Linearización de una función

Objetivos

En esta sección, aprenderás cómo aproximar una función mediante el método de linearización.

Concepto

Supongamos necesitaras conocer el valor de la raíz cuadrada de 19, pero todo lo que tienes es un lápiz y papel, sin calculadora. ¿Podrías calcularlo? Con lo que ya sabes de la derivada como la pendiente de una recta tangente, deberías ser capaz de hacerlo. Antes de terminar esta sección, trate de calcular $\sqrt {19}$ sin una calculadora; luego compare su resultado con el método conceptos de linearización, y una calculadora.

Mira Esto

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*Este video solo está disponible en inglés

http://www.youtube.com/watch?v=BPSNisGXe7U - PatrickJMT: Finding the Linearization at a Point / Tangent Line Approximation

Orientación

Linearización de una función significa utilizar la recta tangente de una función en un punto como una aproximación a la función en los alrededores del punto. Esta relación entre una tangente y un gráfico en el punto de tangencia por lo general se denomina linearización local .

Dada la función $f(x)$ y la derivada $f^\prime(x)$ , la recta tangente en un punto $x_0$ se puede escribir en forma punto-pendiente como:

$y-f(x_0)=f^\prime(x_0)(x-x_0) \ \text{or} \ y=f(x_0)+f\prime(x_0)(x-x_0)$ .

Si consideramos que esta recta tangente es una buena aproximación a $f(x)$ en los alrededores de $x_0$ , podemos escribir

$f(x)\approx y=f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)$ . Esta es la linearización de $f(x)$ alrededor de $x_0$ .

La recta tangente como la linearización local de $f(x)$ se designa por lo general $L(x)$ , de modo que

$f(x)\approx L(x)=f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0).$

Ejemplo A

Encuentra la linearización de $f(x)=x^2-2x-3$ en los puntos $x_0=1.5$ y $x_0=-0.5$ .

Solución:

La linearización de $f(x)$ está dada por: $f(x)\approx f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)$ .

Tenemos:

$f(1.5)=-3.75$ y $f(-0.5)=-1.75$

$f^\prime(x)=2x-2$ , de modo que $f^\prime(1.5)=1$ y $f^\prime(-0.5)=-3$ .

La linearización se convierte en:

$&\text{At } x_0=-0.5 \qquad \qquad \quad \text{At } x_0=1.5\\f(x) &\approx -1.75-3(x+0.5) \quad \approx -3.75+(x-1.5)\\&\approx -3 x-3.25 \qquad \qquad \ \approx x-5.25$

Como lo ilustra la figura y muestra la tabla, a medida que nos alejamos de $x_0$ , perdemos precisión.

Error cerca $x_0=-0.5$				Error cerca $x_0=1.5$
$x$	$f(x)$	$-3x-3.25$	Valor-Aproximado	$x$	$f(x)$	$x-5.25$	Valor-Aproximado
-1	0	-0.25	0.25	1.0	-4	-4.25	0.25
-0.5	-1.75	-1.75	0.00	1.5	-3.75	-3.75	0.00
0	-3	-3.25	0.25	2.0	-3.25	-3.00	0.25

Ejemplo B

Encuentra la linearización de $f(x)=\sqrt{x+3}$ en el punto $x=-1$ .

Solución:

La linearización de $f(x)$ está dada por: $f(x)\approx f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)$ .

Tenemos:

$f(1)=2$ , y

$f^\prime(x)=\frac{1}{2}(x+3)^{-\frac{1}{2}}$ , de modo que $f^\prime(1)=\frac{1}{4}$ .

La linearización se convierte en:

$f(x) &\approx 2+\frac{1}{4}(x-1)\\&\approx \frac{1}{4} x+\frac{7}{4}$

Esto nos dice que cerca del punto $x=1$ , la función $f(x)=\sqrt{x+3}$ se aproxima a la recta $y=\left(\frac{x}{4}\right)+\frac{7}{4}$ . Como lo ilustra la figura y muestra la tabla, a medida que nos alejamos de $x=1$ , perdemos precisión (Figura 9 ).

$x$	$f(x)$	$\approx\frac{1}{4} x+\frac{7}{4}$	Valor Aproximado
1	2	2	0
1.5	2.121	2.125	0.004
2	2.236	2.25	0.014
3	2.449	2.5	0.41

Ejemplo C

Encuentra la linearización de $y=\sin x$ en $x=\frac{\pi}{3}$ .

Solución:

La linearización de $f(x)$ está dada por: $f(x)\approx f(x_0)+f\prime(x_0)(x-x_0)$ .

Tenemos

$f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ , y

$f^\prime(x)=\cos x$ , de modo que $f^\prime \left(\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$ .

La linearización se convierte en:

$f(x) &\approx \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\\&\approx \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\\&\approx \frac{x}{2}+0.342$

Análisis del Problema de la Sección

Intenta calcular $\sqrt{19}$ sin una calculadora; luego compare su resultado con el método de esta sección de linearización y una calculadora.

Felicidades si fuiste capaz de linealizar $\sqrt{x}$ en $x=16$ ( o $x=25$ ).

La linearización es $y=\frac{1}{8}(x-16)+4$ , lo que significa $y=4.375$ cuando $x=19$ . una calculadora daría 4,359.

Vocabulario

La linearización local de una función significa aproximar la función en un punto por la recta tangente en el punto.

Práctica Guiada

Que $f$ sea una función de tal manera que $f(5)=6$ y cuya derivada es $f^\prime(x)=\sqrt{x^3+44}$ . Aproxima $f(5.3)$ .

Solución:

La linearización de $f(x)$ está dada por: $f(x)\approx f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)$ .

Dado que tenemos $f(5)=6$ , que $x_0=5$ .

Entonces $f^\prime(x_0)=\sqrt{x_0^3+44}=\sqrt{169}=13$

La linearización se convierte en:

$f(x) &\approx 6+13(x-5)\\f(5.3) &\approx 6+13(5.3-5)\\&\approx 6+13(0.3)\\&\approx 9.9$

Práctica

1. Encuentra la linearización de $f(x)=\frac{x^2+1}{x}$ , $x_0=1$ , $f(1.7)$

2. Encuentra la linearización de $f(x)=\tan x$ en $a=\pi$ .

3. Usa el método de la linearización para mostrar que cuando $x\ll 1$ (mucho menos que 1), entonces $(1+x)^n \approx1+nx$ .

4. Usa el resultado del problema #3, $(1+x)^n \approx 1+nx$ , para encontrar la aproximación para el siguiente:

$f(x)=(1-x)^4$
$f(x)=\sqrt{1-x}$
$f(x)=\frac{5}{\sqrt{1+x}}$
$f(x)=\sqrt[3]{\left(1-\frac{3}{(x-1)}\right)^2}$
e. Sin usar una calculadora, aproxima $(1.003)^{99}$ .

Para los problemas 5-13, encuentra la linearización de la función dada en el punto dado x ₀ y usa esta aproximación para calcular la cantidad dada. Compara el resultado con el valor obtenido con la calculadora; calcula el error.

5. $f(x)=1+\sin x$ , $x_0=0$ , $f(0,3)$

6. $f(x)=\sqrt{1+x}$ , $x_0=0$ , $\sqrt{1.006}$

7. $f(x)=(1+x)^{10}$ , $x_0=0$ , $1.02^{10}$

8. $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}}$ , $x_0=0$ , $\frac{1}{\sqrt{0.885}}$

9. $f(x)=x^2-3x+10$ , $x_0=3$ , $f(3.65)$

10. $f(x)=x^3+2$ , $x_0=3$ , $f(3.3)$

11. $f(x)=\frac{1}{x^2}$ , $x_0=2$ , $\frac{1}{2.03^{2}}$

12. $f(x)=e^x$ , $x_0=0$ , $e^{0.2}$

En los problemas 13-15, estima los siguientes números y determina el error:

13. Aproxima $\sqrt[4]{628}$

14. ¿Cuál es el valor de $\frac{1}{2.007}$

15. Que $f$ sea una función de tal manera que $f(1)=2$ y cuya derivada es $f^\prime(x)=\sqrt{x^3+1}$ . Aproxima $f(1.3)$ .

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