Propiedades básicas de las integrales definidas

Objetivos

En esta sección, utilizaras algunas reglas generales para calcular integrales definidas.

Concepto

Con lo que sabes de la integral definida como el límite de una suma de Riemann, intenta determinar, antes de comenzar con la lección, cómo se puede determinar la integral definida de la suma o la diferencia de dos funciones. ¿En qué otras propiedades de las integrales definidas puedes pensar?

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Haz click en la imagen anterior para ver más contenido *Este video solo está disponible en inglés (requiere conexión a internet)

http://www.youtube.com/watch?v=LGpjvDlSRC0 - Richard White: Propiedades de las integrales definidas

Orientación

Aquí podemos ver nuevamente algunas definiciones que resultan útiles a la hora de calcular integrales definidas.

Útiles definiciones para calcular integrales definidas

Si $f(x)$ es una función integrable en el intervalo cerrado $[a, b]$ , entonces:

Definición: $\int \limits_a^a f(x)dx = 0$ si $f(a)$ existe.
Definición: Si $b>a$ , entonces $\int\limits_b^a f(x)dx =-\int\limits_a^b f(x)dx$ .

Las definiciones anteriores como también las siguientes reglas que se asemejan a las reglas de las integrales definidas, nos permitirán calcular una gran variedad de integrales definidas.

Reglas generales para calcular integrales definidas

Si $f(x)$ y $g(x)$ son funciones integrables en el intervalo cerrado $[a, b]$ , entonces:

Teorema: $\int\limits_a^b k \cdot f(x)dx = k \int \limits_a^b f(x)dx$ , para cualquier número real $k$ .
Teorema: $\int\limits_a^b [f(x) \pm g(x)]dx = \int\limits_a^b f(x)dx \pm \int\limits_a^b g(x)dx$ .
Teorema: $\int\limits_a^c f(x)dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_b^c f(x)dx$ , para $a < b < c$ .

Ejemplo A

Calcula $\int\limits_1^4 \left(x - \sqrt x\right) dx$ .

Solución:

La regla de diferencia de dos funciones puede utilizarse para calcular esta integral definida.

$\int \limits_1^4 \left(x -\sqrt{x}\right) dx &= \int \limits_1^4 x dx - \int \limits_1^4 \sqrt{x} dx \\&= \frac{x^2}{2} \Bigg]_1^4 - \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\Bigg]_1^4 \\ &= \left(8 - \frac{1}{2}\right) - \frac{2}{3} \left(8 - 1\right) \\&= \frac{15}{2} - \frac{14}{3} \\\int\limits_1^4 \left(x - \sqrt{x}\right) dx &= \frac{17}{6}$

Ejemplo B

Calcula $\int \limits_0^\frac{\pi}{2} (x + \cos x) dx$ .

Solución:

La regla de la suma de dos funciones puede utilizarse para calcular esta integral definida.

$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} (x + \cos x)dx &= \int \limits_0^{\frac{\pi}{2}} (x)dx + \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} {(\cos x)dx}\\&= \frac{x^2}{2}\Bigg]_0^{\frac{\pi}{2}} + \frac{\sin x}{1}\Bigg]_0^{\frac{\pi}{2}} \\&= \frac{\pi^2}{8} + 1\\\int \limits_0^{\frac{\pi}{2}} (x + \cos x)dx &= \frac{\pi ^2+8}{8}$

Ejemplo C

Demuestra que $\int\limits_2^5 (x^3+4)dx = \int\limits_2^4 (x^3+4)dx + \int\limits_4^5 (x^3+4)dx$ .

Solución:

Para demostrar que ambos lados de la igual son idénticas, solo calcula de forma separada los dos componentes de la mano derecho de la ecuación, luego, suma y compara con lo que está a la mano izquierda:

	I	II	Comentario
$\int\limits_2^5 (x^3+4)dx$	$\int\limits_2^4 (x^3+4)dx$	$\int\limits_4^5 (x^3+4)dx$	. . . Cada función es integrable
$\int\limits_2^5 x^3 dx + \int\limits_2^5 4 dx$	$\int\limits_2^4 x^3 dx + \int\limits_2^4 4 dx$	$\int\limits_4^5 x^3 dx + \int\limits_4^5 4 dx$	. . . Propiedades de la adición
$\frac{x^4}{4}\Big\|_2^5 + 4x \Big\|_2^5$	$\frac{x^4}{4}\Big\|_2^4 + 4x \Big\|_2^4$	$\frac{x^4}{4} \Big\|_4^5 +4x \Big\|_4^5$
$\left(\frac{625}{4} - \frac{16}{4}\right) + \left(20 - 8 \right)$	$\left(\frac{256}{4} - \frac{16}{4} \right) + \left(16 - 8 \right)$	$\left(\frac{625}{4} - \frac{256}{4}\right) + \left(20 - 16 \right)$
$\frac{{609}}{4} + 12$	$\frac{{240}}{4} + 8$	$\frac{{369}}{4} + 4$
$\frac{{657}}{4}=$	$\frac{{272}}{4}+$	$\frac{{385}}{4}$
$\frac{{657}}{4}$	$\frac{{657}}{4}$

Análisis del Problema de la Sección

Si las sumas de Riemann se utilizarán para calcular la integral de la suma o diferencia de dos funciones, el resultado se puede determinar al utilizar una suma separada para cada función. Esto es lo que has establecido las reglas anteriores. Sin embargo, existe un método más fácil: utilizar antiderivadas para calcular integrales definidas.

Práctica Guiada

Calcula $\int\limits_0^{15} g(x) dx$ , donde $g(x) = \begin{cases}\qquad \ \ 5^x, \qquad \quad 0 \le x \le 3 \\\qquad 125, \qquad \quad 3 \le x \le 5 \\1.25(x - 15)^2, \quad 5 \le x \le 15\end{cases}$ .

Solución:

La función $g(x)$ es una función definida a trozos continua sobre [0, 15] que requiere de integración sobre 3 subintervalos, como se muestra a continuación:

**Subintervalo**
	$0 \le x \le 3$	$0 \le x \le 3$	$5 \le x \le 15$
$\int\limits_0^{15} g(x) dx$	$= \int\limits_0^3 5^xdx$	$+ \int\limits_3^5 125 dx$	$+ \int\limits_5^{15} 1.25(x - 15)^2dx$
	$= \frac{5^x}{\ln 5} \Big\|_0^3$	$+125 x \Big\|_3^5$	$+ \frac{1.25}{3}(x - 15)^3 \bigg\|_5^{15}$
	$= \frac{{125}}{{\ln 5}} - \frac{1}{{\ln 5}}$	$+ 625 - 375$	$+ 0 + \frac{{1250}}{3}$
	$= \frac{{124}}{{\ln 5}}$	$+ 250$	$+ \frac{{1250}}{3}$
	$= 77.0$	$+ 250$	$+ 416.7$
$\int\limits_0^{15} g(x) dx$	$= 743.7 \approx 744$

Práctica

En los siguientes problemas, utiliza antiderivadas para calcular la integral definida.

$\int\limits_4^9 \left(\frac{3}{\sqrt{x}}\right) dx$
$\int\limits_0^1 (t-t^2) dt$
$\int\limits_2^5 \left(\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{2}}\right) dx$
$\int\limits_0^1 4 (x^2-1)(x^2+1)dx$
$\int\limits_2^8 \left(\frac{4}{x}+x^2+x\right) dx$
$\int\limits_2^4 (e^{3x}) dx$
$\int\limits_1^4 {\frac{2}{x + 3}} dx$
$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} (3\cos x-5)dx$
$\int\limits_0^1(5x^5-7x^2+4)dx$
$\int\limits_0^1 5xe^{-2x^2}dx$
$\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} (\sec^2 x(2\tan x-1))dx$
$\int\limits_0^1 (5x + 1)^3 dx$
Encuentra el valor promedio de $f(x)=\sqrt{x}$ sobre [1, 9].
Si $f$ es continua y $\int\limits_1^4 f(x)dx = 9$ , demuestra que $f$ toma el valor de 3al menos una vez en el intervalo [1, 4].
Tu amigo dice que no hay un área bajo la curva de $f(x) = \sin x$ en $[0, 2\pi]$ ya que él calculó $\int\limits_0^{2\pi} \sin xdx = 0$ . ¿Está en lo correcto? Explica tu respuesta.

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