Sólidos de Revolución: Volúmenes mediante Capas Cilíndricas

Objetivos

En esta sección, aprenderás a calcular el volumen de un sólido mediante capas cilíndricas usando integrales definidas.

Concepto

Hasta ahora, el método para calcular volúmenes dependía de calcular la sección transversal del sólido y luego integrarla al sólido. ¿Qué sucede cuando la sección transversal no se puede encontrar o la integración es demasiado difícil de resolver? Aquí es cuando aparece el método de capas .

Mira Esto

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http://www.youtube.com/watch?v=pCMkHkprN0I - Volúmen de Revolución - Método Shell sobre el eje $x$

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http://www.youtube.com/watch?v=3B2YQbEzshg - Volúmen de Revolución - Método Shell sobre el eje $y$

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http://www.youtube.com/watch?v=lp3_rmjbxZ8 - Volúmen de Revolución - Método Shell NO aplicado al eje $x$ o $y$

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http://www.youtube.com/watch?v=ZyFaaKhNPXo - Volúmen de Revolución – Comparación del Método Washer y el Método Shell

Orientación

Para explicar cuán difícil puede ser a veces usar los métodos de discos o de las arandelas para calcular volúmenes, considera la región contenida en la función $f(x)=x-x^2$ . Girémosla en torno a la recta $x=-1$ para generar la forma de una rosquilla. ¿Cuál es el volumen de este sólido?

Si deseamos integrar con respecto al eje $y$ -, debemos calcular $x$ en términos de $y$ . No es fácil (inténtalo). Una manera más fácil es integrar con respecto al eje $x$ - usando el método de capas. Aquí se explica cómo: Una capa cilíndrica es un sólido contenido por dos cilindros concéntricos. Si el radio interior es $r_1$ y el radio exterior es $r_2$ ambos con una altura de $h$ , entonces el volumen es como se muestra.

Sin embargo, observa que $(r_2-r_1)$ es el grosor de la capa y $\frac{1}{2} (r_2+r_1)$ es el radio promedio de la capa.

Entonces

$V=2 \pi \cdot [\text{average radius}] \cdot [\text{height}] \cdot [\text{thickness}]$ .

Reemplazando el radio promedio con una variable única $r$ y usando $h$ para la altura, obtenemos $V=2 \pi \cdot r \cdot h \cdot [\text{thickness}]$ .

Generalmente, el grosor de la capa será $dx$ o $dy$ dependiendo del eje de revolución. Esta discusión conlleva a las siguientes fórmulas para la rotación en torno a un eje. Entonces, usaremos esta fórmula para calcular el volumen $V$ del sólido de revolución que se genera al girar la región en torno al eje $x$ -.

Supón que $f$ es una función continua en el intervalo $[a, b]$ y la región $R$ está delimitada por $y=f(x)$ y bajo el eje $x$ -, y a los lados por las rectas $x=a$ y $x=b$ . Si $R$ gira en torno al eje $y$ -, entonces los cilindros son verticales, con $r=x$ y $h=f(x)$ . El volumen del sólido se obtiene de $V=\int\limits_a^b 2 \pi r h dx=\int\limits_b^a 2 \pi x f (x) dx.$

Ejemplo A

Usa el método de las capas cilíndricas para encontrar el volumen del sólido que se forma al girar la región en el Cuadrante I delimitada por $f(x)=x-x^2$ y $y=0$ en torno a $x=-1$ .

Solución:

Usando la fórmula de volumen presentada anteriormente, el volumen del sólido de revolución se determina como:

$V &= \int\limits_a^b 2 \pi r h dx=\int\limits_b^a 2 \pi r f(x) dx \\&= \int\limits_0^1 2 \pi (x+1) (x-x^2)dx \\&= 2 \pi \int\limits_0^1 (-x^3+x)dx \\&= 2 \pi \left[-\frac{x^4}{4}+\frac{x^2}{2} \right]^1_0 \\&= \frac{\pi}{2}$

El volumen del sólido es por lo tanto $\frac{\pi}{2}$ unidades cúbicas.

Ejemplo B

Usa el método de las capas cilíndricas para encontrar el volumen generado al girar la región delimitada por $x=1$ , el eje $x$ - , e $y=\frac{6}{x}-1$ en torno al eje $y$ -.

Solución:

Usando la fórmula del volumen presentada anteriormente, el volumen del sólido de revolución se determina como:

$V &= \int\limits^b_a 2 \pi r h dx=\int\limits^a_b 2 \pi r f(x)dx \\&= \int\limits^6_1 2 \pi (x) \left(\frac{6}{x}-1 \right) dx \\&= 2 \pi \int^6_1 (6-x)dx \\&= 2 \pi \left[6x-\frac{x^2}{2} \right]^6_1 \\&= 25 \pi$

El volumen del sólido es por lo tanto $\frac{\pi}{2}$ unidades cúbicas.

Los ejemplos anteriores presentaban sólidos generados al girar alguna región en torno al eje $y$ -, o algún otro eje vertical. De la misma forma, si el volumen se genera al girar la misma región en torno al eje $x$ -, entonces los cilindros son horizontales a

$V=\int\limits^d_c 2 \pi r h dy,$

donde $c=f^{-1} (a)$ y $d=f^{-1}(b)$ . Los valores de $r$ y $h$ se determinan a partir del contexto del problema.

Ejemplo C

Al rotar la región $R$ (Figura 15) en torno al eje $x$ -, se crea una figura sólida. $R$ está delimitado por la curva $y=x^2$ y las rectas $x=0$ y $x=2$ . Usa el método de capas para calcular el volumen del sólido.

Solución:

Ya que el volumen se genera al girar en torno al eje $x$ -, el volumen se da por:

$V=\int\limits^d_c 2 \pi r h dy,$

A partir de la figura, podemos identificar los límites de integración: $y$ va desde 0 hasta 4. Una línea horizontal de esta región generaría un cilindro con una altura de $2- \sqrt{y}$ y radio $y$ .

Así, el volumen del sólido será

$V &= \int\limits^d_c 2 \pi r h dy \\&= \int\limits^4_0 2 \pi y (2- \sqrt{y})dy \\&= 2 \pi \int^4_0 \left(2y-y^{\frac{3}{2}} \right) dy \\&= 2 \pi \left[y^2-\frac{2}{5}y^{\frac{5}{2}} \right]^4_0 \\&= \frac{32 \pi}{5}.$

Nota: Los lectores atentos habrán notado que este ejemplo se puede trabajar con un integral más simple usando discos.

Análisis del Problema de la Sección

Cuando se usan los métodos del disco o de las arandelas y la sección transversal de un sólido de revolución no se puede encontrar (o la integración es muy difícil de resolver), el método de la capa cilíndrica es a menudo una alternativa. Recuerda que las líneas cilíndricas serán paralelas al eje de rotación y la integración a lo largo del eje perpendicular al eje de rotación

Vocabulario

Volumen mediante Capas Cilíndricas se refiere al método para determinar el volumen de un sólido de revolución al sumar (integrar) los volúmenes de capas cilíndricas con un eje común a lo largo del eje de revolución ( $x$ o $y$ ).

Práctica Guiada

Encuentra el volumen del sólido que se genera al girar la región delimitada por $y=x^3+ \frac{1}{2}x+ \frac{1}{4}$ , $y=\frac{1}{4}$ y $x=1$ en torno a $x=3$ .

Solución:

Como puedes ver, la ecuación $y=x^3+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}$ no se puede calcular fácilmente $x$ y por lo tanto será necesario resolver el problema por el método de capas. Estamos girando la región en torno a una recta paralela al eje $y$ -y así integrar con respecto a $x$ . Nuestra fórmula es

$V=\int\limits^b_a 2 \pi r h dx.$ .

En este caso, el radio es $3-x$ y la altura es $y-\frac{1}{4}$ . Sustituyendo,

$V &= 2 \pi \int\limits^1_0 (3-x) \left(x^3+ \frac{1}{2}x+ \frac{1}{4}- \frac{1}{4} \right) dx \\&= 2 \pi \int\limits^1_0 \left(-x^4+3x^3- \frac{1}{2}x^2+ \frac{3}{2}x \right)dx \\&= 2 \pi \left[\frac{-1}{5}x^5+\frac{3}{4}x^4- \frac{1}{6}x^3+ \frac{3}{4}x^2 \right]^1_0 \\&= 2 \pi \left[\frac{-1}{5}+ \frac{3}{4}- \frac{1}{6}+ \frac{3}{4} \right] \\&= 2 \pi \left[\frac{17}{15} \right] \\&= \frac{34 \pi}{15}.$

Práctica

En los problemas #1-10, usa las capas cilíndricas para encontrar el volumen generado cuando la región delimitada por las curvas gira en torno al eje indicado.

1. $y=x$ , $y=0$ , $x=2$ , en torno al eje $y$ -

2. $y=x$ , $y=- \frac{x}{2}$ , $x=2$ , en torno al eje $y$ -

3. $y=\sqrt{x}$ , $y=\sqrt{3}$ , en torno al eje $y$ -

4. $y=x$ , $y=0$ , $x=2$ , en torno al eje $x$ -

5. $y=\sqrt{x}$ , $y=\sqrt{3}$ , en torno al eje $x$ -

6. $y=\frac{1}{x}$ , $y=0$ , $x=1$ , $x=3$ , en torno al eje $y$ -

7. $y=2x-1$ , $y=-2x+3$ , $x=2$ , en torno al eje $y$ -

8. $y=- \frac{4}{9}(x^2-10x+16)$ , $y=0$ , en torno al eje $y$ -

9. $y=x^2$ , $x=1$ , $y=0$ , en torno al eje $x$ -

10. $y^2=x$ , $y=1$ , $x=0$ , en torno al eje $x$ -.

11. Usa el método de las capas cilíndricas para encontrar el volumen generado cuando la región está delimitada por $y=x^3$ , $y=1$ , $x=0$ o gira en torno a la recta $y=1$ .

12. Encuentra el volumen del sólido generado al rotar la curva $y=3x+2$ en torno al eje $x$ - en el intervalo $0 \le x \le 4$ usando el método de capas cilíndricas.

13. Encuentra el volumen del sólido generado al rotar en torno a la recta $x=4$ el área entre las curvas $x=2$ , $y=\sqrt{x-1}$ y el eje $x$ -, usando el método de las capas cilíndricas.

14. Encuentra el volumen del sólido generado al rotar en torno a la recta $x=-2$ , la región delimitada por las curvas $y=4$ y $y=-x^2+4x-1$ , usando el método de las capas cilíndricas.

15. Haz, pero no resuelvas, un integral para encontrar el volumen del sólido que se genera al girar en torno a la recta $x=\pi$ el área delimitada por las curvas $x=\pi$ , $x=\frac{\pi}{2}$ e $y=\sin(x)$ , usando el método de las capas cilíndricas.

16. Encuentra el volumen del sólido que se genera al gira en torno a la recta $y=1$ el área delimitada por las curvas $y=13-x^2$ e $y=x^2-8x+19$ usando el método de las capas cilíndricas.

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