Área de una Superficie de Revolución

Objetivos

En esta sección, aprenderás a encontrar el área de una superficie que se genera al girar una curva en torno a un eje o a una recta.

Concepto

En secciones anteriores se abordaron métodos para determinar el volumen de un sólido de revolución, usando secciones transversales (rebanadas, discos, arandelas). Tiene relación con el volumen la superficie de área que se genera por la longitud de curva de función a medida que gira en torno al eje de revolución. Sabemos cómo calcular la diferencial y la longitud total del arco de una curva de función. ¿Cómo formulamos la rotación de esta longitud en torno al eje de rotación para determinar el área de una superficie de revolución?

Mira Esto

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http://www.youtube.com/watch?v=4XLq-BWK5NY - Video Tutoriales de Matemáticas por James Sousa, Área de una Superficie de Revolución, Parte 1 (9:47)

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http://www.youtube.com/watch?v=u-kEdDCno44 - Video Tutoriales de Matemáticas por James Sousa, Área de una Superficie de Revolución, Parte 2 (5:43).

Orientación

¿Cómo encontramos el área de una superficie que se genera al girar una curva en torno a un eje o a una recta? Por ejemplo, un cilindro circular se puede generar al girar un segmento de recta en torno a cualquier eje que esté paralelo a este.

El área de superficie, $S$ , de ese giro se puede determinar fácilmente al ser $S=2 \pi r h$ , donde $r$ es el radio de revolución, y $h$ es la longitud (altura) de la recta que está girando.

La siguiente definición y fórmula del área de una superficie de revolución se basa en girar una longitud de arco diferencial en torno a un eje e integrar sobre la longitud de la revolución.

Definición: Área de una Superficie de Revolución

Si $f(x)$ es una función suave y no negativa en el intervalo $[a,b]$ , entonces el área de la superficie $S$ generada al girar la curva $y=f(x)$ en torno al eje $x$ - se define por

$S=\int\limits^b_a 2 \pi f(x) \sqrt{1+[f^\prime (x)]^2} dx=\int\limits^b_a 2 \pi f (x) \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx.$

De forma similar: Si $g(y)$ es una función suave y no negativa en el intervalo $[c,d]$ , entonces el área de superficie $S$ que se genera al girar la curva $x=g(y)$ en torno al eje $y$ - se define por

$S=\int\limits^d_c 2 \pi g(y) \sqrt{1+[g^\prime (y)]^2} dy=\int\limits^d_c 2 \pi g(y) \sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^2}dy.$

Nota: En cada integrando los términos $\sqrt{1+[f^\prime (x)]^2} dx$ y $\sqrt{1+[g^\prime (y)]^2} dy$ representan longitud de arco diferencial a lo largo de $f(x)$ y $g(y)$ presentado en una sección anterior.

Ejemplo A

Demuestra que la fórmula $S=4 \pi r^2$ para el área de superficie de una esfera de radio $r$ , se puede derivar al rotar un semicírculo en torno al eje $x$ -.

Solución:

La ecuación de un semicírculo en el Cuadrante I y II se da por $f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$ . Ya que esta función es simétrica en torno al eje $y$ -, considera rotar solo la porción del Cuadrante I del semicírculo en torno al eje $x$ - para generar una media esfera, entonces multiplica el resultado del área por dos.

$S &= \int\limits^b_a 2 \pi f (x) \sqrt{1+[f^\prime (x)]^2} dx\\&= 2 \int\limits^r_0 2 \pi \sqrt{r^2-x^2} \sqrt{1+\left[\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}}\right]^2}dx\\&= 4 \pi \int\limits^r_0 \sqrt{r^2-x^2+x^2} dx\\&= 4 \pi r [x]^r_0\\&= 4 \pi r^2$

Ejemplo B

Encuentra el área de superficie que se genera al girar $y=x^3$ en [0, 2] en torno al eje $x$ -.

Solución:

El área de superficie $S$ es

$S &= \int\limits^b_a 2 \pi y \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx\\&= \int\limits^2_0 2 \pi x^3 \sqrt{1+(3x^2)^2}dx\\&= 2 \pi \int\limits^2_0 x^3 (1+9x^4)^{\frac{1}{2}}dx.$

Usando sustitución $u$ - al ser $u=1+9x^4$ (y $du=36x^3 dx$ )

$S &= 2 \pi \int\limits^{145}_1 u^{\frac{1}{2}} \frac{du}{36}\\&= \frac{2 \pi}{36} \left[\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}\right]^{145}_1\\&= \frac{2 \pi}{36} \cdot \frac{2}{3} [(145)^{\frac{3}{2}}-1]\\& \approx \frac{4 \pi}{108} [1745]\\& \approx 203$

Ejemplo C

Encuentra el área de superficie que se genera al girar el gráfico de $f(x)=x^2$ en el intervalo $[0, \sqrt{3}]$ en torno al eje $y$ -.

Solución:

Ya que la curva gira en torno al eje $y$ -, aplicamos

$S=\int\limits^d_c 2 \pi x \sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^2}dy$ .

Entonces escribimos $y=x^2$ como $x=\sqrt{y}$ .

Además, el intervalo en el eje $x$ - $[0, \sqrt{3}]$ Se vuelve [0, 3]. Así

$S=\int\limits^3_0 2 \pi \sqrt{y} \sqrt{1+\left(\frac{1}{2\sqrt{y}}\right)^2}dy.$

$S=\pi \int\limits^3_0 \sqrt{4 y+1}dy$ .

Con la ayuda de la sustitución $u$ -, sea $u=4y+1$ ,

$S &= \frac{\pi}{4} \int\limits^{13}_1 u^{\frac{1}{2}}du\\&= \frac{\pi}{6} [(13)^{\frac{3}{2}}-1]\\&= \frac{\pi}{6} [46.88-1]\\& \approx 24$

Análisis del Problema de la Sección

¿Cómo formulamos la rotación de la longitud de la curva de función en torno al eje de rotación para determinar el área de una superficie de revolución? Esta sección presentó la fórmula como la integral del segmento del área circular $2 \pi r \cdot d s$ a lo largo del eje de coordenadas apropiado.

Vocabulario

Área de una superficie de revolución es el área que crea una superficie en el espacio Euclídeo creado al girar una curva en torno a una línea recta en su plano.

Longitud de arco diferencial es la longitud de arco incremental en un punto a lo largo de una curva de función $f(x)$ (o $g(y)$ ) dado por $\sqrt{1+[f^\prime (x)]^2}dx$ (o $\sqrt{1+[g^\prime (y)]^2}dy$ ).

Práctica Guiada

Encuentra el área de superficie que se genera al girar la función $f(x)=e^{0.1x}$ en torno al eje $x$ - sobre el intervalo [0, 4].

Solución:

Ya que la revolución es en torno al eje $x$ -, la fórmula para el área de superficie que se usa es $S=\int\limits^b_a 2 \pi f(x) \sqrt{1+[f^\prime (x)]^2}dx$ .

Con $f^\prime (x)=0.1 e^{0.1x}$ , el área de superficie se calcula de la siguiente manera:

$S &= \int\limits^b_a 2 \pi f(x) \sqrt{1+[f^\prime (x)]^2}dx\\&= \int\limits^4_0 2 \pi e^{0.1x} \sqrt{1+[0.1e^{0.1x}]^2}dx\\&= 2 \pi \int\limits^4_0 e^{0.1x} \sqrt{1+[0.1e^{0.1x}]^2}dx\\&= 31.14 && \ldots \text{Numberically evaluated using calculator.}$

TEl área de la superficie de revolución es 31,14 unidades cuadradas.

Práctica

En los problemas #1-3 encuentra el área de superficie que se genera al girar la curva en torno al eje $x$ -.

1. $y=3x, 0 \le x \le 1$

2. $y=\sqrt{x}, 1 \le x \le 9$

3. $y=\sqrt{4-x^2,}-1 \le x \le 1$

En los problemas #4-6 encuentra el área de superficie que se genera al girar la curva en torno al eje $y$ -.

4. $x=7y+2, 0 \le y \le 3$

5. $x=y^3, 0 \le y \le 8$

6. $x=\sqrt{9-y^2}, -2 \le y \le 2$

7. Demuestra que el área de superficie de una esfera de radio $r$ es $4 \pi r^2$ .

8. Demuestra que el área lateral $S$ de un cono circular recto de altura $h$ y radio de base $r$ es $S=\pi r \sqrt{r^2+h^2}$ .

9. Encuentra el área de superficie que se genera al rotar la recta $y=x$ en torno al eje $x$ - en el intervalo $0 < x < 5$ .

10. Establece, pero no resuelvas, un integral para calcular el área de superficie que se crea al girar $y=\cos x, \frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ en torno al eje $x$ -.

11. Encuentra el área de superficie que se genera al rotar la curva $y=\sqrt{1-x^2}, 0 < x < 0.5$ en torno al eje $x$ -.

12. Encuentra el área de superficie que se genera al rotar la curva $y=\sqrt{x}, 1 < x < 4$ , en torno al eje $x$ -.

13. Encuentra el área de superficie que se genera al rotar la recta $y=x$ en torno al eje $y$ - en el intervalo $0 < x < 5$ .

14. Establece, pero no resuelvas, un integral para calcular el área de superficie que se crea al girar $y=\cos x, \frac{\pi}{4}, < x < \frac{\pi}{2}$ en torno al eje $y$ -.

15. Encuentra el área de superficie que se genera al girar la curva $y=\sqrt{1-x^2}, 0 < x < 0.5$ , en torno al eje $y$ -.

16. Establece, pero no resuelvas, dos integrales para calcular el área de superficie que se genera al rotar la curva $y=\sqrt{x}, 1 < x < 4$ , en torno al eje $y$ -. Una debe estar en términos de $x$ , la otra en términos de $y$ .

17. Encuentra el área de superficie que se genera al girar la curva $y=x^2, 1 < x < 3$ , en torno al eje $y$ -.

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