Integración indefinida: cambio de variable

Objetivos

En esta sección, aprenderás útiles técnicas para integrar funciones compuestas.

Concepto

En la sección anterior, aprendiste cómo encontrar la derivada de una función compuesta utilizando la Regla de las cadenas. Una pregunta obvia cuando se discute las antiderivadas es: ¿Existe una regla o método similar que nos puede ayudar a encontrar la antiderivada de una función compuesta? La respuesta: ¡sí! Al cambiar la variable o sustituir la variable, el integrando puede, a veces, formarse para que así sea más fácil de calcular o encontrar una antiderivada.

Mira Esto

Haz click en la imagen anterior para ver más contenido *Este video solo está disponible en inglés (requiere conexión a internet)

http://www.youtube.com/watch?v=VfvJ5C9FjcA - James Sousa: Integración por sustitución – Parte 1

Orientación

Expresemos el problema y la solución.

Ejemplo A

Imagina que necesitamos calcular la siguiente integral:

$\int[2x + 1]^2 dx$

Buscamos una antiderivada $F$ de $f$ , y encontrar una solución con una de las siguiente maneras:

Expande el integrando en un polinomio $f(x) = 4x^2 + 4x + 1$ y utiliza la regla de la suma para calcular la integrando para obtener $F(x) = \frac{4}{3}x^3 + \frac{4}{2}x^2 + x + C$ ; o
Utiliza tu conocimiento de diferenciación para elaborar la ecuación $F$ como $F(x) = \frac{1}{3 \cdot 2}[2x + 1]^3 + C$ .

Pensemos en un enfoque diferente. Podemos reconocer la función $f(x) = [2x + 1]^2$ como una función compuesta $f \circ g = f(g(x))$ , con $f(x) = x^2$ y $g(x) = 2x + 1$ . Sabemos cómo encontrar la antiderivada de $f(x) = x^2$ . ¿Pero cómo incluimos $g(x) = 2x + 1$ ?

1. Sustituye $u = 2x + 1$

2. Entonces $\frac{du}{dx} = 2$ , o $du = 2dx$ . Esto significa que $dx = \frac{du}{2}$ .

3. Ahora, la integral puede representarse como $\int [2x + 1]^2 dx = \int u^2 \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int{u^2}du$ , la cual sabemos cómo integrar.

4. se calcula la nueva integral para encontrar la antiderivada $F(u) = \frac{1}{2}\int u^2 du = \frac{1}{3 \cdot 2}u^3 + C$ .

5. Finalmente, podemos regresar a utilizar la variable $x$ para obtener $F(x) = \frac{1}{3 \cdot 2}[2x + 1]^3 + C$ .

Por lo tanto,

$\int [2x + 1]^2 dx =\frac{1}{3 \cdot 2}[2x + 1]^3 + C.$

La técnica que utilizamos se denomina Integración por Substitución , una técnica que muchas veces puede simplificar la integral considerablemente y nos permite reconocer una antiderivada.

Algunas veces, la integral nos parce más compleja y requiere un mayor esfuerzo saber cómo simplificarla.

Ejemplo B

Imagina que necesitamos calcular la siguiente integral:

$\int 3x^2\sqrt{1+x^3} dx$

Solución:

El integrando es el producto de $3x^2$ y una función compuesta $f \circ g = f(g(x))$ , con $f(x) = \sqrt{x}$ y $g(x) = 1+x^3$ .

Tratemos de utilizar el enfoque de la sustitución y ver qué sucede.

1. $u=1+x^3$ .

2. Diferencia ambos lados para que $du = 3x^2 dx$ ; sabemos que $3x^2$ es $g^{\prime}(x)$ , uno de los factores en el integrando, está información es muy útil.

Nota que la integral es de la forma $\int f(g(x)) \cdot g^{\prime}(x)dx= \int F^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x)dx$ .

3. Cambia la integral original en $x$ a una integral en $u$ :

$\int \sqrt{1+x^3} \cdot 3x^2 dx = \int \sqrt{u} du$ , donde $u = 1+x^3$ y $du = 3x^2 dx$ .

4. Integra en relación a $u$ :

$\int \sqrt{u} du= \int u^{\frac{1}{2}} du = \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}+C$ .

5. Ahora cambia la respuesta y vuelve a $x$ :

$\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}(1 + x^3)^{\frac{3}{2}} + C$

La sustitución es un método eficiente para resolver una variedad de problemas.

Ejemplo C

Calcula la siguiente integral indefinida:

$\int x^2 e^{x^3} dx.$

Solución:

Notamos que el problema actual no es de la forma $\int F^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x)dx$ , como el último ejemplo, pero que la derivada de $x^3$ es $3x^2$ . Esto nos da una pista de cómo debe ser la sustitución.

$u=x^3$ .

Luego $du = 3{x^2}dx$ lo que significa $\frac{1}{3}du = {x^2}dx.$

Ahora podemos cambiar la integral original en $x$ a una integral en $u$ e integrar:

$\int x^2 e^{x^3} dx= \int e^u \left(\frac{1}{3} du\right) =\frac{1}{3} \int e^u du= \frac{1}{3} e^u+C.$

Vuelve a cambiarla a $x$ , obtenemos

$\int x^2 e^{x^3} dx=\frac{1}{3}e^{x^3}+C.$

Vocabulario

Integración por Substitución es un método para encontrar antiderivadas al cambiar variables (a menudo denominada $u$ -substitución) para simplificar el problema. La integración por substitución es análoga a la regla de la cadena de diferenciación.

Práctica Guiada

Imagina que necesitamos calcular la siguiente integral:

$\int \frac{x \sin \left(\sqrt{3x^2 + 1} \right)}{\sqrt{3x^2 +1}}dx$

Solución:

Notamos que la función del seno en el integrando es una función compuesta $f \circ g = f(g(x))$ , con $f(x) = \sin x$ y $g(x) = \sqrt{3x^2+ 1}$ .

Intentemos utilizar el enfoque de la substitución y ver qué sucede.

1. $u = \sqrt{3x^2+ 1}$ .

2. Diferencia ambos lados, para que así $du = \frac{6x}{2 \sqrt{3x^2+1}}dx$ ; reconocemos que $\frac{du}{3} = \frac{x}{\sqrt{3x^2+1}}dx$ es $\frac{1}{3}g^{\prime}(x)$ , uno de los factores en el integrando y está información es muy útil.

Nota que la integral es de la forma $\int f(g(x)) \cdot g^{\prime}(x)dx=\int F^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x)dx$ .

3. Cambia la integral original en $x$ a una integral en $u$ :

$\int \frac{x \sin \sqrt {3x^2+1}}{\sqrt{3x^2+1}}dx = \frac{1}{3}\int \sin u \ du$

4. Integra en relación a $u$ :

$\frac{1}{3}\int \sin u \ du = -\frac{1}{3}\cos u + C$

5. Ahora vuelve a cambiar la respuesta a $x$ :

$\int \frac{x \sin \sqrt{3x^2 +1}}{\sqrt{3x^2+1}}dx = -\frac{1}{3}\cos \sqrt {3{x^2} + 1} + C$

Practica

Calcula las siguientes integrales:

$\int (3x + 8)^{11}dx$
$\int 5(5x - 3)^3 dx$
$\int \sin 3x dx$
$\int 5 \cos \frac{\pi }{2}xdx$
$\int x(2x^2 + 1)^2 dx$
$\int (2x + 1)(x^2 + x - 1)^4 dx$
$\int 4x^3 (7x^4 + 6)^5 dx$
$\int x^5 (2x^6 + 7)^3 dx$
$\int \sec^2 x \tan xdx$
$\int \frac{x}{\sqrt{2x + 1}} dx$
$\int \frac{x^2}{(5x^3+3)^{\frac{3}{2}}} dx$
$\int x^3 \sqrt{1 - x^2} dx$
$\int x^2 \sqrt{x^3+9} dx$
$\int \left(x \cdot e^{x^2}\right) dx$
$\int \left(\frac{1}{x^2} \cdot e^{\frac{1}{x}}\right) dx$

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