Volúmenes por Corte Transversal

Objetivos

En esta sección, aprenderás los conceptos básicos sobre volumen y cómo calcularlo con un corte transversal dado usando integrales definidas.

Concepto

¿Recuerdas cómo calcular el volumen de un cilindro o prisma usando la sección transversal y la longitud (altura) de un objeto? Si se conoce la sección transversal y es constante con la altura, calcular el volumen es fácil. Pero, ¿qué pasa si la sección transversal cambia de una forma conocida a lo largo de la recta que es la altura, como lo hace en un cono o una pirámide? ¿Cómo se puede usar un único método en cálculo para determinar el volumen de cualquiera de estos tipos de figuras sólidas?

Mira Esto

Haz click en la imagen anterior para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo está disponible en inglés

http://www.youtube.com/watch?v=nunXe-qpOGc - David Lippman: Volumenes al integrar secciones cruzadas – pirámide de base cuadrada

Orientación

Un cilindro circular se puede generar trasladando un disco circular sobre una recta perpendicular al disco (Figura 5). En otras palabras, el cilindro se puede generar moviendo la sección transversal $A$ (el disco) a través de una distancia $h$ . El volumen resultante se llama el volumen de un sólido y se define como

$V=Ah.$

El volumen del sólido no tiene que ser necesariamente circular. Puede tomar cualquier forma. Una forma útil de encontrar el volumen es mediante una técnica llamada “rebanar”. Para explicar la idea, supón que un sólido $S$ se encuentra en el eje $x$ - y se extiende desde los puntos $x=a$ hasta $x=b$ (Figura 6).

Sea $A(x)$ la sección transversal del sólido en algún punto arbitrario $x$ . Tal como lo hicimos para calcular la integral definida en el capítulo anterior, dividimos el intervalo $[a, b]$ en $n$ subintervalos y con los anchos

$\triangle x_1, \triangle x_2, \triangle x_3, \ldots , \triangle x_n.$

Eventualmente, obtenemos planos que cortan el sólido en $n$ rebanadas

$S_1, S_2, S_3, \ldots, S_n.$

Toma una rebanada, $S_k$ . Podemos aproximar la rebanada $S_k$ para que sea un sólido rectangular con un grosor de $\triangle x_k$ y una sección transversal de $A(x_k)$ . Así, el volumen $V_k$ de la rebanada es aproximadamente

$V_k \approx A(x_k) \triangle x_k.$

Por lo tanto, el volumen $V$ del sólido entero es aproximadamente

$V &=V_1+V_2+ \ldots +V_n \\& \approx \sum_{k=1}^n A(x_k) \triangle x_k.$

Si usamos el mismo procedimiento para derivar una formular a fin de calcular el área bajo la curva, incrementamos el número de rebanadas de forma que $\triangle x_k \rightarrow 0$ . En este caso, las rebanadas se vuelven más delgadas y, como resultado, nuestra aproximación será cada vez mejor. Esto es,

$V=\lim_{\triangle x \rightarrow 0}=\sum^n_{k=1}A(x_k) \triangle x_k.$

Observa que el lado derecho es solo la definición de la integral definida. Así

$V &=\lim_{\triangle x \rightarrow 0}=\sum^n_{k=1}A(x_k) \triangle x_k \\&=\int \limits_a^b A(x) dx.$

Ejemplo A

Deriva una fórmula para el volumen de una esfera de radio $r$ centrada en el punto (0, 0, 0) cuya sección transversal en el plano $xy$ -es como se muestra. Usa las rebanadas perpendiculares al eje $x$ - para determinar $A(x)$ .

Solución:

Se muestra un corte transversal de la esfera en el plano $xy$ .

Los cortes transversales de la esfera que son perpendiculares al eje $x$ - son círculos. Ya que la ecuación del círculo en el plano $xy$ - es $x^2+y^2=r^2$ , el radio del círculo en el plano perpendicular al eje $x$ - es $y=\sqrt{r^2-x^2}$ , lo que significa que el área de cada círculo es $A(x)=\pi y^2=\pi(r^2-x^2).$

Si observamos las rebanadas del área desde $x=0$ hasta $x=r$ , el volumen de la esfera se da por

$V &=\int \limits_a^b A(x)dx \\&=2 \int \limits_0^r \pi(r^2-x^2)dx \\&=2 \pi \left[r^2 x- \frac{x^3}{3} \right]_0^r \\&=2 \pi \left[\frac{2r^3}{3} \right] \\V &=\int \limits_a^b A(x)dx \\V &=\frac{4}{3} \pi r^3$

Esta es la fórmula que esperamos ver para el volumen de una esfera, $V=\frac{4}{3} \pi r^3$ .

La derivación anterior usó un corte transversal perpendicular al eje $x$ -, y por lo tanto una integración a lo largo del eje $x$ -. El siguiente ejemplo usa la integración a lo largo del eje $y$ -.

Ejemplo B

Deriva una fórmula para el volumen de una pirámide cuya base es un cuadrado de lados $a$ y cuya altura (altitud) es $h$ .

Solución:

Que el eje $y$ - pase a través del vértice de la pirámide, como se muestra en la Figura (7a). En cualquier punto $y$ en el intervalo $[0, h]$ , la sección transversal es un cuadrado. Si $b$ es la longitud de los lados de cualquier cuadrado arbitrario, entonces, por triángulos similares (Figura 7b),

$\frac{\frac{1}{2}b}{\frac{1}{2}a} &=\frac{h-y}{h}, \\b &=\frac{a}{h}(h-y).$

Ya que la sección transversal en $y$ es $A(y)=b^2$ ,

$A(y)=b^2=\frac{a^2}{h^2}(h-y)^2.$

Usando la fórmula del volumen,

$V &=\int\limits_c^d A(y)dy \\&=\int\limits_0^h \frac{a^2}{h^2}(h-y)^2dy \\&=\frac{a^2}{h^2} \int\limits_0^h (h-y)^2 dy.\\&=\frac{a^2}{h^2} \left[-\frac{1}{3} (h-y)^3 \right]_0^h && \ldots \text{Using} \ u- \text{substitution of} \ u=h-y \ \text{and} \ du=-dy\\V &=\frac{1}{3} a^2 h && \text{to evaluate the integral.}$

Por lo tanto, el volumen de la pirámide es $V=\frac{1}{3}a^2h$ , lo que concuerda con la fórmula estándar.

Ejemplo C

Una figura sólida tiene como su base la región en el plano $xy$ -definida por la elipse $x^2+4y^2=4$ . Cada corte transversal por el plano perpendicular al eje $y$ -es un cuarto de círculo, con radio en la base. Encuentra el volumen del sólido.

Solución:

Se muestra el corte transversal de la base elíptica en el plano $xy$ .

Cada corte transversal perpendicular al eje $y$ - a través de la elipse es un cuarto de círculo con un radio igual a la recta que está a través de la elipse. La expresión para el radio se puede determinar calculando la ecuación de la elipse $x$ :

$x=\sqrt{4-4y^2}=2 \sqrt{1-y^2}$ , lo que entrega la porción de la elipse del Cuadrante I.

El radio de cualquier sección de cuarto de círculo en la mitad superior de la elipse es:

$r(y)=2x=2 \left[2 \sqrt{1-y^2} \right]=4 \sqrt{1-y^2}.$

Esto significa que el área de cualquier sección de cuarto de círculo en la mitad superior de la elipse es

$A(y) &=\frac{1}{4} \cdot \pi r(y)^2=\frac{1}{4} \cdot \pi \left[4 \sqrt{1-y^2} \right]^2, \ or \\A(y) &=4 \pi(1-y^2)$

El volumen de un sólido ahora se puede evaluar de la siguiente manera:

$V &=2 \int\limits_c^d A(y)dy \ldots \ \text{Account for the upper and lower portions of the ellipse} \\&=2 \int\limits_0^1 4 \pi(1-y^2)dy \\&=8 \pi\left[y- \frac{y^3}{3} \right]_0^1 \\V &=\frac{16}{3} \pi$

El volumen de un sólido es $\frac{16}{3} \pi$ unidades cúbicas.

Análisis del Problema de la Sección

Repasemos, la pregunta era ¿cómo se puede usar un único método en cálculo para determinar el volumen de un sólido sabiendo su sección transversal en cualquier plano perpendicular a lo largo de su altura (longitud)?

Esta sección presentó un método para encontrar el volumen mediante:

Hacer un boceto de un sólido y una sección transversal en un plano perpendicular a su altura (longitud)
Encontrar una expresión para la sección transversal $A$ (rebanada de volumen $Adx$ ) en la dirección de la altura (longitud).
Determinar los límites de la integración a lo largo de la dirección de la altura (longitud).
Integrar para encontrar el volumen

Vocabulario

La Fórmula del Volumen (Corte transversal perpendicular al eje $x$ -)

Sea $S$ un sólido delimitado por dos planos paralelos perpendiculares al eje $x$ -en $x=a$ y $x=b$ . Si cada sección transversal en $[a, b]$ es perpendicular al eje $x$ -, entonces el volumen del sólido se obtiene mediante

$V=\int\limits_a^b A(x)dx.$

donde $A(x)$ es el área de un corte transversal en el valor de $x$ en el eje $x$ -.

La Fórmula del Volumen (Corte transversal perpendicular al eje $y$ -)

Sea $S$ un sólido delimitado por dos planos paralelos perpendiculares al eje $y$ -en $y=c$ e $y=d$ . Si cada sección transversal en $[c, d]$ es perpendicular al eje $y$ -, entonces el volumen del sólido se obtiene mediante

$V=\int\limits_c^d A(y)dy.$

donde $A(y)$ es el área de un corte transversal en el valor de $y$ en el eje $y$ -.

Práctica Guiada

La base de un sólido está en el plano $xy$ -, y está definida por la ecuación $x^2+y^2=36$ . Cada corte transversal definido por un plano perpendicular al eje $x$ - es un triángulo rectángulo, con una altura de 5 pulgadas. El lado del triángulo que no es congruente a los otros dos es la base en el plano $xy$ -. Encuentra el volumen del sólido.

Solución:

La base del sólido en el plano $xy$ - se muestra a continuación.

La ecuación $x^2+y^2=36$ es un círculo de radio 6. Cada corte transversal perpendicular al eje $x$ - alrededor del círculo es un triángulo isósceles cuya base se determina por:

$B(x)=2[\sqrt{36-x^2]}, \ \text{from} \ x=0 \ \text{to} \ x=6.$

Esto significa que el área de cualquier sección isósceles en los Cuadrantes I y IV del círculo son

$A(x)=\frac{1}{2} \cdot B(x) \cdot 5=5 \sqrt{36-x^2}.$

El volumen del sólido se puede evaluar de la siguiente forma:

$V &=2 \int\limits_a^b A(x)dx \ldots \text{Account for the left portions of the circle (Quadrants II and III)}, \\& \qquad \qquad \qquad \qquad \text{and right portions (Quadrants I and IV).} \\&=2 \int\limits_0^6 5 \sqrt{36-x^2} dx \ldots \text{The integral can be evaluated either (1) numerically} \\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \text{using a graphing calculator, OR} \\&= 10 \int\limits_0^6 \sqrt{36-x^2}dx \ldots(2)\ \text{by first making the following variable substitution and then evaluating}: \\V &=2 \int\limits_a^b A(x)dx \ldots \ldots x=6 \sin u, dx=6 \cos u du, \ \text{and integration limits} \ u=0 \ \text{to} \ u=\frac{\pi}{2} \ \text{which leads to}\\V &= 10 \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} 36 \cos^2 udu=360 \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}(1+ \cos 2u)du=180 \left[u+\frac{\sin 2u}{u} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\V &= 90 \pi \ in^3 \\V &= 282.7 \ in^3$

El volumen del sólido es $90 \pi$ unidades cúbicas.

Práctica

Encuentra el volumen de una pirámide cuya base es un cuadrado con lados de longitud 20 y cuya altura es 15.
Encuentra el volumen de un cono cuya altura es 4 y el diámetro de su base es 10.
Una piscina de 12 por 15 tiene una profundidad que cambia según su lado más largo, según la función $f(x)=6+2 \cos \left(\frac{\pi}{20} x \right)$ . Encuentra su volumen.
Usa el método de rebanar para encontrar el volumen de una pirámide de dos de altura cuya base es un triángulo equilátero con lados de dos de longitud.
Usa el método de rebanar para encontrar el volumen de un objeto de longitud 5 cuyos cortes transversales son triángulos de altitud 4 y un ancho dado por $w(x)=1+x$ , $0 \le x \le 5$ .
Hay un sólido que se encuentra en el plano Cartesiano entre $x=0$ y $x=1$ cuyo sección transversal se da por la función $A(x)=x^3+x$ . ¿Cuál es su volumen?
Hay un sólido que se encuentra en el plano Cartesiano entre $x=5$ y $x=6$ cuya sección transversal se da por la función $A(x)=\frac{1}{x}$ . ¿Cuál es su volumen?
Hay un sólido que se encuentra en el plano Cartesiano entre $x=-1$ y $x=1$ cuya sección transversal se da por la función $A(x)=x \cos(x^2)$ . ¿Cuál es su volumen?
Hay un sólido que se encuentra en el plano Cartesiano entre $x=2$ y $x=4$ cuya sección transversal se da por la función $A(x)=\frac{\ln(x)}{x}$ . ¿Cuál es su volumen?
Hay un sólido que se encuentra en el plano Cartesiano entre $x=10$ y $x=20$ cuya sección transversal se da por la función $A(x)=\sin(x) \sqrt{\cos(x)+1}$ . ¿Cuál es su volumen?
Enuncia el Principio de Cavalieri.
Considera el corte transversal de una esfera, tomado paralelo al “ecuador” de la esfera e $y$ unidades por sobre este. ¿Cuál es el radio de este corte, en términos de $R$ , el radio de la esfera e $y$ ?
Un cilindro de altura $h$ se introduce en una esfera a lo largo de una recta que interseca con el centro de la esfera. ¿Cuál es el radio de este cilindro, en términos de $R$ , el radio de la esfera, y $h$ ?
Un cilindro de altura $h$ se introduce en una esfera a lo largo de una recta que interseca con el centro de la esfera. ¿Cuál es volumen de lo que queda de la esfera? ¿En qué punto esto, sorprendentemente, no interseca? Esto se conoce comúnmente como el problema del servilletero.
¿Cómo se relaciona el resultado anterior del servilletero con el Principio de Cavalieri?

Prev Next

Volúmenes por Corte Transversal

Objetivos

Concepto

Mira Esto

Orientación

Vocabulario

Práctica Guiada

Práctica

Licencia