Objetivos

En esta Sección, aprenderás a usar la integral definida para encontrar el área entre dos curvas en relación con los ejes $x$ - e $y$ .

Concepto

En una Sección anterior, la integral definida de una función sobre un intervalo fue presentada como el área bajo la curva en el intervalo. Esta interpretación de la integral definida proporciona un método para encontrar el área de figuras bidimensionales que es bastante diferente del uso de fórmulas geométricas simples que sirven para encontrar las áreas de figuras constituidas de polígonos y círculos. Usando lo que sabes sobre la integral definida, ¿puedes formular un procedimiento general para encontrar el área de formas definidas por dos curvas?

Mira Esto

Haz click en la imagen anterior para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo está disponible en inglés

Para una presentación del área entre dos gráficos, mira http://www.youtube.com/watch?v=E_1aDcOoDtE - Video Tutoriales de Matemáticas por James Sousa, Área Entre Dos Gráficos (6:12).

Haz click en la imagen anterior para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo está disponible en inglés

Para una presentación adicional del área entre dos curvas, mira http://www.youtube.com/watch?v=DRFyNHdVgUA - Just Math Tutoring, Hallar Áreas Entre Curvas (9:51).

Orientación

Considera la región delimitada por los gráficos $f$ y $g$ entre $x=a$ y $x=b$ , como se muestra en las siguientes figuras. Si los dos gráficos se encuentran sobre el eje $x$ , podemos interpretar el área que está encerrada entre estos como el área bajo el gráfico $g$ restada del área bajo el gráfico $f$ .

Por lo tanto, como lo indican los gráficos, tiene sentido decir que

[Área bajo $f$ (Fig. 6.1.1a)] - [Área bajo $g$ (Fig. 6.1.1b)] = [Área entre $f$ y $g$ (Fig.6.1.1c)],

$\int\limits_a^b f(x)dx=\int\limits_a^b g(x)=\int\limits_a^b [f(x)-g(x)]dx.$

Esta relación es válida siempre y cuando las dos funciones sean continuas y la función de orden superior $f(x) \ge g(x)$ en el intervalo $[a, b]$ .

Ejemplo A

Encuentra el área de la región que se encuentra entre $f(x)=3x+5$ y $g(x)=x^2$ en el intervalo [1, 3].

Solución:

Primero, hacemos un boceto de la región. Como puedes ver a partir del gráfico, $f(x)>g(x)$ en el intervalo [1, 3]. Aplicando la fórmula del área,

$A &=\int\limits_a^b[f(x)-g(x)]dx\\&=\int\limits_1^3[(3x+5)-(x^2)]dx \\&=\left[\frac{3x^2}{2}+5x-\frac{x^3}{3} \right]_1^3\\&=\frac{40}{3}$

Entonces el área entre dos curvas $f(x)=3x+5$ y $g(x)=x^2$ en el intervalo [1, 3].

En ocasiones, el intervalo de integración de dos curvas $f(x)$ y $g(x)$ se puede determinar por puntos de la intersección entre las dos curvas. Además, los puntos de la intersección pueden estar donde las dos curvas cambian su relación con respecto a cuál es más larga. Es posible que se necesite cambiar la expresión de diferencia en el integrando.

Ejemplo B

Encuentra el área de la región ubicada entre $y=x^2$ y $y=x+6$ .

Solución:

Primero, dibujamos un boceto de la región y encontramos los puntos de término del intervalo de integración. Para hacer esto, simplemente igualamos las dos funciones, $x^2=x+6$ , y calculamos $x$ .

$x^2-x-6 &=0 \\(x+2)(x-3) &=0$

Así, obtenemos $x=-2$ y $x=3$ .

Entonces, los límites superior e inferior intersecan en los puntos (-2, 4) y (3, 9).

Como puedes ver en el gráfico, $x+6 \ge x^2$ y entonces $f(x)=x+6$ y $g(x)=x^2$ en el intervalo [-2, 3]. Aplicando la fórmula del área,

$A &=\int \limits_a^b [f(x)-g(x)]dx \\&=\int \limits_{-2}^3 [(x+6)-(x^2)]dx.$

Integrando,

$A &=\left[\frac{x^2}{2}+6x-\frac{x^3}{3} \right]_{-2}^3 \\&=\frac{125}{6}.$

Entonces el área entre las dos curvas $f(x)=x+6$ y $g(x)=x^2$ es $\frac{125}{6}$ .

A veces, se necesita encontrar el área bajo la curva en la relación con el eje $y$ en lugar del eje $x$ , como se muestra a continuación.

En este caso, el intervalo de integración se encuentra en el eje $y$ , y las ecuaciones de las curvas se deben escribir de tal manera que se expresen explícitamente como una función de $y$ . El área entre las curvas se escribe entonces de la siguiente manera:

$A=\int\limits _c^d w(y)dy-\int \limits_c^d v(y)dy=\int \limits_c^d [w(y)-v(y)]dy$

Ejemplo C

Encuentra el área de la región delimitada por $x=y^2$ y $y=x-6$ .

Solución:

Como puedes ver en la figura, el límite izquierdo es $x=y^2$ y el derecho es $y=x-6$ . Los puntos de intersección de las dos curvas determinan que el intervalo de integración se extiende sobre el intervalo $-2 \le y \le 3$ . Sin embargo, debemos expresar las ecuaciones en términos de $y$ . Reescribimos

$x &=y^2 \\x &=y+6.$

Así,

$A &=\int \limits _c^d [w(y)-v(y)]dy \\&=\int \limits _{-2}^3 [(y+6)-(y^2)]dy \\&=\left[\frac{y^2}{2}+6y-\frac{y^3}{3} \right]_{-2}^3 \\A &=\frac{125}{6}$

Entonces el área entre las dos curvas $y=x-6$ y $x=y^2$ es $\frac{125}{6}$ .

Análisis del Problema de la Sección

La pregunta es si puedes formular un procedimiento general para encontrar el área de dos formas definidas por dos curvas (funciones). Si dijiste que se debe encontrar el área de las curvas por separado y luego restar los resultados, entonces tu estrategia es correcta.

Una estrategia general consistiría en:

Hacer un boceto de las curvas que definen la figura
Decidir si integrar el eje $x$ - o $y$ -
Escribir completamente los integrandos como la diferencia de las funciones
Determinar los límites de la integración (intervalo)
Integrar para encontrar el área

Vocabulario

El área Entre Dos Curvas hace referencia a encontrar el área de la región que está delimitada por las dos funciones (ya sea con respecto al eje $x$ - o el $y$ - ).

Práctica Guiada

Encuentra el área entre las curvas $y=x+1$ y $y=x^3+x^2-x+1$ entre los puntos de intersección.

Solución:

Encuentra puntos de intersección:

$x+1 &=x^3+x^2-x+1 \\0 &=x^3+x^2-2x \\0 &=x(x^2+x-2)=x(x+2)(x-1) \\x &=-2, \ x=0, \ x=1$

En el primer intervalo, $(x^3+x^2-x+1) \ge (x+1)$ ; en el segundo, $(x+1) \ge (x^3+x^2-x+1)$ . Para encontrar el área total, calcula:

$A &=\int\limits_{-2}^0 [g(x)-f(x)]dx+\int\limits_{0}^1 [f(x)-g(x)]dx \\&=\int\limits_{-2}^0 [(x^3+x^2-x+1)-(x+1)]dx+\int\limits_0^1 [(x+1)-(x^3+x^2-x+1)]dx \\&=\int\limits_{-2}^0 (x^3+x^2-2x)dx+\int\limits_0^1-(x^3+x^2-2x)dx\\A &=\left(\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3-x^2 \right) \Bigg|^{0}_{-2}-\left(\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3-x^2\right)\Bigg|^{1}_{0}\\&=\frac{8}{3}-\left(-\frac{5}{12}\right)\\A &=\frac{37}{12}$

El área entre las curvas $y=x+1$ e $y=x^3+x^2-x+1$ sobre el intervalo [-2, 1] es $\frac{37}{12}$ .

Práctica

En los problemas #1-7, haz un boceto de la región delimitada por las curvas y encuentra el área.

$y=x^2$ , $y=\sqrt x$ , en el intervalo [0.25, 1].
$y=0$ , $y=\cos \ 2x$ , en el intervalo $\left[\frac{\pi}{4}, \ \frac{\pi}{2}\right]$ .
$y=|-1+x|+2$ , $y=\frac{-1}{5}x+7$ .
$y=\cos \ x$ , $y=\sin \ x$ , $x=0$ , $x=2\pi$ .
$x=y^2$ , $y=x-2$ integra con respecto a $y$ .
$y^2-4x=4$ , $4x-y=16$ integra con respecto a $y$ .
$y=8 \cos \ x$ , $y=\sec^2 x$ , $\frac{-\pi}{3}\le x \le \frac{\pi}{3}$ .
Encuentra el área delimitada por $x=y^3$ y $x=y$ .
Si el área delimitada por las dos funciones $y=k\cos x$ e $y=kx^2$ es 2, ¿cuál es el valor de $k$ ?
Encuentra la recta horizontal $y=k$ que divide la región entre $y=x^2$ e $y=9$ en dos áreas iguales.
Encuentra el área entre las curvas $y=sin(x)$ e $y=x\sqrt{x^2+1}+2$ entre los puntos $x=0$ y $x=\pi$ .
12. Encuentra el área entre las curvas $y=\cos (x)$ e $y=\cos (2x)$ entre los puntos $x=2$ y $x=3$ .
Encuentra el área delimitada por lo siguiente: $y=1$ , $y=\pi$ , $y=x^3+9$ , $y=\frac{1}{x}$ .
Encuentra los puntos de intersección de las curvas $y=5x$ e $y=4x^2-6$ .
Encuentra el área entre las curvas $y=x^2$ e $y=8-x^2$ .

Área Entre Dos Curvas

Objetivos

Concepto

Mira Esto

Orientación

Vocabulario

Práctica Guiada

Práctica

Licencia