Integración definida: cambio de variable

Objetivos

En esta sección, aprenderá a utilizar la técnica de $u$ sustitución para definir integrales.

Concepto

Al calcular una integral indefinida, la técnica de realiza un cambio de variable o sustitución de variable ( $u$ -substitución), a menudo es una manera para hacer que una integral “dificil” $\int f(x)dx$ sea más fácil de calcular $\int f(u) du$ Una vez que la integración más fácil se realiza para obtener una antiderivada, la “nueva” variable es remplazada en la antiderivada por su “antigua” expresión variable equivalente. Sin embargo, si la integral que se calcula es una integral definida $\int\limits_{a}^{b}f(x) dx$ , y queremos escribir la integral definida más fácil $\int\limits_{?}^{?}f(u) du$ , ¿cambian los límites de cambio de integración? Formula una respuesta antes de continuar y compruébala al final de la sección.

Mira Esto

Haz click en la imagen anterior para ver más contenido *Este video solo está disponible en inglés (requiere conexión a internet)

http://www.youtube.com/watch?v=VfvJ5C9FjcA - Sousa: Integración por sustitución: integrales definidas e indefinidas. Parte 1

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http://www.youtube.com/watch?v=pmekyFVIorE - Sousa: Integración por sustitución: integrales definida. Parte 2

Orientación

La técnica de $u$ - sustitución (o cambio de variable) también podemos utilizarla a la hora de calcular integrales definidas; sin embargo, para ser consistente, antes debemos cambiar los límite de integración. Podemos resumir la fórmula como:

Substitución para integrales definidas

Problema: Calcula $\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$

Substitución: $u=g(x)$ , así que $du=g^\prime(x)dx$ y $f(x)dx=f(g(x))g^\prime(x)dx$

Transformación del problema: $\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f(g(x))g^\prime(x)dx=\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(u)du$

La meta es que $\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(u)du$ sea más fácil de calcular que $\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$ .

Ejemplo A

Calcula $\int\limits_{0}^{3}\frac{dx}{4x+5}$ .

Solución:

$u=4x+5$ . Entonces $du=4dx$ .

Límite inferior: Para $x=0,\ u=4\cdot 0+5=5$

Límite superior: Para $x=3,\ u=4\cdot 3+5=17$ .

Por lo tanto

$\int\limits_{0}^{3}\frac{dx}{4x+5} &\int\limits_{5}^{17}\frac{du}{4u}\\&=\frac{1}{4}[\ln u]_5^{17}\\\int\limits^3_0 \frac{dx}{4x+5} & \int\limits^{17}_5 \frac{du}{4u}\\&=\frac{1}{4}[\ln 17 -\ln 5]$

Utilicemos el método de substitución de integrales definidas con un integrando trigonométrico.

Ejemplo B

Calcula $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sin 4xdx$ .

Solución:

$u=4x$ . Entonces $du=4dx$ .

Límite inferior: Para $x=0,\ u=4\cdot 0=0$

Límite superior: Para $x=\frac{\pi}{4},\ u=4\frac{\pi}{4}=\pi$ .

Por lo tanto

$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sin 4xdx &\int\limits_{0}^{\pi}\frac{\sin u}{4}du\\&=\frac{1}{4}[-\cos u]_0^{\pi}\\&=\frac{1}{4}[-(-1)-(-1)]\\\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sin 4xdx &=\frac{1}{2}$

Ejemplo C

Calcula $\int\limits_{1}^{3}\frac{x}{\sqrt{2x-1}}dx$

Solución:

$u=2x-1$ . Entonces $du=2dx$ , o $dx=\frac{du}{2}$ .

Antes de la substitución, debemos determinar los nuevos límites de integración en relación de la variable $u$ Para hacer esto posible, simplemente substituimos los límites de integración actuales con $u=2x-1$ :

Límite inferior: Para $x=1,\ u=2(1)-1=1$ .

Límite superior: Para $x=3,\ u=2(3)-1=5$ .

Ahora sustituimos $u$ y los límites asociados en la integral:

$\int\limits_{1}^{5}\frac{x}{\sqrt{u}}\frac{du}{2}$

Como puedes ver, la variable $x$ todavía está en el integrando. Para escribirlo en términos de $u$ , utilizamos la sustitución $u=2x-1$ y resolvemos $x$ para obtener, $x=\frac{(u+1)}{2}$ .

Al sustituirlo nuevamente/reincorporarlo en la integral,

$\int\limits_{1}^{3}\frac{x}{\sqrt{2x-1}}dx &=\int\limits_{1}^{5}\frac{u+1}{2\sqrt{u}}\frac{du}{2}\\&=\frac{1}{4}\int\limits_1^5\frac{u+1}{\sqrt{u}}du\\&=\frac{1}{4}\int\limits_1^5\left(u^{\frac{1}{2}}+u^{-\frac{1}{2}}\right)du\\&=\frac{1}{4}\left[\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}+2u^{\frac{1}{2}}\right]_1^5$

Al utilizar el teorema fundamental del cálculo al insertar los límites de integración, además de calcular y simplificar, obtenemos

$\int\limits_{1}^{3}\frac{x}{\sqrt{2x-1}}dx &=\frac{1}{4}\left[\left(\frac{2}{3}5^{\frac{3}{2}}+2\cdot 5^{\frac{1}{2}}\right)-\left(\frac{2}{3}1^{\frac{3}{2}}+2\cdot 1^{\frac{1}{2}}\right)\right]\\&=\frac{4\sqrt{5}-2}{3}$

Pudimos haber elegido la sustitución $u=\sqrt{2x-1}$ Esto es un ejercicio en la sección de práctica. Tú mismo determinas cuál es la más fácil.

Análisis del Problema de la Sección

¿Cuáles son los límites de integración para el nuevo integral después de la $u$ -sustitución? ¿Son diferentes a los límites antiguos?

¡Sí lo pueden ser! Si la $u$ -sustitución es $u=g(x)$ , entonces

$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\int\limits_{u=g(a)}^{u=g(b)}f(u)du.$

Vocabulario

Integración por sustitución es un método de encontrar antiderivadas o integrales por medio de un cambio de variables (a menudo denominado $u$ -sustitución) para simplificar el problema. La integración por sustitución es similar a la regla de la cadena de la diferenciación. Cuando se calcula una integral definida, transformarla a una nueva integral puede requerir un cambio en los límites de integración.

Práctica Guiada

Calcula $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan x\sec^2 xdx$ .

Solución:

$u=\tan x$ . Entonces $du=\sec^2 xdx$ .

Límite inferior: Para $x=0,\ u=\tan 0=0$

Límite superior: Para $x=\frac{\pi}{4},\ u=\tan\frac{\pi}{4}=1$ .

Así,

$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan x\sec^2 xdx &\int\limits_{0}^{1}udu\\&=\left[\frac{u^2}{2}\right]_0^1\\&=\frac{1}{2}$

Práctica

Calcula las siguientes integrales definidas.

$\int\limits_{1}^{3}\frac{x}{\sqrt{2x-1}}dx$ utilizando la sustitución $u=\sqrt{2x-1}$ .
$\int\limits_{0}^{2}xe^{x^2}dx$ .
$\int\limits_{0}^{\sqrt{\pi}}x\sin x^2dx$ .
$\int\limits_{0}^{1}x(x+5)^4 dx$ .
$\int\limits_{0}^{5}2x\cos(x^2)dx$ .
$\int\limits_{2}^{3}\cos(x)\sin(\sin(x))dx$ .
$\int\limits_{\pi}^{5\pi}\sqrt{2x+1}dx$ .
$\int\limits_{1}^{4}\frac{x^2}{\sqrt{x^3-8}}dx$ .
$\int\limits_{8}^{10}\frac{\cos(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}dx$ .
$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}4\sin\left(\frac{x}{3}\right)dx$ .
$\int\limits_{0}^{3}x^2e^{-x^3}dx$ .
$\int\limits_{0}^{1}(3x-1)^{27}dx$ .
$\int\limits_{0}^{1}(5x^5+x^2)^3(25x^4+2x)dx$ .
$\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\cos\left(\frac{x}{2}+\pi\right)dx$ .
$\int\limits_{1}^{3}\frac{1}{x^2}\sqrt{1+\frac{1}{x}}dx$ .

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