Objetivos

En esta sección, aprenderás sobre la relación entre una función y sus antiderivadas.

Concepto

Por muchas secciones has aprendido sobre cómo encontrar la derivada, $f^\prime(x)$ , de una función $f(x)$ , y sobre proceso de diferenciación. No debería sorprenderte la existencia de un nombre para la función $f(x)$ , o la familia de funciones, que puede generar $f^\prime(x)$ cuando se diferencia: $f(x)$ y $f^\prime(x)$ son un par de funciones inversas y $f(x)$ se denomina antiderivada de $f^\prime(x)$ . Antes de continuar con la lección, intenta hacer una lista con funciones y sus pares de derivadas. Al hacer esto, presentas los resultados de operaciones de diferenciación y de integración.

Mira Esto

Haz click en la imagen anterior para ver más contenido *Este video solo está disponible en inglés (requiere conexión a internet)

http://www.youtube.com/watch?v=0s4_ojV_HNY - James Sousa: The Antiderivative (La antiderivada)

Orientación

Comencemos con la idea de la antiderivada de una función.

Definición

Se dice que una función $F(x)$ es la antiderivada de una función $f$ si $F^\prime(x) = f(x)$ para todas las $x$ en el dominio de $f$ .

¿Cómo se utiliza esta definición?

Ejemplo A

Considera la función $f(x) = 3{x^2}.$

¿Puedes pensar en una función $F(x)$ como $F^\prime(x) = f(x)$ ? Deberías ser capaz de pensar en muchos ejemplos.

Ya que diferenciamos $F(x)$ para obtener $f(x)$ , podemos ver que $F(x) = {x^3} + C$ funcionará para cualquier constante $C$ . Gráficamente, pensamos en el conjunto de todas las antiderivadas como transformaciones verticales del gráfico $F(x) = x^3$ . La figura muestra dos de estas transformaciones.

Con nuestras definiciones y el ejemplo del principio, ahora podemos estructurar la definición y desarrollar algunas útiles reglas para propósitos computacionales y comenzar a observar algunas aplicaciones.

Notación e introducción a las integrales indefinidas

El proceso de encontrar antiderivadas se denomina antidiferenciación , comúnmente llamado integración. A continuación, se indica la integración y cómo se trabaja:

$F^\prime(x) =f(x)$ ... Comenzamos con la ecuación diferencial que representa la definición de la antiderivada

$\int F^\prime (x)dx =\int f(x) dx$ ... Invoca la operación de la integración (antidiferenciación) utilizando el símbolo especial $\int$ .

$F(x)+C=\int f(x) dx$ ... Obtén la antiderivada $F(x)$ y una constante de integración, $C$ .

$\int f(x) dx=F(x)+C$ ... Nota que si diferenciamos ambos lados, volvemos a la ecuación original:

$\frac{d}{dx}\left[\int f(x)dx\right]=f(x)=\frac{d}{dx} \left[F(x)+C \right]=F^ \prime(x)$

Decimos que $\int f (x)dx$ es la “integral indefinidas de $f(x)$ con respecto a $x$ ”. La función $f(x)$ se denomina integrando y la constante $C$ se denomina constante de integración . Finalmente, el símbolo $dx$ indica que vamos a integrar en relación a $x$ .

Al utilizar esta notación, podemos resumir el último ejemplo de la siguiente manera:

$\int 3x^2 dx=x^3+C$

Ejemplo B

Considera la función $f(x) = \cos x$

¿Puedes pensar en una función $F(x)$ como $F^\prime(x) = f(x)$ ?

Si dijeras $F(x) = \sin x + C$ estarías en lo correcto y, a continuación, te mostramos como escribirlo.

$f(x)=F^\prime(x)$ . . . Comienza con la ecuación diferencial que representa la definición de la antiderivada

$\cos x=F^\prime(x)$ . . . se sustituye por $f(x)$

$\int \cos x\ dx=\int F^\prime(x) dx$ . . . Aplica la operación de la integración (antidiferenciación) utilizando el símbolo especial $\int$ .

$\int \cos x\ dx=F(x)+C$ . . . Obtén la antiderivada $F(x)$ y una constante de integración, $C$ .

$\int\cos x\ dx=\sin x+C$ . . . Sabemos $F(x)=\sin x$ ya que si diferenciamos ambos lados, volvemos a la ecuación original.

Hemos observado las derivadas de un número de funciones por medio de las secciones de cálculo y podemos escribir una lista de funciones y sus derivadas como lo muestra la tabla más abajo.

**Resumen de Integrales Básicos Indefinidas Y Antiderivadas**
Función $f(x)$	Antiderivada $\int f(x)dx=F(x)+C$
1	$x+C$
$x$	$\frac{{{x^2}}}{2} + C$
${x^2}$	$\frac{{{x^3}}}{3} + C$
${x^n}{\rm{,}}$ $n \ne - 1$	$\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C$
$\frac{1}{x}$	$\ln x + C$
$\sin x$	$- \cos x + C$
$\cos x$	$\sin x+C$
${\sec ^2}x$	$\tan x + C$
${\csc ^2}x$	$- \cot x + C$
$\sec x\tan x$	$\sec x + C$
$\csc x\cot x$	$- \csc x + C$
${e^x}$	${e^x} + C$
${b^x}$ $b > 0$	$\frac{{{b^x}}}{{\ln b}} + C$
$\frac{1}{{x\ln b}}$	${\log _b}x + C$

En cuanto a la diferenciación, existen numerosas reglas para tratar con la suma y la diferencia de las funciones integrables. Estas son las siguientes:

Reglas básicas de integración

Si $f$ y $g$ son funciones integrables, y $C$ es una constante, entonces:

$\int[f(x)+g(x)]dx &=\int f(x)dx+\int g(x)dx, \\\int[f(x)-g(x)]dx &=\int f(x)dx-\int g(x)dx, \\\int[Cf(x)]dx &=C\int f(x)dx.$

Ejemplo C

Calcula la siguiente integral indefinida.

$\int \left[2x^3+\frac{3}{x^2}-\frac{1}{x}\right]dx.$

Solución:

Utilizando nuestras reglas, obtenemos

$\int\left[2x^3+\frac{3}{x^2}-\frac{1}{x}\right]dx &=2\int x^3dx+3\int\frac{1}{x^2}dx-\int\frac{1}{x}dx\\&=2\left(\frac{x^4}{4}\right)+3\left(\frac{x^{-1}}{-1}\right)-\ln x+C\\&=\frac{x^4}{2}-\frac{3}{x}-\ln x+C.$

Algunas veces, nuestras reglas se necesitan cambiar un poco debido a las operaciones con constantes, como es el caso del siguiente ejemplo.

Análisis del Problema de la Sección

¿Recuerdas cómo te pedimos hacer una lista con funciones y sus antiderivadas y pares de derivadas? Al hacer esto, presentas los resultados de operaciones de diferenciación y de integración. Si solo enlistaste la función que se diferenciará como antiderivada, estarías en lo correcto. Sin embargo, te has dado cuenta que existe una familia de antiderivadas de las que puedes escoger y cada una se diferencia por una constante de integración.

Vocabulario

Una función $F$ es una antiderivada de una función $f$ si $F^\prime = f$ .

Una integral indefinida es una operación matemática $\int f (x)dx$ que relaciona una función $f(x)$ y su antiderivada $F(x)$ , $\int f (x)dx = F(x) + C$ .

Un integrando es el argumento $f(x)$ en el integral indefinido $\int f (x)dx$ .

La constante de integración es la constante $C$ en la ecuación $\int f (x)dx = F(x) + C$ que relaciona la función $f(x)$ y la antiderivada $F$ .

Práctica Guiada

Calcula en siguiente integral indefinido:

$\int e^{3x}dx.$

Solución:

Lo que primero notamos es que nuestra regla para integrar funciones exponenciales no funcionará con este problema, ya que $\frac{d}{dx}e^{3x}=3e^{3x}$ . Sin embargo, si recordamos dividir la función original por la constante, obtenemos la antiderivada correcta y

$\int e^{3x}dx=\frac{e^{3x}}{3}+C.$

Ahora podemos reordenar la regla en una forma más general

$\int e^{kx}dx=\frac{e^{kx}}{3}+C.$

Practica

En los siguientes problemas, encuentra la antiderivada de la función

1. $f(x) = 1 - 3{x^2} - 6x$

2. $f(x) = x - {x^{\frac{2}{3}}}$

3. $f(x) = \sqrt[5]{{2x + 1}}$

4. $f(x) = \cos x - x$

5. $f(x) = {x^5} - 7{x^2} + 2$

6. $f(x) = {e^{ - 2x}} + {e^x}$

En los siguientes problemas, encuentra la integral indefinida

7. $\int \left(2 + \sqrt 5 \right) dx$

8. $\int 2 {(x - 3)^3}dx$

9. $\int \left(x^2 \cdot \sqrt[3]{x}\right) dx$

10. $\int {\left( {x + \frac{1}{{{x^4}\sqrt x }}} \right)} dx$

11. $\int {(\cos x + 2\sin x)dx}$

12. $\int {2\sin x\cos xdx}$

13. Resuelve la ecuación diferencial $f^\prime(x) = 4{x^3} - 3{x^2} + x - 3$ .

14. Encuentra la antiderivada $F(x)$ de la función $f(x) = 2{e^{2x}} + x - 2$ que satisfaga a $F(0) = 5$ .

15. Calcula la integral indefinida $\int | x|dx$ (Pista: Examina la gráfica de $f(x) = |x|$ .)

Antiderivadas y la integral indefinidas