La integral definida: el límite de una suma de Riemann

Objetivos

En esta sección, calcularás integrales definidas como límites de las sumas de Riemann.

Concepto

Aproximar el área bajo la curva de una función al sumar un número finito de rectángulos en la suma de Riemann puede obtener resultados muy exactos. Intuitivamente, sabemos que mientras más subintervalos tengamos, mejor será nuestro resultado. Tomar el límite de la suma de Riemann mientras los subintervalos se hacen más pequeños (el número de rectángulos se hace mayor) deberíamos obtener el área verdadera asintomáticamente. Para algunas curvas de funciones, el límite de Riemann se puede calcular algebraicamente; para las curvas complejas, el área solo se puede determinar por el cálculo numérico de fuerza bruta de sumas de Riemann.

Mira Esto

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http://www.youtube.com/watch?v=gFpHHTxsDkI - Riemann Sumas, Parte 1 (6:15)

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http://www.youtube.com/watch?v=GE4OLfmJ8P8 - Riemann Sumas, Parte 2 ( (8:31).

Los siguientes applet te deja explorarlas sumas de Riemann de cualquier función. Puedes cambiar los límites y el número de particiones. Sigue los ejemplos que te damos en esta página y luego utiliza el applet para estudiar por ti solo. Riemann Sums Applet . Nota: En esta página el autor utiliza sumas de derecha y de izquierda. Estas son similares a las sumas $S(P)$ y $T(P)$ que has aprendido.

Orientación

En la sección Estimación del área bajo una curva, el área bajo una curva fue definida en relación a un límite de sumas:

$A=\lim_{n \to + \infty}S(P)=\lim_{n \to + \infty}T(P)$

donde

$S(P) &=\sum_{1}^n m_i (x_i-x_{i-1})=m_1(x_1-x_0)+m_2(x_2-x_1)+ \ldots+m_n(x_n-x_{n-1}), \\T(P) &=\sum_{1}^n M_i(x_i-x_{i-1})=M_1(x_1-x_0)+M_2(x_2-x_1)+\ldots+M_n(x_n-x_{n-1}),$

$S(P)$ y $T(P)$ son ejemplos de la Suma de Riemann .

En general, las sumas de Riemann son de la forma $\sum\limits_{i=1}^n f(x_i^*) \triangle x$ donde cada $x_i^*$ es el valor que utilizamos para encontrar el largo del rectángulo en el subintervalo $i^{th}$ Por ejemplo, el valor máximo de la función en cada subintervalo para encontrar las sumas superiores y el valor mínimo de la función en cada subintervalo para encontrar la suma inferior. Sin embargo, ya que la función es continúa, podríamos haber utilizado cualquier punto en los subintervalos para encontrar el límite.

Para utilizar el concepto límite, hacemos que el ancho de cada rectángulo se acerque a 0, lo que es equivalente a hacer que el número de rectángulos, $n$ , se acerque al infinito. Al hacer esto, encontramos el área exacta que hay bajo la curva,

$\lim_{n \to \infty} A_n=\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i)\triangle x.$

Ahora definimos la situación más general como:

Definición

Si $f$ es continua en $[a,b]$ , y:

1. El intervalo $[a,b]$ se divide en $n$ subintervalos de igual ancho $\triangle x$ , con $\triangle x=\frac{b-a}{n}$ , y

2. Los extremos de este subintervalo son $x_0=a,x_1,x_2,..., x_n=b$ , y

3. $x_1^*,x_2^*, \ldots ,x_n^*$ de cualquier punto de muestra en estos subintervalos, luego la integral definida de $f$ desde $x=a$ a $x=b$ es

$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \triangle x.$

Solo si los límites existen.

Si el límite anterior existe, $f$ se dice que es integrable en el intervalo cerrado $[a,b]$ y el integral definido existe.

Nota: El punto de muestra $x_i^*$ puede ser cualquier punto de muestra en el subintervalo $i$ con la opción más común siendo la derecha, el punto medio o la izquierda.

Ejemplo A

Calcula la suma de Riemann para $f(x)=x^3$ desde $x=0$ a $x=3$ utilizando $n=6$ subintervalos y toma los puntos de ejemplos como los puntos medios de los subintervalos.

Solución:

Si dividimos el intervalo [0, 3] en $n=6$ subintervalos iguales, entonces cada intervalo tendrá una longitud de $\frac{3-0}{6}=\frac{1}{2}$ . Por lo que, tenemos $\triangle x=\frac{1}{2}$ y

$R_6 &=\sum_{1}^6 f(x_i^*)\triangle x=f(0.25)\triangle x+f(0.75)\triangle x+f(1.25)\triangle x+f(1.75)\triangle x+f(2.25)\triangle x+f(2.75)\triangle x \\&= \left(\frac{1}{64} \right) \left(\frac{1}{2} \right) + \left (\frac{27}{64} \right) \left (\frac{1}{2} \right) + \left (\frac{125}{64} \right) \left (\frac{1}{2} \right) + \left (\frac{343}{64} \right) \left (\frac{1}{2} \right) + \left (\frac{729}{64} \right) \left (\frac{1}{2} \right) + \left (\frac{1331}{64} \right) \left (\frac{1}{2} \right) \\&= \frac{2556}{64}=39.93.$

Ahora calculemos la integral definida utilizando la definición.

Ejemplo B

Utiliza la definición de la integral definida para calcular $\int\limits_{0}^{3} x^3 dx$ .

Solución:

Debemos encontrar $\int\limits_0^3 x^3 dx=\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^n f(x_i^*) \triangle x$ .

Utilizaremos los extremos derechos para calcular la integral. Primero, debemos dividir [0, 3] en $n$ subintrevalos con longitud $\triangle x=\frac{3-0}{n}=\frac{3}{n}$ . Ya que estamos utilizando los extremos derechos,

$x_0=0,x_1=\frac{3}{n}, x_2=\frac{6}{n}, \ldots , x_i=\frac{3i}{n}.$

La integral definida se calcula así:

$\int\limits_{0}^{3} x^3 dx&= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \triangle x. \qquad \ \ldots \text{The definite integral as the limit of Riemann sum.} \\&= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f \left(\frac{3i}{n} \right) \left(\frac{3}{n} \right) \quad \ldots \text{Use sub-intervals of equal length and right side endpoints.} \\&= \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{n} \right)\sum_{i=1}^n \left(\frac{3i}{n} \right)^3 \\&= \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{n} \right)^4 \sum_{i=1}^n i^3 \qquad \quad \ldots \text{Makes use of the following:} \\&= \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{n} \right)^4 \left(\frac{n(n+1)}{2} \right )^2 \sum_{i=1}^n i^3=\left(\frac{n(n+1)}{2} \right)^2 \\&= \left (\frac{3^4}{4} \right) \cdot \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n^4} \right) \left(\frac{n(n+1)}{1} \right)^2 \\&= \left (\frac{3^4}{4} \right) \cdot \lim_{n \to \infty} \left(1+ \frac{1}{n} \right)^2 \\\int\limits_{0}^{3} x^3 dx &=\left (\frac{3^4}{4} \right)$

Por lo tanto $\int\limits_0^3 x^3 dx=\frac{81}{4}$ .

Nota que el valor $x=3$ , podría haber sido algo como $x=c$ , en donde $c$ es una constante $> 0$ , por lo que podríamos tener $\int\limits_0^c x^3 dx=\frac{c^4}{4}$ .

Las siguientes definiciones respaldan la definición de la integral definida:

Útiles definiciones para calcular integrales definidas

Si $f(x)$ es una función integrable en el intervalo cerrado $[a,b]$ , entonces:

Definición: $\int\limits_a^a f(x)dx=0$ si $f(a)$ existe.
Definición: si $b > a$ , entonces $\int\limits_a^a f(x)dx=- \int\limits_a^b f(x)dx$

Por lo que ya hemos discutido, las sumas de Riemann han estado liada al área bajo una curva. Sin embargo, la idea de que las integrales definidas nos dan el área bajo una curva puede ser un poco confuso, ya que a veces el resultado no tiene sentido cuando lo interpretamos como área.

Ejemplo C

Por ejemplo, si calculáramos la integral definida $\int\limits_{-3}^{3}x^3 dx$ , debido a la simetría de $f(x)=x^3$ sobre el origen, encontraremos que $\int\limits_{-3}^{3}x^3 dx=0$ . Esto se debe a que por cada punto de muestra $x_j^*$ , también tenemos $-x_j^*$ como un punto de muestra con $f(-x_j^*)=-f(x_j^*)$ . Así, es más preciso decir que $\int\limits_{-3}^{3}x^3 dx$ nos da el área neta entre $x=-3$ y $x=3$ . Si quisiéramos el área total acotada por el gráfico y el eje $x$ entonces podrías calcular $2 \int\limits_0^3 x^3 dx=\frac{81}{2}$ .

Análisis del Problema de la Sección

Como has de sospechar con los ejemplos en esta sección, encontrar algebraicamente el límite al infinito de una suma de Riemann puede ponerse complicado muy rápidamente. Las soluciones en los ejemplos que utilizamos fueron posibles debido a las pocas identidades sumatorias. Sin embargo, la mayoría de los problemas se vuelve inmanejable si intentados utilizar los límites. Esta es la razón del porqué el enfoque de utilizar un calculadora (o computador) es lo mejor en la mayoría de los casos. A pesar de esto, es satisfactorio ser capaz de demostrar que la suma de Riemann nos puede ayudar a producir una solución algebraica.

Vocabulario

Una suma de Riemann es un método de aproximar el área bajo un gráfico al sumar un número entero de áreas rectangulares dibujadas bajo la curva.

La integral definida de una función sobre un intervalo es el límite al infinito de una suma de Riemann alcanzando el intervalo. Si $f(x) \ge 0$ sobre el intervalo, entonces la integral definida representa el área bajo la curva.

Práctica Guiada

Utiliza una suma de Riemann para determinar el área bajo la curva $f(x)=3x^2-x+7$ sobre el intervalo [0, 1].

Solución:

Debemos encontrar $\int\limits_0^1 (3x^2-x+7)dx=\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^n f(x_i^*) \triangle x$

Utilizaremos los extremos derechos para calcular la integral. Primero divide [0, 1] en $n$ subintervalos de longitud $\triangle x=\frac{1-0}{n}=\frac{1}{n}$ . Ya que estamos utilizando extremos derechos, $x_0=0,x_1=\frac{1}{n},x_2=\frac{2}{n},...,x_i=\frac{i}{n}$ .

La integral definida se calcula así:

$\int\limits_0^1 (3x^2-x+7)dx &=\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \triangle x. \quad \ldots \text{The definite integral as the limit of Riemann sum}. \\\int\limits_0^1 (3x^2-x+7)dx &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \triangle x. \quad \ldots \text{The definite integral as the limit of Riemann sum.} \\&=\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f \left(\frac{i}{n} \right) \frac{1}{n} \quad \ \ \ldots \text{Use sub-intervals of equal length and right side endpoints.} \\&=\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n} \right) \sum_{i=1}^n \left[3 \left(\frac{i}{n} \right)^2- \left(\frac{i}{n} \right)+7 \right] \\&=\lim_{n \to \infty} \left[3 \left(\frac{1}{n} \right)^3 \sum_{i=1}^n i^2 - \left(\frac{1}{n} \right)^2 \sum_{i=1}^n i+ \left(\frac{7}{n} \right) \sum_{i=1}^n 1 \right] \quad \ldots \text{Makes use of the following:} \\&=\lim_{n \to \infty} \left[\frac{3}{n^3} \left(\frac{n^3}{3}+ \frac{n^2}{2}+ \frac{n}{6} \right)- \frac{1}{n^2} \left(\frac{n^2}{2}+ \frac{n}{2} \right)+ \left(\frac{7}{n} \right) n \right] \quad \quad \sum_{i=1}^n i=\frac{n(n+1)}{2} \ \text{and} \\&= \lim_{n \to \infty} \left[1+ \frac{3}{2n}+ \frac{1}{2n^2}- \frac{1}{2}- \frac{1}{2n}+7 \right] \quad \quad \sum_{i=1}^n i^2=\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right) \\&= \lim_{n \to \infty}\left[7.5+ \frac{1}{n}+ \frac{1}{2n^2} \right] \\\int\limits_{0}^{1}(3x^2-x+7)dx &= 7.5$

Así, el límite de la suma de Riemann es $\int\limits_0^1 (3x^2-x+7)dx=7.5$ .

Practica

En los siguientes problemas, utiliza la definición de la integral definida como el límite de la suma de Riemann para calcular las áreas bajo las curvas.

1. $\int\limits_3^7 4 dx$ .

2. $\int\limits_0^5 2x dx$ .

3. $\int\limits_0^1 3x^2 dx$ .

4. $\int\limits_0^2 3x^3 dx$ .

5. $\int\limits_2^4 (3x^2+5x+1)dx$ .

6. $\int\limits_0^2 3x^4 dx$ (Pista: Utiliza la relación $\sum\limits_{i=1}^n i^4=\frac{n(n+1)(6n^3+9n^2+n-1)}{2 \cdot 15}$ en tu límite).

En los siguientes problemas, escribe cada uno de los siguientes límites como una integral definida sobre el integral dado, en donde $x_i$ es un punto en el $i$ subintervalo:

7. $\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^n 8x{_i}^2 \left(\frac{3}{n} \right)$ sobre [7, 10].

8. $\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^n \sqrt[4]{x{_i}^3+2x{_i}^2+1\left(\frac{2}{n} \right)}$ sobre [3, 5].

9. $\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^n \frac{4}{(2x_i+1)^2} \left(\frac{6}{n} \right)$ sobre [1, 7].

10. $\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^n x{_i}^2 e^{-x_i} \left(\frac{4}{n} \right)$ sobre [0, 4].

11. $\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^n (x{_i}^3+3x{_i}^2+3x_i+1)\left(\frac{3}{n} \right)$ sobre [2, 5].

12. $\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^n x{_i}^2 \cos x_i \left(\frac{\pi}{2n}\right)$ sobre $\left[0, \frac{\pi}{2} \right]$ .

13. Considera $f(x)=x+3$ desde $x=0$ hasta $x=5$ . Utiliza la geometría para calcular el área exacta de la región bajo el gráfico. (Pista: Traza un gráfico de la región y calcula su área utilizando las fórmulas de geometría.)

14. Repite el problema 13 utilizando la definición de la integral definida para calcular el área exacta de la región bajo el gráfico de $f(x)=x+3$ desde $x=0$ a $x=5$ .

15. Utiliza la definición de la integral definida y simetría de función para demostrar que $\int\limits_{-2}^{3}2(x^2-x)dx=2 \int\limits_{\frac{1}{2}}^{3}2(x^2-x)dx$ para $f(x)=2(x^2-x)$ sobre el intervalo [-2, 3].

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