Sólidos de Revolución: Volúmenes por Arandelas

Objetivos

En esta sección, aprenderás a calcular el volumen de un sólido mediante el método de arandelas usando integrales definidos.

Concepto

Un sólido de revolución se puede crear al girar el área una única curva en torno a algún eje, y el método del disco (una forma de rebanar) se puede usar para determinar el volumen del sólido. Si el área que está girando en torno al eje se define por el área entre dos curvas (¿recuerdas la sección sobre encontrar el área entre curvas?), ¿podemos continuar usando el método de rebanar para determinar el volumen del sólido? ¿Necesitamos cambiar algo?

Mira Esto

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http://www.youtube.com/watch?v=rbqWHbxmVUI - Volúmen de Revolución - Método Washer sobre el eje x

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http://www.youtube.com/watch?v=8gbphumzbSI - Volúmen de Revolución - Método Washer sobre el eje y

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http://www.youtube.com/watch?v=_FF3CM5MNe8 - Volúmen de Revolución - Método Washer NO aplicado en el eje $x$ o $y$

Orientación

Supón que $f(x)$ y $g(x)$ son funciones no negativas y continuas de manera tal que $f(x) \ge g(x)$ para $a \le x \le b$ . Cuando la región, $R$ , contenida en los dos gráficos y delimitada por $x=a$ y $x=b$ gira en torno al eje $x$ -, generará cortes transversales en forma de arandela en el plano perpendicular al eje $x$ - en cada $x$ , como se muestra en las figuras.

En cada valor de $x$ en el intervalo $[a,b]$ , habrán dos radios: un radio interno $g(x)$ y un radio externo. El área de cada arandela en el plano perpendicular al eje $x$ - es $(\pi[f(x)]^2-\pi[g(x)]^2)$ , y se puede proyectar una distancia $dx$ a lo largo del eje $x$ -para crear una pieza adicional del volumen del sólido. El volumen total del sólido de revolución en el intervalo $[a,b]$ se conoce entonces por:

$V=\int\limits_a^b \pi([f(x)]^2-[g(x)]^2)dx.$

Ejemplo A

Encuentra el volumen generado cuando la región entre los gráficos $f(x)=x^2+1$ y $g(x)=x$ sobre el intervalo [0, 3] gira en torno al eje $x$ -.

Solución:

Ya que el giro es en torno al eje $x$ -, el volumen se determina de la siguiente manera:

$V(x) &=\int\limits_a^b \pi([f(x)]^2-[g(x)]^2)dx \\&=\int\limits_0^3 \pi((x^2+1)^2-(x)^2)dx \\&=\int\limits_0^3 \pi(x^4+x^2+1)dx \\&=\frac{303 \pi}{5}.$

Ejemplo B

Encuentra el volumen del sólido generado al girar la región delimitada por $f(x)=2-x^2$ , $g(x)=\sqrt{1-x^2}$ , $x=-1$ , y $x=1$ en torno al eje $x$ -.

Solución:

Ya que el giro es en torno al eje $x$ -, el volumen se determina de la siguiente manera: $V=\int\limits_{a}^{b}\pi([f(x)]^2-[g(x)]^2)dx.$

$V &=\int\limits_a^b \pi([f(x)]^2-[g(x)]^2)dx. \\&=\int\limits_{-1}^1 \pi \left([2-x^2]^2-[\sqrt{1-x^2}]^2\right)dx. \\&=\pi\int\limits_{-1}^1 ([4-4x^2+x^4]-[1-x^2])dx. \\&=\pi\int\limits_{-1}^1 [x^4-3x^2+3]dx. \\&=\pi\left[\frac{x^5}{5}-x^3+3x \right]_{-1}^1 \\&=\frac{22}{5} \pi$

El volumen del sólido es $\frac{22}{5}\pi$ unidades cúbicas.

¿Qué sucede si la región contenida en las dos curvas $w(y)$ y $v(y)$ genera arandelas en planos perpendiculares al eje $y$ - cuando gira en torno al eje $y$ -? En una construcción análoga en relación con al giro en torno al eje $x$ -, si $w(y)$ y $v(y)$ son funciones no negativas y continuas de manera tal que $w(y) \ge v(y)$ para $c \le y \le d$ , el volumen de este sólido se obtiene por:

$V=\int\limits_c^d \pi([w(y)]^2-[v(y)]^2)dy.$

Ejemplo C

Encuentra el volumen del sólido generado al girar la región delimitada por $f(x)=2-x^2$ , $g(x)=\sqrt{1-x^2}$ , $x=0.25$ , e $y=0$ en torno al eje $y$ -.

Solución:

La siguiente figura muestra el corte transversal en el plano $xy$ - del sólido de revolución generado al girar la región coloreada en el Cuadrante I en torno al eje $y$ -.

Ya que el giro es en torno al eje $y$ -, el volumen se determina por la integral general:

$V=\int\limits_c^d \pi([w(y)]^2-[v(y)]^2)dy.$

El plano de cada arandela con un grosor de $dy$ es perpendicular al eje $y$ -. El intervalo de integración es desde $y=0$ hasta $y=2$ . Sin embargo, al examinar la figura vemos que el intervalo de integración a lo largo del eje $y$ - debe separarse en dos subintervalos para dar cuenta del cambio de la función $v(y)$ como se ve a continuación:

$y$ -subintervalo $1 = [0,1]$ : $w(y)=\sqrt{2-y}$ , el inverso de $f(x)$ , y $v(y)=\sqrt{1-y^2}$ , el inverso de $g(x)$ ; y

$y$ -subintervalo $2 = [1,2]$ : $w(y)=\sqrt{2-y}$ y $v(y)=0.25$ .

Con esto en mente, el volumen se evalúa de la siguiente manera:

$v &=\int\limits_c^d \pi ([w(y)]^2-[v(y)]^2)dy. \\&=\int\limits_0^1 \pi \left([\sqrt{2-y}]^2-[\sqrt{1-y^2}]^2\right)dy+ \int\limits_1^2 \pi \left([\sqrt{2-y}]^2-[0.25]^2\right)dy \\&=\int\limits_0^1 \pi(y^2-y+1)dy+ \int\limits_1^2 \pi\left(-y+ \frac{31}{16} \right)dy \\&=\pi \left[\frac{y^3}{3}- \frac{y^2}{2}+y \right]_0^1+ \pi\left[- \frac{y^2}{2}+ \frac{31}{16}y \right]_1^2 \\&=\pi\left[\frac{5}{6}\right]+ \pi\left[\frac{7}{16} \right] \\V&=\frac{61}{48} \pi$

El volumen del sólido es $\frac{61}{48}\pi$ unidades cúbicas.

Análisis del Problema de la Sección

La pregunta era si podemos continuar usando el método de rebanar para determinar el volumen del sólido que se genera al girar el área entre dos curvas en torno a un eje. ¿Necesitamos cambiar algo? Si respondiste que el método no debe ser muy diferente, estás en lo correcto. El método de las arandelas abordado en esta sección es solo otra aplicación del método de rebanar. Pero, la forma de la rebana es la de un disco con un agujero en el medio. Lo que cambia es que usamos la fórmula para el área de una arandela para encontrar el volumen, en lugar de usar el área de un disco.

Vocabulario

Volúmenes por el Método de las Arandelas se refiere a la técnica para determinar el volumen de un sólido de revolución “hueco” usando una versión modificada del método del disco con una parte central removida.

Práctica Guiada

Encuentra el volumen del sólido que se genera al girar la región delimitada por $y=\sin \frac{x}{2}$ y $y=\cos \frac{x}{2}$ en el intervalo $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ , sobre el eje $x$ -.

Solución:

La siguiente figura muestra la región delimitada en el Cuadrante I que se debe girar sobre el eje $x$ -.

Ya que el giro es en torno al eje $x$ -, el volumen se determina de la siguiente manera:

$V&=\int\limits_a^b \pi([f(x)]^2-[g(x)]^2)dx. \\&=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \pi \left(\left[\cos \frac{x}{2} \right]^2- \left[\sin \frac{x}{2} \right]^2 \right)dx. \\&=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \pi \left(\left[1- \sin^2 \frac{x}{2} \right]- \left[\sin^2 \frac{x}{2} \right] \right)dx. \\&=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \pi \left(1-2 \sin^2 \frac{x}{2} \right)dx. \\&=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \pi \left(\cos x \right)dx. \quad \ldots \text{Use the trig identify} \\&=\pi[\sin x]_0^{\frac{\pi}{2}} \\&=\pi$

El volumen del sólido es $\pi$ unidades cúbicas.

Práctica

En los problemas #1-4, encuentra el volumen del sólido que se genera al girar la región delimitada por las curvas en torno al eje $x$ -.

1. $y=\sqrt{9-x^2}$ , $y=0$

2. $y=3+x$ , $y=1+x^2$

3. $y=\sec \ x, y=\sqrt{2}, \frac{-\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$

4. $y=1$ , $y=x$ , $x=0$

En los problemas #5-8, encuentra el volumen del sólido que se genera al girar la región delimitada por las curvas en torno al eje $y$ -.

5. $y=x^3$ , $x=0$ , $y=1$

6. $x=y^2$ , $y=x-2$

7. $x=\csc \ y$ , $y=\frac{\pi}{4}$ , $y=\frac{3 \pi}{4}$ , $x=0$

8. $y=0$ , $y=\sqrt{x}$ , $x=4$

En los problemas #9-12, usa las capas cilíndricas para encontrar el volumen que se genera cuando la región delimitada por las curvas gira en torno al eje indicado.

9. $y=\frac{1}{x}$ , $y=0$ , $x=1$ , $x=3$ , en torno al eje $y$ -.

10. $y=x^2$ , $x=1$ , $y=0$ , en torno al eje $x$ -.

11. $y=2x-1$ , $y=-2x+3$ , $x=2$ , en torno al eje $y$ -.

12. $y^2=x$ , $y=1$ , $x=0$ , en torno al eje $x$ -.

13. Usa el método de las capas cilíndricas para encontrar el volumen que se genera cuando la región delimitada por $y=x^3$ , $y=1$ , $x=0$ , gira en torno a la recta $y=1$ .

14. Encuentra el volumen del sólido que se genera al girar en torno al eje $x$ - el área entre las curvas $y=-2x^2+ \frac{7}{2}$ e $y=-\frac{1}{2}x^2+2$ .

15. Encuentra el volumen del sólido que se genera al girar en torno a la recta $x=4$ el área entre las curvas $x=2$ , $y=\sqrt{x-1}$ , y el eje $x$ -.

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