Objetivos

En esta sección, aprenderá a utilizar la regla de Simpson para estimar el área bajo una curva y ser capaz de determinar errores de estimación al utilizar esta regla.

Concepto

Hemos utilizado diferentes métodos numéricos para aproximar el valor de las integrales definidas. Los métodos que hemos observado hasta el momento utilizar la segmentación rectangular o trapezoidal del área bajo la curva de la función, pero no son tan exactos para funciones donde los segmentos de líneas rectas no son la mejor aproximación para la función curva. Es razonables pensar que otros métodos de aproximación curvas puede ser más útiles para algunas funciones. La. regla de Simpson es un método que utiliza parábolas para aproximar la curva en vez trazar segmentos lineales. ¿Piensas que al utilizar la parábola obtendremos un resultado más exacto que al utilizar rectángulos? ¿Por qué? ¿Puedes pensar en una razón del porqué la concavidad de una función curva afecta la exactitud de la estimación del área al utilizar parábolas?

Mira Esto

Haz click en la imagen anterior para ver más contenido *Este video solo está disponible en inglés (requiere conexión a internet)

http://www.youtube.com/watch?v=WzNMvPnYBbA - Video tutoriales de matemáticas por James Sousa: La regla de Simpson de la integración numérica (8:48).

Orientación

Como también es el caso de la regla trapezoidal, para la regla de Simpson el intervalo $[a, b]$ se divide en $n$ subintervalos de largo $\triangle x=\frac{b-a}{n}$ .

Luego se construyen parábolas a través de cada grupo de tres puntos consecutivos en el gráfico. La gráfica de más abajo nos muestra el proceso para las primeras tres parábolas en el caso de $n=6$ subintervalos. Puedes ver que cada intervalo, con la excepción del primero y el último, contiene dos estimados; uno muy alto, el otro muy bajo, para que así el estimado sea más preciso.

Utilizando parábolas de esta manera produce el siguiente estimado del área con la regla de Simpson:

$\int \limits_a^b f(x)dx \approx \frac{\triangle x}{3}[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+2f(x_4) \ldots + 2f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_n)].$

Podemos ver que se asemeja a la regla trapezoidal. Sin embargo, existe una diferencia. Al utilizar tres $x_i$ consecutivos para aproximar parábolas requerirá que siempre asumamos que $n$ debe siempre ser un número par.

Estimados de errores para la regla de Simpson

Como es el caso con la regla trapezoidal, tenemos una fórmula que sugiere cómo escoger $n$ para asegurarnos de que los errores se encuentran en márgenes aceptables. El siguiente método nos ilustra en cómo elegir un $n$ suficientemente grande.

Imagina $|f^4(x)| \le k$ para $a \le x \le b$ . La estimación del error es expresado en

$|Error_{simpson}| \le \frac{k(b-a)^5}{180 \ n^4}.$

Ejemplo A

Utiliza la regla de Simpson para aproximar $\int\limits_1^4 \frac{1}{x} dx$ con $n = 6$ .

Solución:

Encontramos $\triangle x = \frac{b - a}{n} = \frac{4 - 1}{6} = \frac{1}{2}$ .

$\int \limits_1^4 \frac{1}{x}dx & \approx \frac{1}{6} \left[f(1) + 4f \left(\frac{3}{2}\right) + 2f(2) + 4f \left(\frac{5}{2}\right) +2f(3) + 4f \left(\frac{7}{2}\right) +f(4)\right] \\&= \frac{1}{6}\left[1+ \left(4 \cdot \frac{2}{3}\right) + \left(2 \cdot \frac{1}{2}\right) + \left(4 \cdot \frac{2}{5}\right) + \left(2 \cdot \frac{1}{3}\right)+ \left(4 \cdot \frac{2}{7}\right)+ \frac{1}{4}\right] \\&= \frac{1}{6} \left[\frac{3517}{420}\right]=1.3956.$

Esto es un estimado cercano al real, ya que sabemos que

$\int \limits_1^4 \frac{1}{x}dx =\ln x \Bigg]_1^4 = \ln(4) - \ln(1)=1.3863.$

Por lo tanto, el error es menor que 0,01.

Ejemplo B

Encuentra $n$ para que así el estimado de la regla de Simpson para $\int\limits_1^4 \frac{1}{x} dx$ tenga un margen de 0,001.

Solución:

Debemos encontrar $n$ para que $|Error_{simpson}| \le 0.001$ .

Comenzamos por notar que $|f^4(x)|=\left|\frac{24}{x^5}\right|$ para $1 \le x \le 4$ . Por lo que podemos tomar $k = 24$ para encontrar el error acoplado:

$\left|Error_{simpson}\right| \le \frac{24(4-1)^5}{180 \ n^4}=\frac{5832}{180 \ n^4}.$

Por lo tanto, debemos resolver la siguiente desigualdad para $n$ :

$\frac{5832}{180 \ n^4}< 0.001.$

Obtenemos :

$n^4 > \frac{5832}{180(0.001)}$ , de modo que $n > \sqrt[4] {\frac{5832}{180(0.001)}} \approx 13.42$ .

Por lo tanto, debemos tomar $n = 14$ para lograr la exactitud deseada.

Ejemplo C

Utiliza la regla de Simpson para aproximar $\int \limits_0^2 {x^3}dx$ para $n = 4$ . Redondea la respuesta a cuatro decimales y compara este valor con el valor exacto de la integral ¿Cuál es el valor esperado para $n = 4$ ?

Solución:

Encontramos cada subintervalo como $\triangle x = \frac{b - a}{n} = \frac{2 - 0}{4} = \frac{1}{2}$ .

La aproximación de la integral se calcula así:

$\int_0^2 {{x^3}dx} & \approx \frac{2}{{12}}\left[ {f(0) + 4f(0.5) + 2f(1) + 4f(1.5) + f(2)} \right] \\& \approx \frac{1}{6}\left[ {0 + 4 \cdot 0.125 + 2 \cdot 1 + 4 \cdot 3.375 + 8} \right] \\\int_0^2 x^3 dx & \approx 4$

El estimado de la integral es 4.

El valor exacto de la integral es: $\int\limits_0^2 x^3 dx = \frac{x^4}{4} \Bigg |_0^2 = 4$ .

El error entre estos es 0.

El error esperado al utilizar $n = 4$ :

Para la derivada de cuarto orden $f^4 (x) = 0$ , significa $|Error_{Simpson}| \le \frac{0(b - a)^3}{12 \ n^2} = 0$ .

Análisis del Problema de la Sección

Recuerda las preguntas de la orientación: ¿Piensas que al utilizar la parábola obtendremos un resultado más exacto que al utilizar rectángulos? ¿Por qué? ¿Puedes pensar en una razón del porqué la concavidad de una curva de función afecta la exactitud de la estimación del área al utilizar parábolas?

Si crees que al utilizar parábolas para ajustar una función curva obtendrás un resultado más exacto (con el mismo número de subintervalos), estaría en lo correcto. Con algunos ejemplos, puedes ver con tus propios ojos que las parábolas solapadas se ajustan mejor a la curva de la función que el segmento lineal y, por lo tanto, el área bajo la curva de una mejor manera. Las parábolas hacen un mejor trabajo que los trapezoides a la hora de la concavidad de la curva de la función.

Vocabulario

La regla de Simpson es un método que calcula una integral definida al calcular el área de solapamiento de segmentos parabólicos en el intervalo de integración y luego sumándolos.

Práctica Guiada

Utiliza la regla de Simpson para aproximar $\int \limits_1^2 \frac{1}{(x + 1)^2} dx$ para $n = 4$ . Redondea la respuesta a cuatro decimales y compara este valor con el valor exacto de la integral ¿Cuál es el valor esperado para $n = 4$ ?

Solución:

Encontramos cada subintervalo como $\triangle x = \frac{b - a}{n} = \frac{2 - 1}{4} = \frac{1}{4}$ .

La aproximación de la integral se calcula así:

$\int \limits_1^2 \frac{1}{(x + 1)^2}dx & \approx \frac{1}{12}\left[f(2) + 4f(2.25) + 2f(2.5) + 4f(2.75) + f(3)\right] \\\int \limits_1^2 \frac{1}{(x + 1)^2}dx & \approx \frac{1}{12}\left[f(2) + 4f(2.25) + 2f(2.5) + 4f(2.75) + f(3)\right] \\& \approx \frac{1}{12}\left[\frac{1}{4} + 4 \frac{1}{2.25^2} + 2 \frac{1}{2.5^2} + 4 \frac{1}{2.75^2} + \frac{1}{3^2} \right] \\& \approx \frac{1}{{12}}\left[0.25 + 0.79012 + 0.32 + 0.52893 + 0.11111\right] \\\int \limits_1^2 \frac{1}{(x + 1)^2}dx & \approx 0.16668 \approx 0.1667$

El estimado de la integral es 0,1667.

El valor exacto de la integral es: $\int \limits_1^2 \frac{1}{(x + 1)^2}dx = \frac{-1}{x + 1} \bigg|_1^2 = \frac{1}{6} = 0.1 \overline 6$ .

El error entre estos es 0,00001.

El error esperado al utilizar $n = 4$ :

Para $f^4(x) = \frac{120}{(x + 1)^6}$ , $f^{{\prime}{\prime}}(x) \le \frac{120}{(1 + 1)^6} = \frac{15}{8} = 1.875$ en el intervalo [1, 2].

Por lo tanto, $|Error_{Trapezoidal}| \le \frac{k(b - a)^5}{180 \ n^4} = \frac{1.875(1)^5}{180 \cdot 4^4} = 0.00004$ .

El error real es menor que $|Error_{Trapezoidal}|$ .

Práctica

Utiliza la regla de Simpson para aproximar las integrales definidas utilizando el número dado de subintervalos $n$ .

$\int \limits_1^7 (x + 7) dx$ con $n = 6$ .
$\int \limits_{-2}^2 (x + 4) dx$ con $n = 4$ .
$\int \limits_{-4}^1{(-x^2-2x+8)} dx$ con $n = 4$ .
$\int \limits_0^2 x^3 dx$ para $n = 8$ .
$\int \limits_0^2 {x^4} dx$ con $n = 4$ .
$\int \limits_2^7 \frac{2}{x} dx$ con $n = 4$ .
$\int \limits_0^1 \sin{x^2} dx$ con $n = 4$ .
$\int \limits_2^4 \sqrt{x} dx$ con $n = 4$ .
$\int \limits_0^1 x^2 e^{- x}dx$ con $n = 8$ .
$\int \limits_1^4 \ln \sqrt{x} dx$ con $n = 6$ .
$\int \limits_0^1 \sqrt{1+x^4} dx$ con $n = 4$ .
$\int \limits_0^2 \frac{1}{\sqrt{1+x^4}} dx$ con $n = 6$ .
Encuentra un valor de $n$ que garantice un error de no más de $10^{- 5}$ en la aproximación con la regla de Simpson de $\int \limits_2^4 \sqrt{x} dx$ . ¿Qué tan grande debe ser $n$ para que el estimado en la regla de Simpson para $\int \limits_1^3 \frac{1}{x} dx$ sea preciso con:
0,001?
0,00001?

Integración numérica: regla de Simpson

Objetivos

Concepto

Mira Esto

Orientación

Vocabulario

Práctica Guiada

Práctica

Licencia