\right)$ .
Puntos de inflexión	$x=-\frac{2}{3}$ , ubicado en el punto $\left(-\frac{2}{3}, -.74\right)$

Aquí hay un dibujo del gráfico:

Práctica

Sintetiza cada una de las siguientes funciones al completar la tabla. Usa la información para dibujar un gráfico de la función.

Tabla de resumen
$f(x)=$	Análisis
Dominio y rango
Interceptos y ceros
Las asíntotas y límites en el infinito
Diferenciabilidad
Intervalos donde $f$ es creciente
Intervalos donde $f$ es decreciente
Extremos relativos
Concavidad
Puntos de inflexión

$f(x)=x^3+3x^2-x-3$
$f(x)=-x^4+4x^3-4x^2$
$f(x)=\frac{2x-2}{x^2}$
$f(x)=x-x^{\frac{1}{3}}$
$f(x)=-\sqrt{2x-6}+3$
$f(x)=x^2-2\sqrt{x}$
$f(x)=1+\cos x$ en el intervalo $[-\pi, \pi]$
$f(x)=x^2-x+1$
$f(x)=4x^3-6x^2-1$
$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$
$f(x)=x^2 e^{-x}$
$f(x)=\cos x-x$
$f(x)=e^{-2x}+e^x$
$f(x)=5e^{-x}+x^3$
$f(x)=x^5-7x^2+2$

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