Integrales definidas: teorema del valor medio

Objetivos

En esta sección, aprenderás a encontrar el valor promedio de una función sobre un intervalo al utilizar integrales definidas.

Concepto

La integral definida puede utilizarse para determinar el área neta bajo una función curva. El teorema del valor medio para integrales definidas solo nos dice que siempre hay un rectángulo con la misma área y ancho, además la parte superior del rectángulo intersecta la función. ¿Puedes explicarnos por qué la altura del rectángulo (la intersección con la función curva) se considera (por definición) el valor promedio de la integral definida?

Mira Esto

Haz click en la imagen anterior para ver más contenido *Este video solo está disponible en inglés (requiere conexión a internet)

http://www.youtube.com/watch?v=2ikYbP6DpzE - James Sousa: Propiedades de las integrales definidas y el valor medio

Haz click en la imagen anterior para ver más contenido *Este video solo está disponible en inglés (requiere conexión a internet)

http://www.youtube.com/watch?v=GCGn2GBd1DE - James Sousa: Ex 1: Valor medio de una función

Orientación

Para entender el significado del teorema del valor medio para integrales definidas, recuerda cómo definimos la integral definida como el área bajo la curva $y=f(x)$ para el intervalo desde $x=a$ a $x=b$ en la figura de a continuación.

Se definió el área bajo la curva y la integral definida de la siguiente manera:

$A=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx=\lim\limits_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \triangle x \text{ where }\triangle x=\frac{b-a}{n}.$

Al remplazar $\triangle x$ en la sumatoria por $\frac{b-a}{n}$ nos permite que la siguiente relación se desarrolle:

$\lim\limits_{n \to \infty} \sum_{i=1}^nf(x_i) \triangle x&=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx \\\lim\limits_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \left [ f(x_i) \cdot \frac{b-a}{n}\right ]&=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx \\(b-a) \cdot \lim\limits_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{f(x_i)}{n}&=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx \\\lim\limits_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{f(x_i)}{n}&=\frac{1}{b-a} \int\limits_{a}^{b}f(x)dx \quad &&\ldots \text{Note that} \ \sum_{i=1}^n \frac{f(x_i)}{n}\text{ is just the average of } f\text{ over} \\\lim\limits_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i)\vartriangle x&=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx && n \ \text{samples in the interval}.\\Average \ (f) \ \text{in} \ [a,b]&=\frac{1}{b-a} \int\limits_{a}^{b}f(x)dx$

La imagen anterior nos muestra que le valor promedio de una función en un intervalo está relacionada con la integral definida de la función en el intervalo. Está relación se define como:

Definición

Si $f$ es integrable en el intervalo cerrado $[a,b]$ , el valor promedio (medio) de $f$ en $[a,b]$ se da por:

$Average \ (f)=\frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$

El teorema del valor medio es una consecuencia de la propiedad de una función continua y se define como:

Teorema

Si $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a,b]$ , entonces en algún punto $c$ en el intervalo abierto $(a,b)$ :

$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)$

Nota: Esto significa $f(c)=Average \ (f)$ , i.e., $f(c)$ es el valor promedio en el intervalo.

Ejemplo A

Calcula el valor promedio de $f(x)=x^3$ en el intervalo [0, 3] y encuentra el punto $c$ donde $f(c)$ es igual al valor promedio.

Solución:

Al utilizar la definición de límite, encontramos que

$\int\limits_{0}^{3}x^3 dx=\frac{81}{4}.$

Ahora podemos encontrar el valor promedio de $f$ en el intervalo:

$f(c)(b-a)&=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx \quad &&\ldots \text{The Mean Value Theorem for Definite Integrals.} \\&=\int\limits_{0}^{3} x^3 dx \\f(c)(3-0)&=\frac{81}{4} \\f(c)&=\frac{81}{4} \cdot \frac{1}{3} \\f(c)&=\frac{27}{4} \quad &&\ldots \text{The average value of} \ f \ \text{in the interval is 6.75}.$

Ya que $f(c)=c^3=6.75$ , esto significa $c=\sqrt[3]{6.75}=1.89$ .

Ejemplo B

Encuentra el valor promedio de $f(x)=(x- \sqrt{x})$ en el intervalo [1, 4] y encuentra el punto $c$ donde $f(c)$ es igual al valor promedio.

Solución:

Así utilizamos el teorema del valor medio:

$f(c)(b-a)&=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx \quad \ldots \text{The Mean Value Theorem for Definite Integrals}. \\f(c)(b-a)&=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx \quad \ldots \text{The Mean Value Theorem for Definite Integrals}. \\f(c)(4-1)&=\int\limits_{1}^{4} \left(x- \sqrt{x}\right)dx.\\f(c) \cdot 3&=\left ( \int\limits_{1}^{4} xdx- \int\limits_{1}^{4}\sqrt{x}dx.\right ) \\&= \left(\frac{x^2}{2}\Bigg]^4_1 -\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}\Bigg]^4_1\right) \\&=\left[\left(8- \frac{1}{2} \right)- \frac{2}{3}(8-1)\right] \\&=\frac{17}{6} \qquad \qquad \ldots \text{The area under the curve is }2.8 \overline{3}. \\f(c)&=\frac{17}{18} \qquad \qquad \ldots \text{The average value of} \ f \ \text{in the interval is} \ 0.9 \overline{4}.$

El área bajo la curva y el valor promedio se muestra en la figura.

Encontrar el valor de $c$ requiere resolver la ecuación $f(x)=x- \sqrt{x}=\frac{17}{18}$ , o la ecuación equivalente $\sqrt{c}=c- \frac{17}{18}$ .

La solución es $c=2.537$ .

Ejemplo C

Encuentra el valor promedio de $f(x)=(x+ \cos x)$ en el intervalo $\left [ 0,\frac{\pi}{2}\right ]$ , y encuentra el punto $c$ donde $f(c)$ es igual al valor promedio.

Solución:

Así utilizamos el teorema del valor medio:

$f(c)(b-a)&=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx \quad &&\ldots \text{The Mean Value Theorem for Definite Integrals}. \\f(c)\left ( \frac{\pi}{2}-0\right )&=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}(x+ \cos \ x) \ dx. \\f(c)\left(\frac{\pi}{2}\right)&=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}xdx+ \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos \ x \ dx. \\&=\left (\frac{x^2}{2}\Bigg]^{\frac{\pi}{2}}_0+ \sin \ x]^{\frac{\pi}{2}}_0 \right ) \\&=\left [\left (\frac{\pi^2}{8}-0\right )+ \sin \left (\frac{\pi}{2}\right )- \sin (0)\right ] \\&=\left [\frac{\pi^2}{8}+1 \right ] \quad &&\cdots \text{The area under the curve is }2.234 \\f(c)&=\frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi^2+8}{8} \\&=\frac{\pi^2+8}{4 \pi} \quad &&\ldots \text{The average value of }f \text{ in the interval is }1.422.$

El área bajo la curva y el valor promedio se muestra en la figura.

Para encontrar el valor de $c$ debemos resolver la ecuación $f(c)=c+ \cos c=\frac{\pi^2+8}{4 \pi}$ .

La solución es $c=0.592 \ radians$ .

Análisis del Problema de la Sección

Recuerdas la pregunta: ¿Puedes explicarnos por qué la altura del rectángulo (que intersecta la función curva) se considera (por definición) el valor promedio de la integral definida?

Pista: Trata de expresar la integral definida como un límite de sumas y la división por el ancho de los rectángulos. El valor que obtienes es realmente el límite de los promedio de los valores de la función como $n$ , el número de los valores de funciones, aumenta.

Vocabulario

El valor promedio de una función en un intervalo $[a,b]$ es $Average \ (f)=\frac{1}{b-a} \int\limits_{a}^{b} f(x)dx$ .

El teorema del valor medio nos dice que hay un valor de la variable independiente de una función en un intervalo $[a,b]$ donde la función alcanza su valor promedio.

Práctica Guiada

Imagina $g(x)=x^2+3x+1$ . Encuentra un valor $c$ en el intervalo [1, 3] para que $g^\prime(c)$ equivalga a la tasa de cambio promedio de $g(x)$ en el intervalo.

Solución:

Con $g(x)=x^2+3x+1$ , entonces $g^\prime (x)=2x+3$ .

Así utilizamos el teorema del valor medio:

$g^\prime(c)(b-a)&=\int\limits_{a}^{b} g^\prime(x)dx \quad &&\ldots \text{The Mean Value Theorem for Definite Integrals}. \\g^\prime(c)(3-1)&=\int\limits_{1}^{3}(2x+3)dx. \\g^\prime(c)(2)&=(x^2+3x)\Big|^3_1 \\&=(9+9)-(1+3) \\&=14 \quad &&\ldots \text{The area under the curve is }14. \\g^\prime (c)&=7 \quad &&\ldots \text{The average value of }g^\prime \text{ in the interval is }7.$

Para encontrar el valor de $c$ debemos resolver la ecuación $g^\prime(c)=2c+3=7$ .

La solución es $c=2$ .

Práctica

En los siguientes problemas, encuentra el valor promedio de la función sobre la integral dada.

1. $f(x)=-x^4+2x^2+4$ sobre [-2, 1]

2. $f(x)=\frac{4}{(2x+6)^2}$ sobre [-6, -5]

3. $f(x)=-x+2$ sobre [-2, 2]

En los siguientes problemas, encuentra el valor $c$ en la integral dada para que la función sea igual a su valor promedio en el intervalo a $c$ .

4. $\int\limits_{4}^{9}\left (\frac{3}{\sqrt{x}} \right )dx$

5. $\int\limits_{0}^{1}(t-t^2)dt$

6. $\int\limits_{2}^{5}\left (\frac{1}{\sqrt{x}}+ \frac{1}{\sqrt{2}} \right )dx$

7. $\int\limits_{0}^{1}4(x^2-1)(x^2+1)dx$

8. $\int\limits_{2}^{8}\left (\frac{4}{x}+x^2+x \right )dx$

9. $\int\limits_{2}^{4}(e^{3x})dx$

10. $\int\limits_{1}^{4}\frac{2}{x+3}dx$

11. Encuentra el valor promedio de $f(x)=\sqrt{x}$ sobre [1, 9].

12. Si $f$ es continua y $\int\limits_{1}^{4}f(x)dx=9$ , demuestra que $f$ toma el valor de 3 al menos una vez en el intervalo [1, 4].

13. Encuentra el valor de $A$ para que la tasa de cambio promedio de la función $f(x)=x^3$ en el intervalo $[0, \ A]$ sea igual a la tasa de cambio instantánea de la función en $x=1$ .

14. $g(x)=x^3+2x$ . Encuentra el valor de $c$ entre 1 y 3 para que la tasa de cambio de $g(x)$ en [1, 3] se igual a la tasa de cambio instantánea de $g(x)$ en $x=c$ .

15. $f(x)=t^2$ . Encuentra el valor $A$ para que la tasa de cambio de $f(x)$ desde 1 a $A$ igual a la tasa de cambio instantánea en $t=2A$ .

Prev Next

Integrales definidas: teorema del valor medio

Objetivos

Concepto

Mira Esto

Orientación

Vocabulario

Práctica Guiada

Práctica

Licencia