Optimización

Objetivos

En esta sección, aprenderás a encontrar el valor óptimo (máximo o mínimo) de una función que se asocia con un problema de optimización.

Concepto

En este punto, sabes cómo analizar una función para encontrar sus mínimos y máximos al utilizar las primeras y segundas derivadas. ¡Esto es una gran cosa! Encontrar la solución de algún problema de la vida cotidiana (como en las finanzas, la ciencia y la ingeniería) a menudo implica un proceso de encontrar el máximo o mínimo de una función dentro de una región aceptable de valores. Este tipo de problema es un problema de optimización , y la solución que es el valor máximo o mínimo de la función en la región es la solución óptima . Configurar el problema de optimización es el primer paso importante. Ve si puedes configurar (pero no resolver) este problema: ¿qué dimensiones minimizará la cantidad de metal requerida para construir un tanque de almacenamiento de volumen $1000 \ m^3$ que tiene la forma de un cilindro circular recto y tiene una tapa que es una semiesfera?

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Orientación

En las secciones anteriores, hablamos de métodos para encontrar máximos y mínimos (extremos) de funciones y estos métodos se utilizan en la resolución de problemas de optimización. Supongamos que $f$ es continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ . Recordemos que podemos encontrar el mínimo absoluto y máximo de una función $f$ que es continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ de la siguiente manera:

Encuentra los valores de $f$ para cada valor crítico en $(a,b)$ ;
Encuentra los valores de la función $f$ en los puntos extremos de $[a,b]$ ;
El máximo absoluto será valor más grande de los números que se encuentran en 1 y 2; el mínimo absoluto será el número más pequeño.

Sin embargo, los problemas de la vida cotidiana por lo general presentan restricciones que se deben tener en cuenta al momento de buscar la solución óptima.

Ejemplo A

Una empresa fabrica neumáticos para bicicletas de alta calidad, tanto para usos recreacionales como para competencias. El número de neumáticos que la empresa vende es una función del precio cobrado y puede ser modelado por la fórmula $T(x)=-x^3+36.5x^2+50x+250$ , donde $x$ es el un precio cobrado por cada neumático dólares. ¿A qué precio se vende el número máximo de neumáticos? ¿Cuántos neumáticos se venderán a ese precio máximo?

Solución:

En este problema de optimización, estamos tratando de encontrar el valor máximo de $T(x)$ . $T(x)$ es la ecuación primaria que será optimizada. Primero echémosle un vistazo a una gráfica con la función de los neumáticos y hagamos algunas observaciones. Establecer los rangos de la ventana de visualización en tu calculadora gráfica en [-10, 50] para $x$ y [-500, 10000] para $y$ .

El gráfico debería parecer así:

En primer lugar observamos que, dado que se trata de una aplicación de la vida cotidiana, las dos cantidades, $x$ y $T(x)$ , son positivas o de lo contrario el problema no tiene sentido. Estas condiciones, junto con el hecho de que el cero de $T(x)$ se encuentra en $x=37.9$ , sugieren que el dominio real de esta función es $0 < x \le 37.9$ . Este dominio restringido, al cual nos referimos como un dominio factible, ilustra una característica común de los problemas de optimización: que las condiciones de la situación de la vida cotidiana bajo estudio dictan los valores del dominio.

Podemos utilizar el gráfico de calculadora o usar el criterio de la primera y segunda derivada para encontrar los máximos y mínimos absolutos en el intervalo cerrado [0, 37,9].

1 ^a Derivada $f^\prime (x)=-3x^2+73x+50$

$f^\prime (x)=0$ :

en $x=-\frac{2}{3}$ ... no en dominio;

en $x=25$ ... en el dominio.

2 ^a Derivada $f^{\prime\prime} (x)=-6x+73$

$f^{\prime\prime} (25)=23$

Hay un máximo de función en $x=25$ .

Vemos que la función alcanza un máximo absoluto en $x=25$ en el punto (25, 8687,5). Así, cobrar un precio de $25 se traducirá en un total de 8.687 neumáticos vendidas.

En muchos problemas de optimización, una ecuación secundaria (o más de una) se debe usar para reducir el número de variables en la ecuación primaria antes de iniciar el procedimiento de optimización (uso de una calculadora gráfica; la aplicación de los criterios de las derivadas).

Ejemplo B

Supongamos que María quiere hacer una casa rectangular al aire libre para su perro Chihuahua. Le gustaría que la casa del perro comprendiera un área en su patio trasero con uno de los lados del rectángulo hecho a un lado de la casa de María, como se indica en la siguiente figura. Si cuenta con 90 pies de reja para trabajar, ¿qué dimensiones de la casa del perro resultarán en el área máxima?

Solución:

Las dimensiones de la casa del perro son $x$ y $y$ en la figura. La ecuación primaria es la función que moldea el área, $A$ , de la casa del perro. Queremos maximizar:

$A=xy.$

La ecuación secundaria proviene de la información relacionada con la reja con la que Mary tiene que trabajar. En particular,

$2x+y=90.$

Resolviendo para $y$ tenemos

$y=90-2x.$

Ahora sustituimos en la ecuación primaria para obtener:

$A=xy &=x(90-2x), \ or \\A(x) &=-2x^2+90x$

Es siempre útil ver el gráfico de la función estar optimizado. Establecer los rangos de la ventana de visualización en tu calculadora gráfica en [-10, 100] en $x$ y [-500, 1200] para $y$ . El gráfico debería parecer así:

El dominio factible de esta función es $0 < x < 45$ , lo que tiene sentido porque si $x$ mide 45 pies, entonces la figura será de dos rejas de 45 pies de largo saliendo de la casa con 0 pies restantes para el ancho $y$ .

Podemos encontrar la solución mediante el uso de la calculadora gráfica, y / o el criterio de la primera y segunda derivada y el método para encontrar máximos y mínimos absolutos en un intervalo cerrado (en este problema, [0, 45]).

1 ^a Derivada $A^\prime (x)=-4x+90$

$A^\prime (x)=0$ :

en $x=22.5$ ... en el dominio.

2 ^a Derivada $A^{\prime \prime} =-4$

$A^{\prime\prime}=-4$

Hay un máximo de función en $x=22.5$ .

Vemos que la función alcanza un máximo absoluto en $x=22.5$ en el punto (22,5, 1012,5).

Así que las dimensiones del corral para el perro deben ser $x=22.5$ , y $y=45$ ; con esas dimensiones, el corral comprenderá un área de $1012.5 \ ft^2$ .

Los problemas de optimización que tienen que ver con figuras geométricas realmente ayudan a ilustrar el proceso de resolución de problemas. Aquí hay otra.

Ejemplo C

Una marca de limonada vende su producto en latas de aluminio de 16 onzas que contienen $473 \ ml \ (1 \ ml=1 \ cm^3)$ . Encuentra las dimensiones de la lata cilíndrica que usará la menor cantidad de aluminio.

Solución:

Necesitamos crear la fórmula para el área superficial de la lata. Esto consiste en la parte superior e inferior, cada una $\pi r^2$ , y el área de la superficie de la cara, $2 \pi r h$ (producto de la circunferencia de la parte superior y la altura de la lata). Por lo tanto la ecuación primaria es

$A=2 \pi r^2+2 \pi r h.$

Observamos que ambos de nuestros dominios factibles requieren $r,h > 0$ .

Para reducir el número de variables de la ecuación primaria, necesitamos una ecuación secundaria que nos dará una relación entre $r$ y $h$ . Observamos que el volumen de un cilindro circular está dado por $V=\pi r^2 h$ , que proporciona una relación entre $r$ y $h$ . La ecuación secundaria es:

$h=\frac{V}{\pi r^2}=\frac{473}{\pi r^2}.$

Sustituimos esta expresión por h en la ecuación primaria para obtener:

$A(r)=2 \pi r^2+2 \pi r \left (\frac{473}{\pi r^2}\right), \ or \\A(r)=2 \pi r^2+ \frac{946}{r}.$

El gráfico de la función $A(r)$ se muestra a continuación:

El dominio factible es $r > 0$ .

1 ^a Derivada

$A^\prime (r)=4 \pi r-\frac{946}{r^2}$

$A^\prime (r)=0$ :

en $r=\sqrt[3]{\frac{946}{4 \pi}} \approx 4.22 \ cm$ ... en el dominio.

2 ^a Derivada

$A^{\prime\prime} (r)=4\pi+\frac{1892}{r^3}$

$A^{\prime\prime} (r)>0$ para $r>0$

Hay un mínimo de función en $r \approx 4.22 \ cm$ .

Por lo tanto tenemos un área de superficie mínima de $996.2 \ cm^2$ cuando $r \approx 9.06 \ cm$ y $h \approx 8.44 \ cm$ .

Análisis del Problema de la Sección

Configurar (pero no resolver) este problema: ¿qué dimensiones minimizará la cantidad de metal requerida para construir un tanque de almacenamiento de volumen $1000 \ m^3$ que tiene la forma de un cilindro circular recto y tiene una tapa que es una semiesfera?

El volumen del tanque consiste en el volumen de un cilindro y el volumen de una semiesfera. El volumen se puede expresar como: $V=\pi r^2 h+ \frac{1}{2} \left (\frac{4}{3} \pi r^3\right)=1000$ donde $r$ es el radio del tanque (en metros) y $h$ es la altura del cilindro (en metros).

Te gustaría minimizar la cantidad de metal utilizado, lo que es lo mismo que pedir minimizar el área del tanque. Este debería ser el planteamiento del problema de optimización.

El área se puede expresar como: $A=2 \pi r h+ \frac{1}{2}(4 \pi r^2)$ . Dado que hay dos variables, $r$ y $h$ , deberíamos hacer $h$ una función $r$ , es decir, $h(r)$ , usando la ecuación para $V$ .

$h(r)=\frac{1000}{\pi r^2}- \frac{2}{3}r$

Entonces el planteamiento del problema de optimización es:

$\frac{dA}{dr}=0=\frac{d}{dr} \left [ 2 \pi r h(r)+ \frac{1}{2}(4 \pi r^2)\right] &=2 \pi \left [ h(r)+r \frac{dh}{dr}+2r\right], \ or \\h(r)+r \frac{dh}{dr}+2r &=0.$

El siguiente paso es resolver el problema de optimización para ver si hay una solución que tenga sentido. ¿Puedes hacerlo?

Vocabulario

Un problema de optimización es un problema sobre cómo encontrar la mejor solución de un problema a partir de todas las soluciones factibles.

Un valor óptimo o solución es la mejor solución para el problema de optimización.

La ecuación primaria de un problema de optimización es la función o ecuación para la cual se busca el valor o la solución óptima.

El dominio factible es el subconjunto que se puede usar del dominio de la función primaria. Este dominio restringido está determinada por restricciones del problema de optimización.

Una ecuación secundaria es una de las ecuaciones usadas para relacionar las variables del problema y reducir el número de variables en la ecuación primaria.

Práctica Guiada

Una caja de almacenamiento que será construido con una base rectangular, con lados rectangulares y abierto en la parte superior. Su ancho mide 4 metros y su volumen mide 36 metros cúbicos. Si construir la caja cuesta $10/m2 m. para la base y $5/m2 m. para los lados, ¿cuál es el costo de la caja más barata? ¿Cuáles son sus dimensiones?

Solución:

Que las dimensiones de la caja sean $l$ longitud, $w$ ancho y $h$ altura. Ten en cuenta que $w=4$ metros.

La ecuación primaria es la función que moldea el costo, C , de la caja. Queremos minimizar:

$C=10lw+5[2lh+2wh]=10[lw+lh+wh]=10[4l+lh+wh]$

La ecuación secundaria proviene de la información relativa al volumen de la caja:

$V=lwh=4lh=36.$

Usando la ecuación secundaria en la ecuación primaria:

$C=10 \left[4l+lh+wh \right]=10 \left[4l+ \frac{36}{4}+ \frac{36}{l}\right]=40 \left [ l+2.25+ \frac{9}{l}\right]$

Podemos encontrar la solución mediante el uso de los criterios de la primera y segunda derivada y el método para encontrar máximos y mínimos absolutos en un intervalo cerrado (en este problema, [0, 45]).

1 ^a Derivada	$C^\prime(l)=40 \left ( 1- \frac{9}{l^2}\right )$	$C^\prime(l)=0$ : en $l=3$ (en el dominio) y $l=-3$ (no en dominio).
2 ^a Derivada	$C^{\prime\prime}(l)=\frac{720}{l^3}$	$C^{\prime\prime}(3) \approx 26.7$ . . . La función del costo es cóncava hacia arriba. Hay un mínimo de función en $l=3$ .

1 ^a Derivada

$C^\prime(l)=40 \left ( 1- \frac{9}{l^2}\right )$

$C^\prime(l)=0$ : en $l=3$ (en el dominio) y $l=-3$ (no en dominio).

2 ^a Derivada

$C^{\prime\prime}(l)=\frac{720}{l^3}$

$C^{\prime\prime}(3) \approx 26.7$ . . . La función del costo es cóncava hacia arriba.

Hay un mínimo de función en $l=3$ .

Así que las dimensiones de la caja son: $l=3$ metros, $w=4$ metros, y $h=3$ metros.

El costo de construir la caja: $C(3)=\$40(3+2.25+3)=\$330$ .

Práctica

En los problemas # 1-4, encuentra los valores máximo absoluto y mínimo absoluto si es que existen.

$f(x)=2x^2-6x+6$ en [0, 5]
$f(x)=x^3+3x^2$ en [-2, 3]
$f(x)=3x^{\frac{2}{3}}-6x+x$ en [1, 8]
$f(x)=x^4-x^3$ en [-2, 2]
Encuentra las dimensiones de un rectángulo con un área $2000 \ ft^2$ cuyo perímetro sea lo más pequeño posible.
Encuentra dos números cuyo producto sea 50 y cuya suma sea un mínimo.
John está lanzando una pelota de básquetbol desde media cancha. Se encuentra a unos 45 pies de la línea de mitad de cancha hacia el aro. La función $s(t)=-0.025x^2+x+15$ modela la altura de la pelota de baloncesto por encima del suelo $s(t)$ en pies, cuando está a $t$ pies del aro. ¿A cuántos pies de Juan alcanzará la pelota su altura máxima? ¿Cuál es esa altura?
La altura de un modelo de cohete segundos en vuelo está dada por la fórmula .
1. ¿Cuánto tiempo le tomará al cohete alcanzar su altura máxima?
2. ¿Cuál es la altura máxima que el cohete alcanzará?
3. ¿Cuánto tiempo durará el vuelo?
Muestra que de todos los rectángulos de un perímetro dado, el rectángulo con la mayor área es un cuadrado.
Muestra que de todos los rectángulos de cierta área, el rectángulo con el área más pequeña es un cuadrado.
Eduardo quiere construir una reja para proteger su jardín de tomates rectangular de las diversas criaturas hambrientas que vagan por el paisaje. Compra 100 pies de reja. ¿Cuáles deberían ser las dimensiones del jardín de tomate si es que tiene que tener el área máxima que puede ser contenida por 100 metros de reja.
Hans tiene el desafío de encontrar dos números no negativos cuya suma sea 36 de manera que el producto de los dos números sea el máximo. ¿Qué debería hacer?
Lucía tiene que encontrar dos números no negativos cuyo producto sea 25 de modo que se minimice la suma de uno más el cuadrado del otro, con el fin de lograr la membresía a un club. ¿Qué número está buscando?
Esmeralda quiere cercar un campo con una reja rectangular para evitar que se escapen sus cabras. Un lado del campo está ubicado en frente de un edificio, por lo que no necesitará una reja. Ella tiene 50 pies de material para la reja. ¿Cuáles son las dimensiones del área máxima que ella puede enrejar?
Qué punto en el gráfico de la función de $y=\sqrt{x}$ se encuentra más cerca del punto (1, 0)?

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