Sólidos de Revolución: Volúmenes por Discos

Objetivos

En esta sección, aprenderás a calcular el volumen de un sólido por el método del disco.

Concepto

En la sección anterior, el volumen de un solido era determinado al saber cómo la sección transversal en un plano perpendicular a la longitud (o altura) varía según la altura. En esta sección, el corte transversal considerado será un círculo, porque el sólido será un sólido de revolución. ¿Crees que el método de calcular el volumen de un sólido de revolución usando cortes transversales circulares será muy diferente al método de cortes transversales (rebanar) de la sección anterior?

Mira Esto

La siguiente applet te permite experimentar con sólidos de revolución alrededor del eje $x$ - para dos funciones cualesquiera. Puedes insertar los ejemplos anteriores para ponerlo a prueba, y luego, experimentar con nuevas funciones y cambiar los límites. Volumes of Revolution Applet .

Haz click en la imagen anterior para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo está disponible en inglés

En el siguiente video, el narrador explica los pasos para realizar una integración de volumen. http://www.youtube.com/watch?v=R_aqSL-q6_8 - Khan Academy Sólidos de Revolución (10:05).

Haz click en la imagen anterior para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo está disponible en inglés

A veces, el mismo problema del volumen se puede resolver de dos maneras diferentes. En estos dos videos, el narrador primero encuentra el volumen usando capas http://www.youtube.com/watch?v=NIdqkwocNuE - Khan Academy Sólido de Revolución (Parte 5) (9:29), y luego realiza el mismo problema usando discos.

Haz click en la imagen anterior para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo está disponible en inglés

http://www.youtube.com/watch?v=F2psxMnGdUw - Khan Academy Sólido de Revolución (Parte 6) (9:19).

Orientación

Supón que una función $f$ es continua y no negativa en el intervalo $[a,b]$ , y supón que $R$ es la región entre la curva $f$ y el eje $x$ -(Figura 6.3.1a). Si esta región se gira en torno al eje $x$ -, generará un sólido que tendrá cortes transversales circulares con radios de $f(x)$ en cada $x$ (Figura 6.3.1b). Cada sección transversal se puede calcular mediante $A(x)=\pi[f(x)]^2$ .

Ya que el volumen se define como $V=\int\limits_a^b A(x)dx$ , el volumen del sólido es $V=\int\limits_a^b \pi[f(x)]^2 dx$ .

Ejemplo A

Calcula el volumen del sólido que se obtiene cuando la región bajo la curva $\sqrt{x}$ se gira en torno al eje $x$ -sobre el intervalo [1, 7].

Solución:

Como muestran las Figuras 9a y 9b, el volumen es

$V &=\int\limits_a^b \pi[f(x)]^2 dx \\&=\int\limits_1^7 \pi[\sqrt{x}]^2 dx \\&=\pi \left[\frac{x^2}{2} \right]_1^7 \\&=24 \pi.$

Ejemplo B

Deriva una fórmula para el volumen de la esfera con radio $r$ .

Solución:

Una forma para encontrar la fórmula es usar el método del disco. De tus conocimientos de álgebra, un círculo de radio $r$ y con centro en el origen se obtiene por la fórmula

$x^2+y^2=r^2$

Si giramos en torno al eje $x$ -, obtendremos una esfera. Usando el método del disco, obtendremos una fórmula para el volumen. De la ecuación anterior del círculo, calculamos $y$ :

$f(x)=y=\sqrt{r^2-x^2},$

Así

$V &=\int\limits_a^b \pi[f(x)]^2 dx \\&=\int\limits_{-r}^{+r} \pi \left[\sqrt{r^2-x^2} \right]^2 dx \\&=\pi \left[r^2x- \frac{x^3}{3} \right]_{-r}^r \\&=\frac{4}{3} \pi r^3.$

Esta es la fórmula estándar para el volumen de la esfera.

Hasta ahora, hemos mostrado ejemplos en los que el volumen del sólido se determina al integrar el volumen de discos, $\pi [f(x)]^2 dx$ , generado al rotar sobre el eje $x$ -. En ocasiones, el volumen se puede determinar mejor integrando a lo largo del eje $y$ - usando la siguiente fórmula

$V=\int\limits_c^d \pi[f(y)]^2 dy.$

Ejemplo C

¿Cuál es el volumen del sólido generado cuando la región delimitada por $y=\sqrt{x}$ , $y=3$ , y $x=0$ si giramos en torno al eje $y$ -?

Solución:

Ya que el sólido que se genera se gira en torno al eje $y$ - (Figura 12), debemos reescribir $y=\sqrt{x}$ como $x=y^2$ .

Así $u(y)=y^2$ .El volumen es

$V &=\int\limits_c^d \pi[u(y)]^2 dy \\&=\int\limits_0^3 \pi[y^2]^2 dy \\&=\int\limits_0^3 \pi y^4 dx \\&=\pi \left[\frac{y^5}{5} \right]_0^3 \\&=\pi \left[\frac{3^5}{5}-0 \right] \\&=\frac{243 \pi}{5}.$

Análisis del Problema de la Sección

La pregunta era si el método de calcular el volumen de un sólido de revolución usando cortes transversales circulares sería muy diferente del método de corte transversal (rebanar) de la sección anterior. Si respondiste que el método no sería diferente, estabas en lo correcto. El método del disco presentado en esta sección es solo una aplicación del método de rebanar de la sección anterior. La forma de la rebanada es un disco, por lo que usamos la fórmula del área de un círculo para encontrar el volumen del disco.

Vocabulario

Solido de revolución

Volúmenes por el Método de Discos ( giro en torno al eje $x$ -)

$V=\int\limits_a^b \pi[f(x)]^2 dx.$

Ya que las formas de los cortes transversales son circulares o parecen formas de discos, la aplicación de este método se conoce comúnmente como el método de discos .

Práctica Guiada

Una figura sólida se crea al girar la región $R$ en torno al eje $x$ -. $R$ está rodeado por la curva $y=x^2$ y las rectas $x=0$ y $x=2$ . Usa el método del disco para calcular el volumen del sólido.

Solución:

A partir de la figura, podemos identificar los límites de integración: $x$ va desde 0 hasta 4. Así, el volumen de un sólido será

$V$	$=\int\limits_{a}^{b} \pi[f(x)]^2 dx$
	$=\int\limits_{0}^{2} \pi[x^2]^2 dx$
	$=\pi \left[\frac{x^5}{5} \right]_0^2$
$V$	$=\frac{32}{5} \pi$

Práctica

En los problemas #1-4, encuentra el volumen del sólido que se genera al girar la región delimitada por las curvas en torno al eje $x$ -.

1. $y=\sqrt{9-x^2}$ , $y=0$

2. $y=3+x$ , $y=1+x^2$

3. $y=sec \ x$ , $y=\sqrt{2}$ , $\frac{-\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$

4. $y=1$ , $y=x$ , $x=0$

En los problemas #5-9, encuentra el volumen del sólido que se genera al girar la región delimitada por las curvas en torno al eje $y$ -.

5. $y=x^3$ , $x=0$ , $y=1$

6. $x=y^2$ , $y=x-2$

7. $x=\csc \ y$ , $y= \frac{\pi}{4}$ , $y=\frac{3 \pi}{4}$ , $x=0$

8. $y=0$ , $y=\sqrt{x}$ , $x=4$

9. $x=\sqrt{16-y^2}$ , $y=0$ , $x=0$

10. El sólido obtenido al girar en torno al eje $x$ - la región entre el eje $x$ - y $y=x^3$ para $0 \le x \le 2$ .

11. El sólido obtenido al girar en torno al eje $x$ - la región entre el eje $x$ - y $y=\sec \ x$ para $-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$ .

12. El sólido obtenido al girar en torno al eje $x$ - la región entre el eje $x$ - y $y=e^{-x}$ para $0 \le x \le 1$ .

13. Encuentra el volumen del sólido que se genera al rotar la curva $y=3x+2$ en torno al eje $x$ - en el intervalo $0 \le x \le 4$ .

14. Encuentra el volumen de un sólido que se genera al rotar el área entre las curvas $y=0,y=3$ e $y=x$ sobre el eje $y$ -.

15. Encuentra el volumen del sólido que se genera al rotar sobre el eje $x$ - el área entre la curva $y=-2x^2+12x-10$ y el eje $x$ -.

Prev Next

Sólidos de Revolución: Volúmenes por Discos

Objetivos

Concepto

Mira Esto

Orientación

Vocabulario

Práctica Guiada

Práctica

Licencia