La Longitud de una Curva Plana

Objetivos

En esta sección, aprenderás a encontrar la longitud de una curva plana de una función dada.

Concepto

En la geometría plana, la longitud de un segmento de una recta se puede calcular usando el Teorema de Pitágoras mediante la fórmula de la distancia. ¿Se te ocurre una forma de usar la fórmula de la distancia para determinar la longitud de una curva de función sobre algún intervalo? ¿Aplica el concepto del límite? Detente un momento para responder antes de continuar con esta sección.

Mira Esto

La derivación de la fórmula para encontrar la longitud de una curva usado segmentos de línea para aproximar la curva se pueden encontrar en Wikipedia Entry on Arc Length .

La siguiente applet se puede usar para ver cómo el cambiar el número de segmentos se relaciona con aproximar la longitud de arco: Arc Length Applet .

Para videos que muestran cómo obtener la longitud de arco usando curvas paramétricas

Haz click en la imagen anterior para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo está disponible en inglés

http://www.youtube.com/watch?v=5fP443JvTUg - Just Math Tutoring, Longitud de Arco usando Curvas Paramétricas, Ejemplo 1 (8:17)

Haz click en la imagen anterior para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo está disponible en inglés

http://www.youtube.com/watch?v=KuSQp3xg1I0 - Just Math Tutoring, Longitud de Arco usando Curvas Paramétricas, Ejemplo 2 (7:27).

Orientación

En esta sección se abarcará el problema de encontrar la longitud de una curva plana. Las fórmulas para encontrar los arcos de los círculos aparecen en registros históricos antiguos y muchas civilizaciones los conocieron. Sin embargo, poco se sabe acerca de encontrar las longitudes de curvas en general, como la longitud de la curva $y=x^{\frac{3}{2}}$ en el intervalo [1, 3] hasta el descubrimiento del cálculo en el siglo XVII.

En cálculo, definimos una longitud de arco como la longitud una curva plana suave $y=f(x)$ sobre un intervalo $[a,b]$ . By smooth plane curve we mean.

Definición: Función Suave (o curva suave)

Si $y=f(x)$ tiene una primera derivada continua, $f^\prime$ , en $[a,b]$ , entonces se dice que $f$ es una función suave (o curva suave) en $[a,b]$ .

A continuación, se muestra un ejemplo de una curva suave $y=f(x)$ en $[a,b]$ .

La definición de la longitud de arco es entonces:

Definición: Longitud de Arco

Si $y=f(x)$ es una curva suave en el intervalo $[a,b]$ entonces la longitud de arco $L$ de esta curva se define como

$L=\int\limits_a^b\sqrt{1+[f^\prime (x)]^2}dx=\int\limits_a^b\sqrt{1+ \left(\frac{dy}{dx} \right)^2}dx.$

De forma similar,

Si $x=f(y)$ es una curva suave en el intervalo $[c,d]$ entonces la longitud de arco $L$ de esta curva se define como

$L=\int\limits_c^d\sqrt{1+[f^\prime (y)]^2}dy=\int\limits_c^d\sqrt{1+ \left(\frac{dx}{dy} \right)^2}dy.$

Las definiciones anteriores se dan a partir de reconocer de que la función de la curva suave se puede aproximar sobre el intervalo $[a,b]$ por un gran número de segmentos de líneas rectas (por Ej., observa la muestra del segmento de línea a continuación, $L_k$ ) cuya longitud se puede calcular usando la fórmula de la distancia (teorema de Pitágoras); entonces estos segmentos se pueden sumar para proporcionar una estimación de la longitud de la curva. Mientras más segmentos de línea, mejor será la estimación.

La suma de los segmentos de línea, $L_k$ es una suma de Riemann de longitudes, dadas por.

$L &\approx \sum_{k=1}^n L_k \\&\approx \sum_{k=1}^n \triangle x \sqrt{1+\left[ \frac{f(x_k+\triangle x)-f(x_k)}{\triangle x} \right]^2} \quad \ldots \text{ Riemann Sums where }\triangle x=\frac{b-a}{n} \\L&=\lim_{n \to \infty}\left[\sum_{k=1}^n \left(\sqrt{1+ \left[\frac{f(x_k+ \triangle x)-f(x_k)}{\triangle x} \right]^2}\triangle x \right) \right] \\&=\int\limits_a^b\sqrt{1+[f^\prime (x)]^2}dx \\L&=\int\limits_a^b\sqrt{1+ \left[\frac{dy}{dx} \right]^2}dx$

Ejemplo A

Encuentra la longitud de arco de la curva $y=x^{\frac{3}{2}}$ en [1, 3] usando la suma de Riemann con $n=4$ .

Solución:

El intervalo [1, 3] se puede dividir en $n$ subintervalos de ancho $\triangle x=\frac{b-a}{n}=\frac{2}{n}$ . Si tomamos los puntos de término correctos, los valores de la función se pueden expresar como $f(x_i)=\left(i \frac{2}{n} \right)^{\frac{3}{2}}$ con $i=0$ a $n$ .

$L \approx \sum_{i=1}^n L_i=\sum_{k=1}^n\left[\sqrt{\triangle x_i^2+ \triangle y_i^2}\right]=\sum_{i=1}^n \sqrt{\left(\frac{2}{n} \right)^2+\left(\left[1+i \frac{2}{n} \right]^{\frac{3}{2}}-\left[1+(i-1) \frac{2}{n} \right]^{\frac{3}{2}} \right)^2}$

La siguiente tabla muestra la longitud de arco estimada para $n=4$ .

$i$	$\triangle x_i$	$\triangle y_i$	$L_i=\sqrt{\triangle x_i^2+ \triangle y_i^2}$
1	0.5	0.8371	0.9751
2	0.5	0.9913	1.1103
3	0.5	1.1244	1.2306
4	0.5	1.2433	1.3401
			$L \approx \sum_{i=1}^{n=4} L_i=4.6561$

Ahora, veamos el integral definido de la longitud de arco.

Ejemplo B

Encuentra la longitud de arco de la curva $y=x^{\frac{3}{2}}$ en [1, 3].

Solución:

Ya que $y=x^{\frac{3}{2}}$ , $\frac{dy}{dx}=\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$ .

Usando la forma de la integral definida de la fórmula de la longitud del arco, obtenemos:

$L&=\int\limits_a^b\sqrt{1+[f^\prime (x)]^2}dx \\&=\int\limits_1^3\sqrt{1+\left[\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} \right]^2}dx \\&=\int\limits_1^3\sqrt{1+ \frac{9}{4}x} \ dx \quad \ldots \text{Uses change of variables (u-substitution) as follows:}\\&=\int\limits_{\frac{13}{4}}^{\frac{31}{4}} \frac{4}{9} \sqrt{u} \ du \qquad \ u=1+ \frac{9}{4} x \text{ and } du=\frac{9}{4}dx, \text{ and change the integration limits}. \\&=\frac{4}{9}\left[\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} \right]_{\frac{13}{4}}^{\frac{31}{4}} \\&\approx 4.66$

La longitud del arco de $y=x^{\frac{3}{2}}$ en el intervalo [1, 3] es $\approx 4.66$ .

¿Cómo se puede determinar la longitud del arco si la integración se hizo en el eje $y$ - en lugar del eje $x$ -. obtendríamos el mismo valor de la longitud del arco?

Ejemplo C

Encuentra la longitud de arco de la curva $y=x^{\frac{3}{2}}$ en [1, 3], pero usando la integración a lo largo del eje $y$ -.

Solución:

Ya que $y=x^{\frac{3}{2}}$ , calculando $x$ obtenemos la relación inversa $x=f(y)=y^{\frac{2}{3}}$ , y $\frac{dx}{dy}=\frac{2}{3} y^{\frac{-1}{3}}$ .

Usando la fórmula de la longitud del arco $L=\int\limits_c^d \sqrt{1+[f^\prime (y)]^2} dy=\int\limits_c^d \sqrt{1+ \left(\frac{dx}{dy} \right)^2}dy$ anterior, obtenemos:

$L&=\int\limits_c^d \sqrt{1+[f^\prime(y)]^2} dy \\&=\int\limits_1^{3\sqrt{3}}\sqrt{1+\left[\frac{2}{3}y^{\frac{-1}{3}} \right]^2} dy && \ldots \text{Where} \ c \ \text{and} \ d \ \text{are determined from} \ x=1 \ \text{and} \ x=3 \\&=\int\limits_1^{3\sqrt{3}}\sqrt{1+ \frac{4}{9} y^{\frac{-2}{3}}}dy && \qquad \text{respectively:} \ c=(1)^{\frac{2}{3}}=1 \ \text{and} \ d=(3)^{\frac{3}{2}}=3\sqrt{3}. \\L&=4.66 && \ldots \text{The integral has been evaluated numerically using a calculator}.$

Esta es el mismo resultado de longitud de arco del ejemplo A.

Análisis del Problema de la Sección

Si dijiste que la fórmula de la distancia se puede usar para determinar la longitud de una curva de función sobre algún intervalo, estabas en lo correcto. Si cualquiera curva de función se divide en los suficientes segmentos de línea recta sobre el intervalo, la suma de las longitudes de los segmentos se aproxima a la longitud de la curva de función. En el límite, la suma llega al valor real de la longitud de la curva y la suma se representa por una integral definida.

Vocabulario

Una Curva suave (o función suave ) sobre un intervalo es una función que tiene una primea derivada continua sobre el intervalo.

Longitud de Arco , en cálculo, es la función de una curva plana sobre un intervalo.

Práctica Guiada

¿Tienen las funciones $f(x)=\sin \ x$ y $g(x)=\sin^2 x$ la misma longitud de arco en el intervalo $[0, \ 2 \pi]$ ?

Solución:

Para responder las preguntas, se requiere evaluar las longitudes de arco de ambas funciones sobre el intervalo. La evaluación es la siguiente:

Función	$f(x)=\sin \ x$	$g(x)=\sin^2 x$
Derivada	$f^\prime (x)=\cos \ x$	$g'(x)=2 \sin \ x \cos \ x$
Longitud de Arco	$L=\int\limits_0^{2 \pi} \sqrt{1+[\cos \ x]^2}dx$	$L=\int\limits_0^{2 \pi} \sqrt{1+[2 \sin \ x \cos \ x]^2}dx$
$\int\limits_a^b \sqrt{1+[f^\prime (x)]^2}dx$	$=\int\limits_o^{2 \pi} \sqrt{1+ \frac{1+ \cos 2 x}{2}}dx$	$=\int\limits_0^{2 \pi}\sqrt{1+[\sin \ 2x]^2}dx$
Valor de Longitud de Arco	$L=7.64$	$L=7.64$

En ambos casos, la integral se evalúa numéricamente usando una calculadora. Ambos resultados se encuentran en los mismos dos lugares decimales.

Práctica

1. ¿Son todos los polinomios funciones suaves?

2. Sea $f(x)$ igual a $x$ para todo $x > 0$ , e igual a cero en caso contrario. ¿Es esta una función suave?

3. ¿Son también funciones suaves todas las combinaciones lineales de funciones suaves?

4. ¿Es la función $f(x)=x^2 \tan(x)$ suave?

5. Encuentra la longitud de arco de la curva $y=\frac{(x^2+2)^{\frac{3}{2}}}{3}$ en [0, 3].

6. Encuentra la longitud de arco de la curva $x=\frac{1}{6} y^3+ \frac{1}{2y}$ en $y \in [1, \ 2]$ .

7. Integra $x=\int\limits_0^y \sqrt{\sec^4 t-1dt},- \frac{\pi}{4} \le y \le \frac{\pi}{4}$ .

8. Encuentra la longitud de la curva que se muestra en la siguiente figura. La forma del gráfico se llama astro porque parece una estrella. La ecuación de su gráfico es $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=1$ .

9. La siguiente figura muestra un puente colgante. El cable tiene la forma de una parábola con la ecuación $x^2=y$ . El puente tiene una longitud total de $2S$ y la altura del cable es $h$ en cada extremo. Demuestra que la longitud total del cable es $L=2 \int\limits_0^s \sqrt{1+\frac{4h^2}{S^4}x^2} dx$ .

10. Usa la fórmula de la longitud de arco para verificar que la longitud de la curva $x=c$ , donde $c$ es una constante, es 1 entre los puntos $x=0$ y $x=1$ .

11. Establece, pero no evalúa, la integral usada para evaluar la longitud de $\ln(x^2+ \sin(x))$ entre [15, 25].

12. ¿Cuál es la longitud de $- \ln(\cos(x))$ entre $[1, \ \pi]$ ?

13. ¿Cuál es la longitud de $\frac{2}{3}(x-1)^{\frac{3}{2}}$ entre [0, 5] ?

14. Establece, pero no evalúa, la integral usada para evaluar la longitud de $2x^3+4x^2-x-1$ entre [1, 3].

15. Establece, pero no evalúa, la integral usada para evaluar la longitud de $x=y+y^3$ entre [1, 4].

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