Aproximar raíces de una función: el método de Newton
Objetivos
En esta sección, aprenderás cómo aproximar las raíces de una función usando el método de Newton.
Concepto
Queremos observar la búsqueda de las raíces de un polinomio. A veces el polinomio no se puede factorizar fácilmente y otros métodos algebraicos (por ejemplo, la ecuación de segundo grado) no son aplicables, o no funcionan. Cuando nos enfrentamos con un problema matemático que no se puede resolver con medios algebraicos simples, a veces el cálculo proporciona una manera de encontrar soluciones aproximadas.
Mira Esto
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*Este video solo está disponible en inglés
http://www.youtube.com/watch?v=k4x0H0kM2Wo - Math Video Tutorials by James Sousa, Newton's method (9:48)
En este video se explica el método de Newton y se entrega un ejemplo. También muestra cómo usar la tabla de la calculadora gráfica para realizar los cálculos necesarios en el método de Newton.
Orientación
Un ejemplo simple servirá para presentar el método de Newton para aproximar las raíces de una ecuación polinomial.
Ejemplo A
Digamos que quieres calcular
sin usar una calculadora o una tabla. ¿Alguna idea de cómo hacerlo? Intenta pensar en este problema de una manera diferente, de manera que puedas usar la linearización.
Supongamos que estamos interesados en resolver una ecuación de segundo grado:
Sabemos que esta ecuación tiene las raíces
.
La idea aquí es encontrar la linearización de
en un punto conveniente y luego resuelve la ecuación lineal para
. Se trata de un nuevo giro en el problema de linearización
¿Cómo elegir el punto de linearización? Dado que
, esto significa
.
Elegimos la aproximación lineal de
para estar cerca
(sin embargo
podría también ser seleccionado).
y
y
.
Uso de la fórmula de aproximación lineal,
Observa que esta ecuación es mucho más fácil de resolver que
.
Ajustando
y resolviendo para
, obtenemos,
Esta es una aproximación bastante buena, ya que una calculadora daría
, inferior en 0,014. De hecho, podemos hacer esta aproximación a la raíz de
aún mejor, mediante la repetición de lo que acabamos de hacer, pero con la última estimación
, una cifra que está aún más cerca del valor real de
.
y
y
Usando otra vez la aproximación lineal,
Resolviendo para
al configurar
, obtenemos
que es una aproximación aún mejor que
.
Podríamos continuar con este proceso y generar una mejor aproximación a
, como se muestra en la tabla, donde la última estimación se aproxima a la respuesta correcta a 5 lugares. ¡Que bueno que existen las calculadoras!
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|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
-1 |
4 |
-0.25 |
2.25 |
|
2 |
2.25 |
0.0625 |
4.5 |
0.01389 |
2.23611 |
|
3 |
2.23611 |
0.00019 |
4.47222 |
0.00004 |
2.23607 |
|
4 |
2.23607 |
-- |
-- |
-- |
-- |
Esta es la idea básica del Método de Newton . A continuación, un resumen del método.
Método de Newton
1. Dada la función
, encuentra
.
2. Estima la primera aproximación,
, a una solución de la ecuación
. Usa un gráfico como ayuda para encontrar la primera aproximación si es necesario (ver la siguiente figura).
3. Usa la aproximación actual
para encontrar la siguiente aproximación,
, mediante el uso de la relación de recursión.
4. Repite el paso anterior hasta que se produzca el nivel deseado de convergencia.
Nota: en algunos casos, el método de Newton no converge.
Ejemplo B
Compara las soluciones con
en el intervalo [2, 3] a partir del uso de la fórmula cuadrática y del método de Newton.
Solución:
La función se muestra en la figura.
Para
, el uso de la fórmula cuadrática nos da la solución exacta
en el intervalo.
La utilización del método de Newton con una estimación inicial de
, da los resultados que se muestran en la tabla.
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|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
14 |
37 |
0.3784 |
2.6216 |
|
2 |
2.6216 |
0.7151 |
33.216 |
0.0215 |
2.6001 |
|
3 |
2.6001 |
0.0033 |
33.001 |
0.0001 |
2.6000 |
|
4 |
2.6000 |
-- |
-- |
-- |
-- |
La técnica converge rápidamente a una solución.
Ejemplo C
Usa el método de Newton para encontrar las raíces del polinomio
.
Solución:
El problema es resolver la ecuación
.
Las ecuaciones que necesitamos son:
.
Usar la relación de recursión,
Nos ayuda a encontrar la primera aproximación, dibujamos un gráfico de
. Como la cifra sugiere, ajusta en
.
A continuación, con el uso de la relación de recursión, podemos generar
:
Mediante el uso de la relación de recursión varias veces, podemos encontrar
y
como se muestra en la tabla.
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0.6 |
-0.184 |
2.08 |
-0.0884615 |
0.6884615 |
|
2 |
0.6884615 |
0.01477796 |
2.4219377 |
0.0061017 |
0.6823598 |
|
3 |
0.6823598 |
0.00007669 |
2.3968445 |
0.0000320 |
0.6823278 |
|
4 |
0.6823278 |
-- |
-- |
-- |
-- |
Concluimos que la solución a la ecuación
es de alrededor de 0,6823.
Vocabulario
El método de Newton es un procedimiento reiterativo para calcular la raíz de una ecuación.
Práctica Guiada
Usa el método de Newton para mostrar encontrar la raíz de
.
Solución:
Las ecuaciones que necesitamos son:
Usar la relación de recursión,
Nos ayuda a encontrar la primera aproximación, dibujamos un gráfico de
. Como lo sugiere la figura, establece el primer estimado en 0,5.
Usar la relación de recursión varias veces genera los valores de la tabla:
|
|
|
|
|
|
1 |
0.500000 |
0.0403023 |
-0.0152168 |
|
2 |
0.515022 |
-0.0002400 |
0.0000884 |
|
3 |
0.514933 |
-0.0000000 |
0.0000000 |
|
4 |
0.514933 |
-- |
-- |
Concluimos que la solución a la ecuación
es 0,514933.
Práctica
Usa el método de Newton para encontrar las raíces de las siguientes funciones:
1.
.
2.
.
3.
en el intervalo [-1, 0].
4.
.
5.
.
6.
.
7.
en el intervalo [-1, 0].
8.
en el intervalo [0, 1].
9.
en el intervalo [4, 5].
10.
en el intervalo [7, 8].
11.
a cinco decimales, empezando por el supuesto inicial
.
12.
a tres decimales, empezando por supuesto inicial
.
13.
a cinco decimales, empezando por supuesto inicial
.
14.
a seis cifras de precisión, empezando con el supuesto inicial
.
15.
a cuatro cifras de precisión, empezando con el supuesto inicial
.
