Aplicaciones: Trabajo y Fuerza

Objetivos

En esta sección, aprenderás a aplicar integrales definidas en trabajos de trabajo y fuerza.

Concepto

En física, trabajo se define como una fuerza que actúa a través de una distancia (o desplazamiento), y se calcula como el producto de la fuerza componente y la distancia. La fuerza puede ser constante a través de la distancia o variar a lo largo de esta. ¿Cómo expresarías el trabajo total hecho por una fuerza $F(x)$ que actúa desde la posición $x = a$ hasta la posición $x = b$ ?

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Orientación

En física, el trabajo se define como el producto de una fuerza y el desplazamiento. La fuerza y el desplazamiento son cantidades vectoriales y por lo tanto, tienen dirección y magnitud. El trabajo se calcula usando los componentes de fuerza y desplazamiento que están en la misma dirección. El producto de estos dos componentes de cantidades vectoriales entrega el trabajo realizado por la fuerza en la dirección que se desplaza. En términos matemáticos, decimos

$W = Fd,$

donde $F$ es la fuerza y $d$ es el desplazamiento, ambos en la misma dirección. Si la fuerza se mide en Newtons y la distancia en metros, entonces el trabajo se mide en unidades de energía que son los joules (J).

Ejemplo A

Empujas un carrito vacío de dulces con una fuerza de 44 N por una distancia de 12 metros. ¿Cuánto trabajo realizas (la fuerza)?

Solución:

Asumiendo que toda la fuerza es en la dirección del movimiento, podemos usar la fórmula anterior,

$W &= Fd \\&= (44)(12) \\&= 528 \ J$

El trabajo realizado es de 528 $J$ .

Ejemplo B

Un bibliotecario desplaza un libro desde un estante alto hasta uno más bajo. Si la distancia vertical entre ambos estantes es de 0,5 metros, y el peso del libro es de 5 Newtons, ¿cuánto trabajo realiza el bibliotecario?

Solución:

Para levantar el libro y moverlo a su nueva posición, el bibliotecario debe ejercer una fuerza que sea por lo menos igual al peso del libro. Además, ya que el desplazamiento es una cantidad vectorial, entonces se debe tomar en cuenta la dirección. Entonces, $d = - 0.5 \ meters.$

Así

$W &= Fd \\&= (5)(-0.5) \\W &= Fd \\&= -2.5 \ J$

Aquí decimos que el trabajo es negativo porque hay una perdida de energía potencial gravitatoria en lugar de una ganancia de energía. Si el libro se lleva a un estante más alto, entonces el trabajo es positivo, ya que habrá una ganancia en cuanto a la energía potencial gravitatoria.

En general, si una fuerza $F$ es una función de posición en una dirección dada, el trabajo realizado por la fuerza en la dirección desde la posición $a$ hasta la posición $b$ se puede expresar de la siguiente manera:

$W = \int \limits_a^b F(x)dx.$

Ejemplo C

Se requiere una fuerza de 10 Newtons para estirar un resorte de 20 cm. a una longitud de 26 cm. Encuentra el trabajo realizado para estirar el resorte desde una longitud de 24 cm. a una de 28 cm.

Solución:

La Ley de Hooke establece que cuando se estira un resorte $x$ unidades más allá de su longitud natural, tira hacia sí con una fuerza $F(x) = kx$ , donde $k$ es la constante del resorte o la constante de rigidez. El trabajo que se requiere para estirar el resorte una longitud $x$ es $W = \int \limits_a^b F (x)dx$ , donde $a$ es el desplazamiento inicial del resorte ( $a = 0$ si el resorte no está estirado inicialmente) y $b$ es el desplazamiento final.

El problema requiere que primero determinemos $k$ , la constante del resorte:

$F(x) &= kx \\10 &= k(6) \\k &= \frac{5}{3} \ N/m$

Ahora se puede calcular el trabajo para desplazar el resorte desde 24 cm. hasta 28 cm:

$W &= \int \limits_a^b F (x)dx \\&= \int \limits_{24}^{28} \frac{5}{3}x dx \\&= \frac{5}{3} \left[\frac{x^2}{2}\right]_{24}^{28} \\&= \frac{5}{3}\left[\frac{784}{2} - \frac{576}{2}\right] \\W &= 173.3 \ J$

El trabajo que se requiere es de 173,3 J.

Análisis del Problema de la Sección

¿Cómo expresarías el trabajo total realizado por una fuerza $F(x)$ que actúa desde la posición $x = a$ hasta la posición $x = b$ ? Basado en la definición de trabajo y en el conocimiento del significado de la integral definida, el trabajo se puede expresar como

$W = \int \limits_a^b F(x)dx$

Nota: La Fuerza en Newtons (N), sobre una distancia en metros (m) resulta en el trabajo en joules (J);

El trabajo en libras (lb.), sobre una distancia en pies (ft) resulta en el trabajo en ft-lb.

Vocabulario

Una fuerza un “empujón” o “jalón” sobre un objeto que está en una dirección específica y tiene una magnitud específica.

Desplazamiento es una medida del cambio de posición de un objeto

Trabajo es una medida de fuerza que actúa a través de un cambio en la distancia o desplazamiento.

Ley de Hooke describe la cantidad de fuerza ejercida por un resorte cuando se estira (desplazado) en una distancia específica más allá de su longitud natural.

Práctica Guiada

Un balde tiene un peso vacío de 23 N. Se llena con arena de 80 N de peso y se ata a una cuerda de 5,1 N/m de peso. Luego se levanta desde el suelo a un ritmo constante hasta una altura de 32 metros sobre el suelo. Mientras está elevado, bota granos de arena a un ritmo constante y cuando llega al punto más alto, no queda arena en el balde. Encuentra el trabajo realizado:

al subir el balde vacío;
al subir solo la arena;
al subir solo la cuerda;
al subir el balde, la arena y la cuerda juntos.

Solución:

1. El balde vacío . Ya que el peso del balde es constante, el trabajador debe ejercer una fuerza que sea igual al peso del balde vacío. Así

$W_1 &=Fd \\&= (23)(+32) \\W_1 &= 736 \ J$

2. Solo la arena . El peso de la arena disminuye a un ritmo constante desde 80 N hasta 0 N durante la subida de 32 metros. Cuando el balde está a $x$ metros sobre el suelo, la arena pesa

$F(x) &= [\text{Original weight of sand}] [\text{Proportion left at elevation} \ x] \\&= 80 \left(\frac{32-x}{32}\right) \\F(x) &= [\text{Original weight of sand}] [\text{Proportion left at elevation} \ x] \\&= 80 \left(1- \frac{x}{32}\right) \\F(x) &= 80-2.5 \ x \ N$

El gráfico de $F(x) = 80 - 2.5 \ x \ N$ representa la variación de la fuerza con respecto a la altura $x$ . El trabajo realizado corresponde a calcular el área bajo el gráfico de la fuerza.

Así, el trabajo realizado es

$W_2 &= \int \limits_a^b F(x)dx \\&= \int \limits_0^{32}{[80 - 2.5 \ x]}dx \\&= \left[80 \ x - \frac{2.5}{2}x^2 \right]_0^{32} \\ W_2 &= 1280 \ J$

3. Solo la cuerda . Ya que el peso de la cuerda es 5,1 N/m y la altura es 32 metros, el peso total de la cuerda desde el piso hasta una altura de 32 metros es $(5.1)(32) = 163.2 \ N.$

Pero, ya que el trabajador está halando constantemente la cuerda, su longitud disminuye a un ritmo constante y así su peso también disminuye a medida que se eleva el balde. Entonces, a $x$ metros, la longitud de la cuerda que aún debe ser levantada es de $(32 - x)$ metros lo que corresponde al peso restante (fuerza) de la cuerda que debe ser levantada de $F(x) = (5.1)(32 - x)N$ . Así, el trabajo realizado para levantar el peso de la cuerda es

$W_3 &= \int \limits_a^b F(x)dx \\&= \int \limits_0^{32} 5.1[32 - x]dx \\&= \left[163.2 \ x - \frac{5.1}{2} x^2 \right]_0^{32} \\W_3 &= 2611.2 \ J$

4. El balde, la arena y la cuerda juntos . Aquí nos pidieron sumar todo el trabajo realizado sobre el balde vacío, la arena y la cuerda. Así

$W_{total} &=W_1 + W_2 + W_3 \\&= 736 + 1280 + 2611.2 \\&= 4627.2 \ J \\W_{total} &= 2611.2 \ J.$

El trabajo total realizado para levantar el balde es de 2611,2 J.

Práctica

Una partícula se mueve sobre el eje $x$ -por una fuerza de $F(x) = \frac{1}{x^2+1}$ . Si la partícula ya se ha movido una distancia de 10 metros desde el origen, ¿cuál es trabajo realizado por la fuerza?
Una fuerza de $cos \left(\frac{\pi x}{2}\right)$ actúa sobre un objeto cuando está a $x$ metros alejado de su origen. ¿Cuánto trabajo realiza esta fuerza para mover el objeto desde $x = 1$ a $x = 5$ metros?
En física, si la fuerza de un objeto varía con la distancia, entonces el trabajo realizado por la fuerza se define como $W = \int \limits_a^b F(r)dr$ . Si un satélite de masa $m$ se lanza al espacio, entonces la fuerza que experimenta el satélite durante y después del lanzamiento es $F(r) = G \frac{mM}{r^2}$ , donde $M = 6 \times 10^{24} \ kg$ es la masa de la Tierra y $G = 6.67 \times 10^{-11} \ \frac{N m^2}{kg^2}$ es la Constante de Gravitación Universal. Si la masa del satélite es de 1000 Kg. y deseamos elevarlo a una altitud de 35.780 Km. sobre la superficie terrestre, ¿cuánto trabajo se necesita para levantarlo? (el radio de la Tierra es de 6370 Km.).
La Ley de Hooke establece que cuando se estira un resorte en unidades más allá de su longitud natural, tira hacia sí con una fuerza de , donde es la constante del resorte o la constante de rigidez . Para calcular el trabajo que se requiere para estirar el resorte a un longitud de usamos , donde es el desplazamiento inicial del resorte (si el resorte no está estirado inicialmente) y es el desplazamiento final. Una fuerza de 5 N se ejerce sobre el resorte y se estira 1 metro más allá de su longitud natural.
1. Encuentra la constante del resorte $k$
2. ¿Cuánto trabajo se requiere para estirar el resorte 1,8 m más allá de su longitud natural?
Cuando se aplica una fuerza de 30 N a un resorte, se estira desde una longitud de 12 cm. a 15cm. ¿Cuánto trabajo se ejercerá para estirar el resorte de 12cm a 15cm? ¿Cuánto trabajo se hará para estirar el resorte de 12cm a 20 cm? (Pista: lee la primera parte del problema #4)
Un ascensor de 600 ft de peso está sostenido por cable de 50 pies de largo cuyo peso es de 18 libras por pie linear. Encuentra el trabajo realizado para elevar el ascensor 15 metros.
Un trabajador que se encuentra en el segundo piso de una casa que están pintando, levanta un tarro de pintura (con una cuerda de peso insignificante) por una distancia de 12 pies. Sin embargo, el trabajador es un poco descuidado y la pintura se sale un ritmo constante mientras la suben. El tarro y la pintura pesan 6 lb. cuando el trabajador empieza a subirlos y 3 lb. cuando llegan arriba. ¿Cuánto trabajo se realizó para levantar el tarro de pintura?
Un tanque tiene la forma de un hemisferio con un radio de 5 pies. El tanque contiene un líquido que pesa 30 lb. /pie cúbico y este líquido casi llena el tanque, a una altura de 1 pie desde la parte alta del tanque. Necesitas vaciar el tanque, removiendo el líquido a una altura de 2 pies desde la parte alta del tanque. Encuentra el trabajo realizado para vaciar el tanque.
Un tanque tiene la forma de una pirámide rectangular con ángulo recto, con un cuadrado en la base de 4 pies y la altura de 6 pies. El tanque se llena hasta el tope con aceite que pesa 30 lb. por pie cúbico. Encuentra el trabajo realizado al bombear el aceite a una posición 1 pie por encima del tope del tanque.
Un tanque tiene la forma de una pirámide rectangular invertida de ángulo recto, con la parte superior del cuadrado que mide 6 pies de longitud y la altura es de 9 pies. El tanque está lleno parcialmente, a una posición de 3 pies desde el tope del tanque. Si el tanque se llena con un líquido que pesa 40 lb. por pie cúbico, encuentra el trabajo realizado en bombear todo el aceite hasta el borde del tanque.
Un abrevadero tiene una altura de 4 pies, 10 pies de largo y tiene lados trapezoidales. La base superior para el lado trapezoidal es de 5 pies, la base inferior es de 3 pies y la altura es de 4 pies. Si se llena el abrevadero a una altura de 3 pies con un líquido de una densidad de 40 lb. por pie cúbico, encuentra el trabajo realizado para llenar todo el líquido hasta el tope del abrevadero.
Una reciente tormenta ha llenado el sótano de una casa con barro y se necesita removerlo. Un trabajador baja al sótano con un balde (peso insignificante) que tiene hoyos y lo llena con barro cuyo peso es de 4 lb. Levanta el balde, pero el barro se escurre por los hoyos a un ritmo constante. Si el trabajador levanta el barro a una altura de 3 pies, pero solo 2 lb. del barro permanecen dentro de este, encuentra el trabajo realizado para levantar el balde.
Se aplica una fuerza de $x \sin (x^2) + 2$ a un bloque, donde $x$ es la distancia desde la posición inicial del bloque y se mide en metros. ¿Cuánta fuerza se requiere para mover el bloque 10 metros?
Se aplica una fuerza de $\cos (\sin^2(x))$ a un bloque, donde $x$ es la distancia desde la posición inicial del bloque y se mide en metros. ¿Cuánto trabajo se requiere para mover el bloque cinco metros?
15. Se aplica una fuerza de $2x^3 + x^2 - x + 1$ a un bloque, donde $x$ es la distancia desde la posición inicial y se mide en metros. ¿Cuánto trabajo se requiere para mover el bloque dos metros?

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