Antiderivadas y ecuaciones diferenciales
Objetivos
En esta sección, aprenderás a trabajar con una función y su antiderivada para resolver una ecuación diferencial.
Concepto
Las ecuaciones diferenciales son una parte importante del estudio de la economía, la biología, la ingeniería y la física. Ya que las ecuaciones diferenciales pueden describir el crecimiento y el decaimiento exponencial, son de mucha ayuda a la hora de explicar el decaimiento de isótopos radioactivos, el crecimiento demográfico de una especie o el cambio en el retorno de inversión con el paso del tiempo. ¿Sabías que muchas de las ecuaciones que describen importantes conceptos de la física y la ingeniería son ecuaciones diferenciales? ¿Puedes explicar por qué la Segunda Ley de Newton (“la fuerza es igual a la masa por la aceleración”) es una ecuación diferencial?
Mira Esto
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http://www.youtube.com/watch?v=miUvp2TCCd8 - James Sousa: Ex: Encuentra la solución particular de una ecuación diferencial básica
Orientación
Recuerda del concepto anterior que la determinación de una antiderivada fue presentada como una ecuación integral
Aquí tenemos la función
que integramos para encontrar la función antiderivada
como
. La ecuación
se denomina
ecuación diferencial.
Los problemas de cálculo se presentan a menudo como ecuaciones diferenciales.
Ejemplo A
Resuelve la ecuación diferencial general
.
Solución:
Podemos resolver la ecuación al integrar el lado derecho de la ecuación, obteniendo
Podemos integrar ambos términos utilizando la regla de las potencias, primero nota que
, y obtenemos
Nota que la constante de integración
se incluye en la
solución general
ya que si no tenemos información adicional, existiría un número infinito de soluciones. Necesitamos más información sobre el problema para escoger un valor específico para
.
Ejemplo B
Piensa que queremos resolver la siguiente ecuación:
Solución:
Podemos resolver la ecuación al integrar, obteniendo
Podemos ver que existe un número infinito de soluciones. En algunas aplicaciones, nos gustaría designar solo una solución. Para hacer esto, debemos asignar una condición a la función
. Podemos lograr esto al especificar el valor de
para un valor específico de
.
En este problema, imagina que sumamos la condición que
. Esto especificará un valor específico a
y así una única solución a la ecuación original:
Al sustituir
en nuestra solución general
obtenemos
Por eso, la solución
es la
solución única
de la ecuación
que satisface la
condición inicial
.
Ahora podemos pensar en otros problemas que pueden ser expresar como ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales. Considera el siguiente ejemplo.
Ejemplo C
Piensa que el gráfico de
incluye el punto (2, 6) y que la pendiente de la línea de la tangente a
a cualquier punto
está en la expresión
. Encuentra
.
Solución:
Podemos re-expresar el problema en términos de una ecuación diferencial que satisfaga la condición inicial.
.
Al integrar el lado derecho de la ecuación diferencial, obtenemos
como solución general.
Al sustituir la condición
obtenemos
Así que
es la
solución única
de la ecuación original
que satisface la
condición inicial
.
Finalmente, nos interesa el valor de
, obtenemos:
Análisis del Problema de la Sección
Recuerda la pregunta al comienzo de la lección: ¿Puedes explicar por qué la Segunda Ley de Newton (“la fuerza es igual a la masa por la aceleración”) es una ecuación diferencial?
La Segunda Ley de Newton es:
en donde la aceleración
puede expresarse como al primera derivada de la velocidad o la segunda derivada de posición.
Vocabulario
Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene una función y su(s) derivada(s).
La solución general de una ecuación diferencial es una solución que no tiene condiciones iniciales e incluye una constante de integración que puede definirse con información adición.
Una condición inicial de una ecuación diferencial es una condición específica del problema que nos ayuda a especificar la solución de la constante de integración.
Una solución única de una ecuación diferencial es la solución que utiliza condiciones iniciales para definir la constante de integración general.
Práctica Guiada
Resuelve la ecuación diferencial general
con la condición
.
Solución:
Resolvemos la ecuación al integrar el lado derecho de la ecuación y obtenemos
Podemos integrar ambos términos y obtener
Nota que la constante de integración
se incluye es la
solución general
, de arriba, pero hay más información que no hemos utilizado:
. Ahora, la solución se forma por la restricción o la condición inicial
que se satisface si
.
La solución única de la ecuación diferencial es
.
Practica
En los siguientes problemas, resuelve la ecuación diferencial para
.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
En los siguientes problemas, resuelve la ecuación diferencial para
dada la condición inicial.
5.
y
.
6.
y
.
7.
![f^\prime(x)=\sqrt[3]{x^2}-\frac{1}{x^2}](data:image/png;base64,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){kind=small}
y
.
8.
and
.
9.
, y
.
10. Imagina que el gráfico de
incluye el punto (-2, 4) y que la pendiente de la línea de la tangente para
en
es
. Encuentra
.
En los siguientes problemas, encuentra la función
que satisfaga las condiciones entregadas.
11.
con
y
.
12.
con
y
.
13.
con
y
.
14.
con
y
.
15.
con
y
.
