Integración numérica: regla trapezoidal

Objetivos

En esta sección, aprenderás a utilizar las reglas trapezoidal para calcular el área bajo la curva y a determinar una estimación de errores al utilizarla.

Concepto

Haz visto que hemos utilizado diferentes maneras de aproximar el valor de las integrales. Un ejemplo son las sumas de Riemann al utilizar los extremos izquierdos y derechos, como también utilizar los puntos medios para encontrar el largo de cada pieza rectangular. En esta lección, las piezas rectangulares son remplazadas por piezas trapezoidales para aproximar la integral. ¿Crees que al utilizar trapezoides obtendrás repuestas más correctas que al utilizar rectángulos? ¿Por qué? ¿Puedes pensar en una razón del porqué la concavidad de una función curva afecta la exactitud de la estimación del área al utilizar trapezoides?

Mira Esto

Haz click en la imagen anterior para ver más contenido *Este video solo está disponible en inglés (requiere conexión a internet)

http://www.youtube.com/watch?v=JGeCLfLaKMw - James Sousa: Regla trapezoidal de la integración numérica

Orientación

Hemos utilizado diferentes maneras de aproximar el valor de las integrales. Un ejemplo son las sumas de Riemann al utilizar los extremos izquierdos y derechos, como también utilizar los puntos medios para encontrar el largo de cada pieza rectangular. En esta lección, aprenderás sobre dos métodos para aproximar integrales. Primero, la regla trapezoidal (o regla del trapecio) que utiliza piezas trapezoidales para aproximar la integral. Segundo, la regla de Simpson, la cual utiliza la parábola para realizar la aproximación.

Recordemos cómo se utiliza el punto medio con $n=4$ rectángulos para aproximar el área bajo el gráfico de $f(x)=x^2+1$ desde $x=0$ a $x=1$ .

En vez que utilizar el punto medio que hay en cada subintervalo para encontrar el largo del rectángulo correspondiente, podemos formar trapezoides al unir los valores máximos y mínimos de la función de cada subintervalo:

El área de un trapezoide es $A=\frac{h(b_1+b_2)}{2}$ , donde $b_1$ y $b_2$ son los largos de los lados paralelos y $h$ es la altura. En nuestros trapezoides la altura es $\triangle x$ y $b_1$ y $b_2$ son los valores de la función. Por lo tanto, al encontrar las áreas de los trapezoides estamos promediando los extremos izquierdos y derechos de cada subintervalo.

Por lo tanto, un trapezoide común tiene un área de

$A=\frac{\triangle x}{2}(f(x_{i-1})+f(x_i)).$

Para aproximar $\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$ con $n$ de estos trapezoides, obtenemos

$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx & \approx \frac{1}{2}\left[\sum_{i=1}^n f(x_i-1) \triangle x+\sum_{i=1}^n f(x_i)\triangle x\right] \\&=\frac{\triangle x}{2}\left[f(x_0)+f(x_1)+f(x_1)+f(x_2)+f(x_2)+ \cdots+f(x_{n-1})+f(x_n)\right] \\&=\frac{\triangle x}{2}\left[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+ \cdots +2f(x_{n-1})+f(x_n)\right], \triangle x=\frac{b-a}{n}.\\$

Ejemplo A

Utiliza la regla trapezoidal para aproximar $\int\limits_{0}^{3}x^2 dx$ con $n=6$ .

Solución:

Encontramos cada subintervalo como $\triangle x=\frac{b-a}{n}=\frac{3-0}{6}=\frac{1}{2}$ .

La aproximación de la integral es:

$\int\limits_{0}^{3}x^2dx &\approx\frac{1}{4}\left[f(0)+2f\left(\frac{1}{2}\right)+2f(1)+2f\left(\frac{3}{2}\right)+2f(2)+2f\left(\frac{5}{2}\right)+f(3)\right]\\&=\frac{1}{4}\left[0+\left(2\cdot\frac{1}{4}\right)+(2\cdot 1)+\left(2\cdot\frac{9}{4}\right)+(2\cdot4)+\left(2\cdot\frac{25}{4}\right)+9\right]\\&=\frac{1}{4}\left[\frac{73}{2}\right]=\frac{73}{8}=9.125.$

Un solución exacta puede determinarse con el uso de la antiderivada con el teorema fundamental: $\int\limits_{0}^{3}x^2 dx=\frac{x^3}{3}\Big|_0^3=9$ . El error es de aproximadamente de 1.4%.

Para algunas integrales es imposible encontrar una antiderivada y un método numérico es la única opción.

Cuando esto sucede, la exactitud en la aproximación un una problemática. En general, ¿qué tan grande debe ser $n$ para que el estimado trapezoidal es exacta con un margen de, digamos, 0,001?

La magnitud del error al utilizar la técnica trapezoidal para un determinado valor de $n$ puede expresarse así:

$\left|Error _{Trapezoidal}\right| \le\frac{k(b-a)^3}{12 \ n^2}$ , donde $|f^{\prime \prime}(x)|\le k$ para $a\le x\le b$ .

Esto significa que escoger $n \ge \sqrt{\frac{k(b-a)^3}{12 \cdot |Error_{Trapezoidal}|}}$ puede satisfacer o exceder un error específico $Error_{Trapezoidal}$ .

Ejemplo B

Encuentra $n$ para que estimado trapezoidal para $\int\limits_{0}^{3}x^2 dx$ sea preciso con un margen de 0,001.

Solución:

Debemos encontrar $n$ para que $|Error_{Trapezoidal}|\le 0.001 .$

Primero, nota que $|f^{\prime \prime}(x)|=2$ para $0\le x\le 3$ . Así, podemos tomar $k=2$ para encontrar nuestro error acoplado.

$|Error_{Trapezoidal}|\le \frac{2(3-0)^3}{12 \ n^2}=\frac{54}{12 \ n^2}.$

Debemos resolver la siguiente desigualdad para $n$ :

$\frac{54}{12\ n^2} &<0.001,\\n^2 &>\frac{54}{12(0.001)},\\n &>\sqrt{\frac{54}{12(0.001)}}\approx 67.08.$

Así, podemos tomar $n=68$ para lograr la exactitud deseada.

Ejemplo C

Utiliza la regla trapezoidal para aproximar $\int\limits_{0}^{2}x^3 dx$ para $n=4$ . Redondea la respuesta a cuatro decimales y compara este valor con el valor exacto de la integral. ¿Cuál es el valor esperado para $n=4$ ?

Solución:

Encontramos cada subintervalo como $\triangle x=\frac{b-a}{n}=\frac{2-0}{4}=\frac{1}{2}$ .

La aproximación de la integral se calcula así:

$\int\limits_{0}^{2}x^3 dx &\approx \frac{1}{4} \left[f(0)+2f(0.5)+2f(1)+2f(1.5)+f(2)\right] \\&\approx\frac{1}{4} \left[0+2\cdot 0.125+2\cdot 1+2\cdot 3.375+8\right] \\\int\limits_{0}^{2}x^3 dx &\approx 4.25$

El estimado de la integral es 4,25.

El valor exacto de la integral es: $\int\limits_{0}^{2}x^3dx=\frac{x^4}{4}\Big|_0^2=4$ .

El error entre estos es: 0,25.

El error esperado al utilizar $n=4$ :

Para $f^{\prime \prime}(x)=6x,\ f^{\prime \prime}(x)\le 6 \cdot 2=12$ en el intervalo $[0,2]$ .

Por lo tanto, $\left|Error_{Trapezoidal}\right| \le \frac{k(b-a)^3}{12 \ n^2}=\frac{12(2)^3}{12\cdot 4^2}=0.5$ .

El error real es menor que $|Error_{Trapezoidal}|$ .

Análisis del Problema de la Sección

Recuerdas las preguntas de la orientación: ¿Crees que al utilizar trapezoides obtendrás repuestas más correctas que al utilizar rectángulos? ¿Por qué? ¿Puedes pensar en una razón del porqué la concavidad de una función curva afecta la exactitud de la estimación del área al utilizar trapezoides?

Si crees que al utilizar trapezoides obtendrás un resultado más exacto (con el mismo número de subintervalos), estaría en lo correcto. Con algunos ejemplos, puedes ver con tus propios ojos que los trapezoides cubren el área bajo la curva de una mejor manera. Aunque, si la función curva es cóncava hacia arriba, los trapezoides sobrestimarán el área; si es hacia abajo, la subestimarán.

Vocabulario

La regla trapezoidal es una método para calcular una integral definida al calcular el área de los segmentos trapezoidales en el intervalo de integración y sumándolos.

Práctica Guiada

Utiliza la regla trapezoidal para aproximar $\int\limits_{1}^{2}\frac{1}{(x+1)^2}dx$ para $n=4$ . Redondea la respuesta a cuatro decimales y compara este valor con el valor exacto de la integral ¿Cuál es el valor esperado para $n=4$ ?

Solución:

Encontramos cada subintervalo como $\triangle x=\frac{b-a}{n}=\frac{2-1}{4}=\frac{1}{4}$ .

La aproximación de la integral se calcula así:

$\int\limits_{1}^{2}\frac{1}{(x+1)^2}dx & \approx\frac{1}{8} \left[f(2)+2f(2.25)+2f(2.5)+2f(2.75)+f(3)\right] \\&\approx \frac{1}{8}\left[\frac{1}{4}+2\frac{1}{2.25^2}+2\frac{1}{2.5^2}+2\frac{1}{2.75^2}+\frac{1}{3^2}\right]\\&\approx\frac{1}{8} \left[0.25+0.39506+0.32+0.26446+0.11111\right] \\\int\limits_{1}^{2}\frac{1}{(x+1)^2}dx &\approx0.16758\approx 0.1676$

El estimado de la integral es 0,1676.

El valor exacto de la integral es: $\int\limits_{1}^{2}\frac{1}{(x+1)^2}dx=\frac{-1}{x+1}\Big|_1^2=\frac{1}{6}=0.1\overline{6}$ .

El error entre estos es 0,0009.

El error esperado al utilizar $n=4$ :

Para $f^{\prime \prime}(x)=\frac{6}{(x+1)^4},\ f^{\prime \prime}(x)\le\frac{6}{(1+1)^4}=\frac{3}{8}=0.375$ en el intervalo [1, 2].

Por lo tanto, $|Error_{Tropezoidal}|\le\frac{k(b-a)^3}{12n^2}=\frac{0.375(1)^3}{12\cdot 4^2}=0.001953$ .

El error real es menor que $|Error_{Trapeziodal}|$ .

Práctica

Utiliza la regla trapezoidal para aproximar las integrales definidas utilizando el número dado de subintervalos $n$ .

$\int\limits_{1}^{7}(x+7)dx$ con $n=6$ .
$\int\limits_{-2}^{2}(x+4)dx$ con $n=4$ .
$\int\limits_{-4}^{1}(-x^2-2x+8)dx$ con $n=5$ .
$\int\limits_{2}^{7}\frac{2}{x}dx$ con $n=5$ .
$\int\limits_{0}^{2}x^4dx$ con $n=4$ .
$\int\limits_{0}^{1}\sin x^2 dx$ con $n=4$ .
$\int\limits_{2}^{4}\sqrt{x}dx$ con $n=5$ .
$\int\limits_{0}^{1}x^2e^{-x}dx$ con $n=8$ .
$\int\limits_{1}^{4}\ln\sqrt{x}dx$ con $n=6$ .
$\int\limits_{0}^{1}\sqrt{1+x^4}dx$ con $n=4$ .
$\int\limits_{1}^{3}\frac{1}{x}dx$ con $n=8$ .
$\int\limits_{0}^{2}x^3dx$ para $n=8$ .
Encuentra un valor de $n$ que garantice un error de no más de $10^{-5}$ en la aproximación trapezoidal de $\int\limits_{2}^{4}\sqrt{x}dx$ . ¿Qué tan grande debe ser $n$ para que el aproximado trapezoidal para $\int\limits_{1}^{3}\frac{1}{x}dx$ sea preciso con:
0,001?
0,00001?

Prev Next

Integración numérica: regla trapezoidal

Objetivos

Concepto

Mira Esto

Orientación

Vocabulario

Práctica Guiada

Práctica

Licencia