La integral definida y el teorema fundamental de cálculo

Objetivos

En esta sección, aprenderá sobre el teorema fundamental del cálculo y cómo utilizarlo para calcular integrales definidas.

Concepto

La velocidad debido a la gravedad puede calcularse fácilmente con la fórmula: $v=gt$ , donde $g$ es la aceleración debido a gravedad $(9.8 \ m/s^2)$ y $t$ es tiempo en segundos. De hecho, puedes calcular una aproximación muy buena en tu cabeza y redondear 9,8 a 10, por lo que pues sumar un decimal a el tiempo.

Utilizando esta función para velocidad, ¿cómo puedes encontrar una función que represente la posición del objeto después de un tiempo determinado? ¿y una función que represente la aceleración instantánea del objeto en un tiempo determinado?

Mira Esto

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http://www.youtube.com/watch?v=HnZTll3OmIc - James Sousa: La integral definida

Orientación

Si crees que calcular áreas que se localizan bajo las curvas es un proceso tedioso, estarías en lo correcto. Encontrar el límite de una suma de Riemann puede ser muy aburrido. Afortunadamente, existe un método más sencillo. En esta sección, veremos un método general para calcular integrales al utilizar antiderivadas.

El teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo aclara la relación entre las derivadas y las integrales. La integración realizada en una función puede revertirse por la diferenciación.

El teorema fundamental del cálculo

Si una función $f(x)$ se define por el intervalo $[a, b]$ y si $F(x)$ es la antiderivada de $f$ en $[a, b]$ , entonces

$\int\limits_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)|_a^b$

Podemos utilizar la relación entre diferenciación e integración descrita en el teorema fundamental del cálculo para calcular integrales definidas más rápidamente.

Ejemplo A

Calcula $\int\limits_1^2x^2dx$ .

Solución:

Esta integral nos dice que debemos calcular el área bajo la curva $f(x)=x^2$ , la cual es una parábola, sobre el intervalo [1, 2], como lo muestra la siguiente figura.

Para calcular la integral de acuerdo el teorema fundamental del cálculo necesitamos encontrar la antiderivada $f(x)=x^2$ . Lo que resulta en $F(x)=\left(\frac{1}{3}\right)x^3 + C$ , donde $C$ es una constante de integración. ¿Cómo podemos obtener esto? Piensa en las funciones que tienen derivadas de $x^2$ . Toma la derivada de $F(x)$ para comprobar que encontramos tal función.

Al sustituir en el teorema fundamental,

$\int\limits_a^b f(x)dx &=F(x) \big |_a^b \\\int\limits_1^2 x^2 dx &=\left[\frac{1}{3}x^3+C \right]_1^2 \\&=\left[\frac{1}{3}(2)^3+C \right] - \left[\frac{1}{3}(1)^3+C \right] \\&=\left[\frac{8}{3}+C \right] - \left[\frac{1}{3}+C \right] \\&=\frac{7}{3}+C-C \\&=\frac{7}{3}$

Entonces, el área bajo la curva es $\left(\frac{7}{3}\right) \text{units}^2$ .

Ejemplo B

Calcula $\int x^3 dx$

Solución:

Ya que $\int x^n dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$ , obtenemos

$\int x^3 dx &=\frac{1}{3+1}x^{3+1}+C\\&=\frac{1}{4}x^4+C$

Para comprobar nuestra respuesta, toma la derivada de $\frac{1}{4}x^4+C$ y verifica $x^3$ , la función original en nuestra integral.

Ejemplo C

Calcula $\int 5x^2 dx$

Solución:

Al utilizar la constante múltiple de una regla de potencias , el coeficiente 5 puede removerse de la integral:

$\int 5x^2dx=5 \int x^2 dx$

Entonces podemos integrar:

$5 \int x^2 dx &=5 \cdot \frac{1}{2+1}x^{2+1}+C \\&=\frac{5}{3}x^3+C$

Nuevamente, para comprobar nuestro trabajo, toma la derivada de $\frac{5}{3}x^3+C$ y verifica que obtengamos $5x^2$ .

Análisis del Problema de la Sección

Recuerdas la pregunta: Utilizando la función $v=gt$ para velocidad, ¿cómo puedes encontrar una función que represente la posición del objeto después de un tiempo determinado? ¿y una función que represente la aceleración instantánea del objeto en un tiempo determinado?

La función, $s(t)$ , que representa posición es la antiderivada de la velocidad, ya que $s^\prime(t)=v(t)$ , o $s(t)=\int v(t) dt$ . De la misma forma, la velocidad $v(t)$ es la antiderivada de la aceleración, ya que $v^\prime(t)=g$ , o $v(t)=\int gdt$ .

Vocabulario

El teorema fundamental del cálculo demuestra que la integración realizada a una función puede revertirse por la diferenciación.

Las integrales nos permiten calcular el área entre una línea (como el eje $x$ )y una curva o del área entre dos curvas. Ya que el área se da en unidades elevadas al cuadrado, técnicamente es solo una aproximación, pero definitivamente es una aproximación bastante cercana a la verdadera

La antiderivada , $F(x)$ , de una función $f(x)$ es la función que satisface la ecuación $F^\prime(x)=f(x)$ .

Práctica Guiada

Calcula $\int(3x^3-4x^2+2)dx$ .
Calcula $\int\limits_2^5 \sqrt{x}dx$ .
Utiliza el teorema fundamental del cálculo para resolver: $\int\limits_4^6 \frac{dx}{x}$ .
Utiliza el teorema fundamental del cálculo para resolver: $\int\limits_{-2 \pi}^{2 \pi}3 \cos(x)dx$ .
Utiliza el segundo teorema fundamental del cálculo para resolver: $A(x)=\int\limits_3^x \cot^3(t)dt$ .

Solución

1. Al utilizar la regla de la suma y la diferencia, podemos separar nuestra integral en tres integrales:

$\int(3x^3-4x^2+2)dx &=\int 3x^3 dx- \int 4x^2 dx+ \int 2 dx\\&=\frac{3}{4}x^4- \frac{4}{3}x^3+2x+C$

2. El cálculo de esta integral representa calcular el área bajo la curva desde $x = -2$ a $x = 3$ , como lo muestra la figura de a continuación.

$\int\limits_2^5 \sqrt{x}dx &=\int\limits_2^5x^{\frac{1}{2}}dx \\&=\left[\frac{1}{\frac{1}{2}+1}x^{\frac{1}{2}+1} \right]_2^5 \\&=\left[\frac{1}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}} \right]_2^5 \\&=\frac{2}{3}\left[x^{\frac{3}{2}} \right]_2^5 \\&=\frac{2}{3}\left[5^{\frac{3}{2}}-2^{\frac{3}{2}} \right] \\\int\limits_2^5\sqrt{x}dx &=\int\limits_2^5x^{\frac{1}{2}}dx \\&=5.57$

El área bajo la curva es 5.57.

3. Si $F(x) = \ln x$ , entonces $F^\prime (x) =\frac{1}{x}$

Así, utilizamos el teorema fundamental del cálculo:

$\int\limits_4^6 \frac{dx}{x}=\ln x|_4^6=\ln 6- \ln 4=0.405$ .

4. Si $F(x) = 3\sin(x)$ , entonces $F^\prime (x) = 3\cos(x)$

Utilizamos el teorema fundamental del cálculo:

$\int\limits_{-2 \pi}^{2 \pi}[3 \cos dx=3 \sin(x)]_{-2\pi}^{2 \pi}=3 \sin(2 \pi)-3 \sin(-2 \pi)=0$ .

5. Encuentra $A^\prime \left(\frac{3\pi}{4}\right)$

El Segundo teorema dice: $\int\limits_3^x \cot^3(t)dt$ es la antiderivada de $\cot^3(x)$ .

Así, $A^\prime (x)=\cot^3(x)$

Al sustituir en $x=\frac{3\pi}{4}$ , obtenemos $A^\prime \left(\frac{3\pi}{4}\right)=-1$ .

Practica

Calcula la integral:

1. Calcula la integral $\int\limits_0^3 5x dx$ .

2. Calcula la integral $\int\limits_0^1 x^4 dx$ .

3. Calcula la integral $\int\limits_1^4 (x-3)dx$ .

Encuentra la integral:

4. Encuentra la integral de $(x + 1)(2x - 3)$ desde -1 to 2.

5. Encuentra la integral de $\sqrt{x}$ desde 0 to 9.

6. Encuentra la integral de $\int\limits_{-1}^0-3 dx=$

7. Encuentra la integral de $\int\limits_{-1}^3 dx=$

8. Encuentra la integral de $\int\limits_{-p}^{\frac{p}{2}}-4 \cos(x)dx=$

9. Encuentra la integral de $\int\limits_{0}^2-dx=$

10. Encuentra la integral de $\int\limits_{2}^7 \frac{dx}{x}$

11. Encuentra la integral de $\int\limits_{-2}^{0}x+5dx=$

12. Encuentra la integral de $\int\limits_{-p}^{\frac{3p}{2}}6 \sin(x)dx=$

13. Encuentra la integral de $\int\limits_{6}^7 \frac{dx}{x}$

Ponte a prueba:

14. Traza $y = x^3$ y $y = x$ en el mismo sistema de coordenadas y luego encuentra el área de la región contenida entre ellos $(a)$ en el primer cuadrante y $(b)$ en el primer y tercer cuadrantes.

15. Calcula la integral de $\int\limits_{-R}^R(\pi R^2- \pi x^2)dx$ donde $R$ es una contante.

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