Estimación del área bajo una curva con la suma finita de Riemann

Objetivos

En esta sección, aprenderás a calcular el área bajo la curva utilizando las sumas de áreas rectangulares.

Concepto

Encontrar el área que está bajo la curva de un función, $f(x)$ , es uno de los problemas principales que tenemos en el Cálculo. Ya sabes cómo calcular el área de una forma con curva de una función simple utilizando fórmulas geométricas y puedes utilizar rápidamente estos métodos. Sin embargo, ¿qué harías si las curvas de la función son más complejas? El enfoque principal en el cálculo es tomar un método simple, aplicarlo en una escala pequeña y después llevarlo hasta el infinito.

Para tener cierta información sobre la idea de encontrar el área bajo una curva, haz lo siguiente antes de avanzar: toma una simple curva de parábola (cóncava hacia arriba y positiva) divide un intervalo en el eje $x$ en un número de subintervalos iguales y dibuja un rectángulo en cada subintervalo que intersecta la parábola. La suma de los rectángulos sería un estimado del área. ¿Cuántos tipos diferentes de intersecciones puede hacer un rectángulo con la parábola? ¿Puedes pensar algo sobre cómo la intersección puede calcular la exactitud del área bajo la curva? ¿Puedes ver como al utilizar más rectángulos en un determinado intervalo, mejor es la estimación?

Mira Esto

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http://www.youtube.com/watch?v=KdD-HhmMcrc - James Sousa: Notación sigma/Notación de sumatorio

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http://www.youtube.com/watch?v=C4_aEbLY-k8 - James Sousa: Área bajo un gráfico

Orientación

Para las funciones simples como $f(x) = c(c>0)$ , o $f(x) = cx$ ( $c$ es una constante $>0$ ) sobre el intervalo $[0, x_0]$ , podemos utilizar la geometría simple para calcular el área que está bajo cada curva (intenta confirmar esto por ti mismo):

Para $f(x) = c(c>0)$ ; el área $A$ es la de un rectángulo simple, $A = cx_0$ .
Para $f(x) = cx(c>0)$ ; el área $A$ es la de un rectángulo simple, $A = \frac{1}{2}x_0 (cx_0) = c \frac{x{_0}^2}{2}$ .

¿Cómo podemos determinar el área para funciones más complejas?

Ejemplo A

Consideremos nuestra función cuadrática básica $f(x)=x^2$ . Imagina que nos interesa encontrar el área, $A$ , bajo la forma curva desde $x=0$ a $x=1$ . El área del que hablamos es el espacio con rayas cruzadas bajo la curva de a continuación.

Una manera de estimar el área bajo la curva es calcular el área del cuadrado que tiene una esquina en (1, 1) como lo vemos más abajo, luego dividirlo a la mitad.

Esto nos da un área $A=\frac{1}{2}$ . Este es un buen primer estimado del área; la respuesta exacta será $A = \frac{1}{3}$ .

Cómo podemos tener un mejor estimado? ¿Qué te parece dividir el intervalo $x$ ,desde $x=0$ a $x=1$ en varios subintervalos con anchos iguales.

Ejemplo B

Observemos ejemplos, los cuales tienen más intervalos que el anterior.

a. 4 subintervalos iguales. Comienza utilizando estos cuatro subintervalos como se indica:

Ahora trazaremos cuatro rectángulos que servirán como base para nuestra aproximación del área. Nos subintervalos serán el ancho de los rectángulos. Tomaremos la altura de cada rectángulo para que estás sean el valor máximo de la función en el subintervalo. (También podrías escoger el valor mínimo o del punto medio de la función en el subintervalo).

Así, obtenemos la siguiente figura:

Si denominamos a los rectángulos $R1-R4$ , de izquierda a derecho, tenemos las áreas

$R_1 &= \frac{1}{4}\cdot f\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{64}, \\R_2 &= \frac{1}{4}\cdot f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{16}, \\R_3 &= \frac{1}{4}\cdot f\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{9}{64}, \\R_4 &= \frac{1}{4}\cdot f(1)=\frac{1}{4},$

Para que así, el estimado del área total bajo la curva es

$A \approx R_1 + R_2 + R_3 + R_4 = \frac{30}{64} = \frac{15}{32} \approx 0.4688.$

El estimado del área se denomina suma superior ya que es el resultado de tomar el valor máximo de la función en cada subintervalo. Nota que esta aproximación se acerca mucho a nuestra aproximación inicial $\frac{1}{2}$ .

b. 8 subinvervalos iguales:

Si dividimos el intervalo en 8 subintervalos iguales, el ancho de cada rectángulo ahora es de $w = \frac{1}{8}$ .

El área estimada ahora es de:

$A & \approx R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + R_5 + R_6 + R_7 + R_8 \\& \approx \sum \limits_{i = 1}^8 {R_i} \qquad \qquad\text{\ldots Use of Sigma Notation} \\& \approx \frac{1}{512} + \frac{4}{512} + \frac{9}{512} + \frac{16}{512} + \frac{25}{512} + \frac{36}{512} + \frac{49}{512} + \frac{64}{512} \\& \approx \frac{204}{512} \\A & \approx 0.3984$

Observación: La notación sigma $\left(\sum\limits_{i = 1}^8 {R_i}\right)$ utilizaba en el ejemplo anterior nos permite indicar la suma de las áreas individuales de los rectángulos sin la necesidad de todos los términos individuales. El símbolo sigma con estos nos indica cómo se clasifican los rectángulos y cuántos términos hay en la suma.

Adicionalmente, la sumatoria de los rectángulos que nos da el área aproximada se puede escribir de la siguiente forma general:

$A \approx R = \sum\limits_{i = 1}^n R_i = \sum \limits_{i=1}^n f(w_i)(x_i - x_{i - 1}) = \sum \limits_{i=1}^n f(w_i)\Delta x_i$

Donde escogemos el valor de $n$ para que sea tan grande como queramos, ${w_i}$ para ser cualquier valor de $x$ en el intervalo $(x_i - x_{i - 1})$ , y $(x_i-x_{i - 1})$ para ser la cantidad $i$ de $n$ subintervalos (no necesariamente iguales) en el intervalo $[a, b]$ que se define en $f$ Este tipo de sumatoria se denomina suma de Riemann.

c. 16 subintervalos iguales

Si ahora dividimos los intervalos en 16 subintervalos iguales, el ancho de cada rectángulo sería $w = \frac{1}{16}$ .

El estimado del área ahora es de:

$A & \approx R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + R_5 + R_6 + R_7 + R_8 + R_9 + R_{10} + R_{11} + R_{12} + R_{13} + R_{14} + R_{15} + R_{16} \\& \approx \sum \limits_{i = 1}^{16} R_i \ \qquad \quad \text{\ldots Use of Sigma Notation} \\& \approx \frac{1}{4096} + \frac{4}{4096} + \frac{9}{4096} + \cdots + \frac{196}{4096} + \frac{225}{4096} + \frac{256}{4096} \\& \approx \frac{1496}{4096} \\A & \approx 0.3652$

Nuevamente, la notación sigma nos evitó la necesidad de escribir todos los términos individuales.

La tabla nos da un resumen sobre los resultados de los estimados del área que llevamos.

Estimado del área bajo $f(x) = x^2$ en el intervalo [0, 1]
Subintervalos	Estimado del área
1	1 (0.5)
4	0.4688
8	0.3984
16	0.3652

Intuitivamente, sabemos que podemos mejorar la aproximación del área al subdividir el intervalo desde $x=0$ a $x=1$ a más y más subintervalos, así sucesivamente creamos rectángulos más y más pequeños para mejorar nuestras estimaciones.

Ahora estamos listamos para formalizar el uso de sumas para calcular áreas.

Primero, debemos definir las sumas superiores y las inferiores:

Definición: Sumas superiores e inferiores

$f$ será una función acotada en el intervalo cerrado $[a,b]$ y $P = [x_0, \ldots, x_n]$ la división de $[a,b]$ en una cantidad $n$ de subintervalos.

Define las suma inferior y la superior, respectivamente, sobre la partición $P$ , por $S(P) &= \sum \limits_1^n m_i (x_i - x_{i - 1}) = m_1 (x_1 - x_0) + m_2 (x_2 - x_1) + \ldots + m_n (x_n - x_{n - 1}) \\T(P) &= \sum \limits_1^n M_i (x_i - x_{i - 1}) = M_1 (x_1 - x_0) + M_2 (x_2 - x_1) + \ldots + M_n (x_n - x_{n - 1})$

donde $m_i$ es el valor mínimo de $f$ en el intervalo de largo $x_i-x_{i-1}$ y $M_i$ es el valor máximo de $f$ en el intervalo de largo $x_i-x_{i-1}$ .

$S(P)$ y $T(P)$ con suma de Riemann, donde ${m_i}$ y ${M_i}$ son elecciones específicas para ${w_i}$ en la fórmula general de sumas de Riemann que está arriba.

Luego, enlazaremos el área bajo una curva con el límite de la suma inferior o la superior para una cantidad mayor de subintervalos:

Definición

$f$ será la función continua no-negativa en un intervalo cerrado $[a,b]$ . $P$ será una partición de $n$ subintervalos iguales bajo $[a,b]$ . Así el área bajo la curva de $f$ es el límite de la suma superior y la inferior, es decir

$A = \lim_{n \to + \infty} S(P) = \lim_{n \to + \infty} T(P)$

El siguiente ejemplo nos muestra cómo podemos utilizar estas definiciones para encontrar el área bajo una curva.

Ejemplo C

Nos muestra que el límite de la suma superior para la función $f(x)=x^2$ , desde $x=0$ s $x = x_0$ , se aproxima al valor $A = \frac{x{_0}^3}{3}$ .

Solución:

$P$ será una partición de $n$ subintervalos iguales bajo $[0, x_0]$ . Por definición, obtenemos

$T(P)= \sum \limits_1^n M_i(x_i-x_{i-1})=M_1(x_1-x_0)+M_2(x_2-x_1)+ \ldots +M_n(x_n-x_{n-1})$

El ancho de cada rectángulo será $\frac{x_0}{n}$ , por lo que el cálculo de $T(P)$ es: $T(P) &= \sum \limits_1^n M_i (x_i - x_{i - 1}) \\&= M_2 (x_2 - x_1) + \ldots + M_n(x_n - x_{n - 1}) \\&= \left(\frac{x_0}{n}\right)^2 \frac{x_0}{n} + \left(\frac{2x_0}{n}\right)^2 \frac{x_0}{n} + \left(\frac{3x_0}{n}\right)^2 \frac{x_0}{n} + \ldots + \left(\frac{nx_0}{n}\right)^2 \frac{x_0}{n} && \ldots \text{Use sub-intervals of equal length}. \\&= \left(\frac{x_0}{n}\right)^2 \frac{x_0}{n}(1^2 + 2^2 + 3^2+ \ldots + n^2)\\&= \left(\frac{x_0}{n}\right)^3 (1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2) \\&= \left(\frac{x_0}{n}\right)^3 \left(\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\right) && \ldots \text{Makes use of the following}: \\&= \left(\frac{x{_0}^3}{6}\right) \left(\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{n^3}\right) && \sum \limits_{i = 1}^n {{i^2}} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\\T(P) &= \left(\frac{x{_0}^3}{6}\right) \left(1+\frac{1}{n}\right) \left(2 +\frac{1}{n}\right)$

Podemos observar que:

$\lim_{n \to \infty} \left[{\left(\frac{x{_0}^3}{6}\right)\left( 1+\frac{1}{n}\right) \left(2+\frac{1}{n}\right)}\right] = \left(\frac{x{_0}^3}{6}\right)\cdot 2 =\frac{x{_0}^3}{3}$

El área, $A$ , bajo la curva de la función $f(x) = x^2$ desde $x = 0$ a $x = x_0$ , se aproxima al valor $A = \frac{x{_0}^3}{3}$ . Observa que si $x_0 = 1$ , obtenemos el valor $A = \frac{1}{3}$ . Compara este valor a los resultados del ejemplo B.

El mismo enfoque para determinar el área puede ser utilizado con $S(P)$ , y obtenemos el mismo resultado, $A = \frac{x{_0}^3}{3}$ .

Análisis del Problema de la Sección

¿Cuántos tipos diferentes de intersecciones puede hacer un rectángulo con la parábola? ¿Puedes pensar algo sobre cómo la intersección puede calcular la exactitud del área bajo la curva? ¿Puedes ver como al utilizar más rectángulos (subintervalos más pequeños) en un determinado intervalo, mejor es la estimación?

El lugar en donde el rectángulo intersecta establece la altura del rectángulo y solo depende del valor de $x$ en el intervalo: extremo izquierdo del rectángulo (comienzo del subintervalo), extremo derecho del rectángulo (fin del subintervalo) o lugares intermedios. Para esta parábola cóncava hacia arriba, deberías ser capaz de ver que utilizar el rectángulo con extremo izquierdo subestima el área bajo la parábola; un rectángulo de extremo derecho, sobrestimada el área. Un rectángulo con el altura en un lugar intermedio, digamos, punto intermedio, puede sobrestimar una porción y subestimar una porción, es decir, proporcionar un mejor estimado del área.

Vocabulario

Notación sigma es una notación, e.g., $\sum\limits_{i = 1}^{16} R_i$ , utilizada como un atajo para mostrar las suma separada de una cantidad sobre el rango de valores enteros.

Una partición de intervalos cerrados es una descomposición del intervalo entero en una serie de subintervalos continuos.

Una función acotada es una función $f(x)$ para el cual $\left| {f(x)} \right| \le M$ ( $M$ un número real) para todos los valores en $x$ el dominio.

Una suma superior es una suma de Riemann que escoge el valor máximo de la función en cada subintervalo en la partición de un intervalo cerrado.

Una suma inferior es una suma de Riemann que escoge el valor mínimo de la función en cada subintervalo en la partición de un intervalo cerrado.

Una suma de Riemann es un método de aproximar el área bajo un gráfico al sumar un número entero de áreas rectangulares dibujadas bajo la curva.

Práctica Guiada

Usa definición de límite del área para encontrar el área bajo la función $f(x)=4-x$ de 1 a $x=3$ .

Solución:

Si partimos el intervalo $[1,3]$ en $n$ subintervalos iguales, entonces cada subintervalo tendrá un largo de $\frac{3-1}{n}=\frac{2}{n}$ , y una altura de $3-i \triangle x$ como $i$ varia de1 a $n$ . Tenemos $\triangle x = \frac{2}{n}$ y

$S(P) &=\sum \limits_1^n m_i (x_i - x_{i - 1}) && \ldots \text{This is the lower sum that uses the minimum function value in each subinterval}. \\&= \sum\limits_1^n \left(3- i \frac{2}{n}\right) \frac{2}{n} && \ldots \text{Use sub-intervals of equal length}. \\S(P) &= \sum \limits_1^n m_i (x_i -x_{i-1}) && \ldots \text{This is the lower sum that uses the minimum function value in each subinterval}. \\&=\sum \limits_1^n \left(3 \cdot \frac{2}{n}\right) - \sum \limits_1^n i \left(\frac{2}{n}\right)^2 \\&= 6 - \left(\frac{2}{n}\right)^2\sum\limits_1^n i\\&= 6 - \left(\frac{2}{n}\right)^2\cdot\left(\frac{n(n + 1)}{2}\right) && \ldots \text{Makes use of the following}: \\&= 6 - 2\cdot\left( \frac{n(n + 1)}{n^2}\right) && \sum\limits_{i = 1}^n i = \frac{n(n + 1)}{2}\\S(P)&= 6 - 2\cdot\left( 1 + \frac{1}{n} \right)$

Podemos ver que:

$\lim_{n \to \infty } \left[ 6 - 2\cdot \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \right] = 6 - 2 = 4$

El área, $A$ , bajo la curva de la función se acerca al valor $A = 4$ . El mismo enfoque se puede utilizar con $S(P)$ , obteniendo el mismo resultado.

Por supuesto que este ejemplo se puede resolver con la geometría simple. Ustedes deben confirmar si al utilizar los dos métodos obtenemos la misma área.

Practica

En los siguientes problemas, encuentra $S(P)$ y $T(P)$ bajo la partición $P$ .

1. $f(x) = 1 - {x^2}, \ P = \left\{ 0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2 \right\}$ .

2. $f(x) = 2{x^2}, \ P = \left\{- 1, - \frac{1}{2},0,\frac{1}{2},1 \right\}$ .

3. $f(x) = \frac{1}{x}, \ P = \left\{- 4, - 3, - 2, - 1\right\}$ .

4. Considera $f(x)=2-x$ desde $x=0$ a $x=2$ . Utiliza la suma de Riemann con cuatro intervalos de igual largo. Escoge los puntos medios de cada subintervalo como puntos de ejemplos.

5. Repite el problema 1 utilizando la geometría para calcular el área exacta de la región que está bajo el gráfico de $f(x)=2-x$ desde $x=0$ a $x=2$ . (Pista: traza un gráfico de la región y ve si puedes calcular su área utilizando fórmulas geométricas para medir el área).

6. Repite el problema 4 utilizando la definición de la integral definida para calcular el área exacta de la región bajo el gráfico de $f(x)=2-x$ desde $x=0$ hasta $x=2$ .

7. $f(x)=x^2-x$ desdenbsp; $x=1$ hasta $x=4$ . Utiliza la suma de Riemann con cinco subintervalos de largo iguales. Escoge el extremo izquierdo de cada subintervalo como punto de muestra.

8. Repite el problema 7 utilizando la definición de la integral definida para calcular el área exacta de la región bajo el gráfico de $f(x)=x^2-x$ desde $x=1$ hasta $x=4$ .

9. Considera $f(x)=3x^2$ . Calcula la suma de Riemann de $f$ en [0, 1] bajo cada una de las siguientes situaciones. En cada uno de los casos, utiliza el extremo derecho como punto de muestra.

Dos subintervalos de igual largo.
Cinco subintervalos de igual largo.
Diez subintervalos de igual largo.
Basándote en tu respuesta anterior, intenta adivinar el área exacta bajo el gráfico de $f$ en [0, 1].

10. Considera $f(x)=e^x$ . Calcula la suma de Riemann de $f$ en [0, 1] bajo cada una de las siguientes situaciones. En cada uno de los casos, utiliza el extremo derecho como punto de muestra.

Dos subintervalos de igual largo.
Cinco subintervalos de igual largo.
Diez subintervalos de igual largo.
Basándote en tu respuesta anterior, intenta adivinar el área exacta bajo el gráfico de $f$ en [0, 1].

11. Encuentra el área neta bajo el gráfico de $f(x)=x^3-x$ ; $x=-1$ a $x=1$ . (Pista: Traza el gráfico y revisa la simetría.)

12. Encuentra el área total acotada por el gráfico de $f(x)=x^3-x$ y el eje $x$ desde a $x=-1$ a $x=1$ .

13. Utiliza tu conocimiento en geometría para calcular la siguiente integral definida: $\int\limits_0^3 {\sqrt {9 - {x^2}} } dx$ .

(Pista: pon $y=\sqrt{9-x^2}$ y eleva al cuadrado ambos lados para ver si reconoces la región utilizando la geometría.)

En los siguientes problemas, encuentra el área bajo la curva utilizando la definición de límite de área.

14. $f(x)=3x+5$ desde $x=2$ a $x=6$ .

15. $f(x)=x^2$ desde $x=1$ a $x=3$ .

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