Aplicaciones: Fuerzas en los Fluidos

Objetivos

En esta sección, aprenderás a aplicar integrales definidas a problemas de estática de los fluidos.

Concepto

En la rama de la física conocida como mecánica de los fluidos, algunos problemas requieren determinar fuerzas o presiones que actúan sobre un objeto sumergido en un fluido estático (por ej. un fluido en reposo). Los problemas pueden involucrar la fuerza o presión que ejerce una columna de fluido sobre un objeto, o la fuerza o presión ejercida sobre los lados de una represa o un tanque que contiene el fluido. ¿Sabes cuál de los dos problemas es más fácil de resolver y por qué?

Mira Esto

Haz click en la imagen anterior para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo está disponible en inglés

http://www.youtube.com/watch?v=12MhraQo0TY - patrickJMT: Fuerza Hidroestática - Idea Básica / Derivando la Fórmula

Haz click en la imagen anterior para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo está disponible en inglés

http://www.youtube.com/watch?v=cXNmCaTod58 - patrickJMT: Fuerza Hidroestática – Ejemplo Completo #1

Orientación

Probablemente sepas que la presión se define como una fuerza que actúa sobre un área $P=\frac{F}{A}$ que tiene las unidades de Pascales $(Pa)$ , o Newtons por metro cuadrado, $Pa=\frac{N}{m^2}.$

En el estudio de los fluidos, como la presión del agua sobre una represa o la presión del agua en el océano a una profundidad $h$ tienen una fórmula equivalente que se puede usar y se llama presión de líquido $P$ a profundidad $h$ :

$P=wh=\rho gh$ , donde $w$ es la densidad de peso (el peso de la columna de fluido por unidad de volumen).

$\rho$ es la densidad de la masa del fluido (masa del fluido por unidad de volumen), y $g$ es la aceleración debido a la gravedad ( $g=9.8 \ m/s^2$ en la Tierra).

Por ejemplo, si estás bajo el agua en una piscina, la presión del agua sobre tu cuerpo se puede calcular a determinar la densidad de peso de la columna de agua sobre ti y la profundidad.

Ejemplo A

¿Cuál es la presión de fluid (excluyendo la presión de aire) y la fuerza de fluido sobre la parte superior de un plato plano y circular de 3 metros de radio que está sumergido horizontalmente a 10 metros de profundidad?

Solución :

La densidad del agua es $\rho=1000 \ kg/m^3$ . Entonces

$P&=\rho gh\\&=(1000)(9.8)(10)\\&=98000\ Pa.$

Ya que la fuerza es $F=PA$ , entonces

$F &=PA\\&=P\cdot \pi r^2\\&=(98000)(\pi)(3)^2\\&=2.77\times 10^6\ N.$

Como puedes ver, es fácil calcular la fuerza del fluido sobre una superficie horizontal ya que cada punto de la superficie tiene la misma profundidad. El problema se vuelve más complicado cuando queremos calcular la fuerza del fluido o presión si la superficie es vertical. En esta situación, la presión no es constante en cada punto de la superficie porque la profundidad no es constante en cada punto. Para encontrar la fuerza de fluido o presión sobre una superficie vertical debemos usar cálculo.

La Fuerza de Fluido sobre una Superficie Vertical

Supón que una superficie plana se sumerge verticalmente en un fluido de densidad de peso $w$ y la parte sumergida de la superficie se extiende desde $x=a$ a $x=b$ a lo largo del eje $x$ -, cuya dirección positiva se toma hacia abajo. Si $L(x)$ es el ancho de la superficie y $h(x)$ es la profundidad del punto $x$ , entonces la fuerza de fluido $F$ se define como

$F=\int\limits_{a}^{b}wh(x)L(x)dx.$

Esta fórmula de la fuerza sobre el lado de una superficie vertical sirve porque los líquidos prácticamente no se pueden comprimir, y la presión en cualquier parte de un objeto (horizontal o vertical) a la misma profundidad es la misma. El científico francés Blaise Pascal (1623-1662), se dio cuenta de que la presión aplicada a un fluido contenido se transmite sin disminuir a cada parte del fluido y a las paredes de la estructura que lo contiene. Este resultado se llama el Principio de Pascal .

Ejemplo B

Un ejemplo perfecto de una superficie vertical es la pared de una represa. Podemos visualisarla como un rectángulo de cierta altura y cierto ancho. Sea la altura de la represa 100 metros y el ancho 300 metros. Encuentra la fuerza de fluido total que se ejerce sobre la pared si la parte superior de la represa está al mimo nivel que la superficie del agua.

Solución:

Sea $x$ igual a la profundidad del agua. A profundidad $x$ de la represa, el ancho de la represa es $L(x)=300\ m$ y la profundidad es $h(x)=x$ metros. La densidad de peso del agua es

$w_{water} &=\rho g\\&=(1000)(9.8)\\&=9800\ N/m^2.$

Usando la fórmula de la fuerza de fluido anterior,

$F &=\int\limits_{a}^{b}wh(x)L(x)dx\\&=\int\limits_{0}^{100}(9800)(x)(300)dx\\&=2.94\times 10^6\int\limits_{0}^{100}xdx\\&=2.94\times 10^6\left[\frac{x^2}{2}\right]^{100}_0\\&=1.47\times 10^{10}N.$

La fuerza total sobre el muro vertical de la represa es $1.47\times 10^{10}\ N$ .

Ejemplo C

Un tanque contenedor tiene la forma de un cilindro elíptico con ángulo recto de 10 metros de ancho y 6 metros de alto y contiene un fluido que tiene una densidad de masa de $\rho=680\ kg/m^3$ . El fluido llena el tanque hasta la altura de 3 metros como se muestra en la figura. ¿Cuál es la fuerza que ejerce el líquido en cada extremo del tanque?

Solución:

Ya que la densidad de masa es $\rho=680\ kg/m^3$ , la densidad de peso es $w=\rho g=6664\ N/m^3$ .

$F &=\int\limits_{c}^{d}wh(y)L(y)dy\\&=w\int\limits_{0}^{-3}y\left(2\sqrt{5^2-\frac{5^2}{3^2}y^2}\right)dy &&\ldots \text{Depth is measured along the negative }y\text{-axis.}\\&=w\int\limits_{0}^{-3}y\left(2\cdot\frac{5}{3}\sqrt{3^{2}-y^{2}}\right)dy\\&=w\frac{10}{3}\int\limits_{0}^{-3}y\left(\sqrt{3^2-y^2}\right)dy$

$&=w\frac{10}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)\int\limits_{9}^{0}\left(\sqrt{u}\right)du \quad \ldots\text{Use substitution:} \ u=9-y^2 \text{ and } du=-2ydy.\\&=-w\frac{5}{3}\left[-\int\limits_{0}^{9}(\sqrt{u})du\right] \ \quad\quad \ldots \text{Use the definition:} \ \int\limits_{a}^{b}f(y)dy=-\int\limits_{b}^{a}f(y) dy \text{ when } a < b .\\&=w\frac{5}{3}\left[\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}\right]_0^9\\&=w\frac{10}{9}\left[9^{\frac{3}{2}}\right]\\F &=30 \ w\ \ \quad\qquad\qquad \qquad\qquad\ldots\ F=199,920 \ N.$

La fuerza en cada lado del tanque es de 199.920 Newtons.

Análisis del Problema de la Sección

¿Sabes cuál es más fácil de resolver: (1) encontrar la fuerza o presión que ejerce una columna de fluido sobre un objeto, o (2) encontrar la fuerza o presión que se ejerce sobre los lados de un espacio que contiene el fluido, como una represa o un tanque contenedor? Si respondiste (2), estás en lo correcto. Encontrar la presión o fuerza sobre el lado de un espacio involucra considerar la variación de fuerza y presión con la profundidad mediante una integral definida. Encontrar la fuerza o presión ejercida por una columna o fluido sobre un objeto solo requiere saber la profundidad y densidad de peso del fluido

Vocabulario

Presión es la fuerza que actúa sobre un área específica, o fuerza por unidad de superficie en $N/m^2$ .

Presión de líquido es la presión a profundidad $h$ de un líquido con densidad de peso $w$ .

La densidad de peso de un fluido (líquido) es el peso de una columna de fluido por unidad de volumen.

La densidad de masa , $\rho$ , de un fluido es la masa del líquido por unidad de volumen.

Fuerza de fluido es la fuerza que resulta de la presión del líquido que actúa sobre una superficie.

Principio de Pascal establece, en parte, que la presión ejercida sobre un fluido contenido se transmita sin disminución a cada parte del fluido y las paredes del recipiente.

Práctica Guiada

¿Cuál es la presión total que experimenta un nadador en una piscina a 2 metros de profundidad?

Solución

Primero, calculamos la presión de fluido que ejerce el agua sobre el nadador a una profundidad de 2 metros:

$P=\rho gh$

La densidad del agua es $\rho=1000\ kg/m^3$ , así

$P &=(1000)(9.8)(2)\\&=19600\ Pa.$

La presión total sobre el nadador es la presión provocada por el agua más la presión atmosférica. Si asumimos que el nadador está al nivel del mar, entonces la presión atmosférica en ese punto es alrededor de $10^5\ Pa$ . Así, la presión total sobre el nadador es

$P_{total} &=P_{water}+P_{atm}\\&=19600+10^5\\&=119600\\&=1.196 \times 10^5 \ Pa.$

Práctica

1. Una piscina rectangular tiene 8 metros de profundidad, 10 metros de ancho y 16 metros de largo. Calcula la fuerza de fluido sobre el fondo de la piscina cuando se llena completamente con agua.

2. Del problema anterior, calcula la fuerza de fluido en cada extremo de la piscina de 8 x 10 metros cuando se llena completamente con agua.

3. Para la piscina anterior de 8 x 10 x 16 metros, calcula la fuerza de fluido sobre un plato rectangular de 0,5 x 1 metro que se encuentra paralelo al fondo de la piscina a una profundidad de 5 metros.

4. Para la piscina anterior de 8 x 10 x 16 metros, calcula la fuerza de fluido sobre un plato rectangular de 0,5 x 1 metro que se encuentra en un ángulo de 45 grados con respecto al fondo de la piscina, y con el extremo superior del plato (de 0,5 m de ancho) ubicado a una profundidad de 5 metros.

5. Para la piscina anterior de 8 x 10 x 16 metros, calcula la fuerza de fluido sobre un plato rectangular de 0,5 x 1 metro que se encuentra en un ángulo de 45 grados con respecto al fondo de la piscina, si el extremo de 1 m del plato se encuentra a una profundidad de 5 metros.

6. El fondo de la piscina rectangular, que es un plano inclinado, se muestra a continuación. (Nota: el plano de la parte superior de la piscina está paralelo al suelo; el fondo de la piscina no lo está). Calcula la fuerza de fluido sobre el fondo de la piscina cuando se llena completamente con agua.

7. La pared vertical de una represa tiene una altura de 50 metros y un ancho de 600 metros. Encuentra la fuerza total de fluido ejercida sobre la pared si la parte superior de la represa está al mismo nivel que de la superficie del agua.

8. Un tanque contenedor con la forma de un cilindro circular de 10 metros de diámetro contiene un fluido que tiene una densidad de masa de $\rho=680 \ kg/m^3$ . El fluido llena el tanque hasta una altura de 3 metros. ¿Cuál es la fuerza ejercida por el líquido sobre cada extremo del tanque? (Pista: Ve el ejemplo B)

9. Un tanque contenedor con la forma de un cilindro elíptico y de ángulo recto de 6 metros de ancho y 4 metros de alto contiene un fluido que tiene una densidad de masa de $\rho=1000 \ kg/m^3$ . El fluido llena el tanque hasta una altura de 1 metro. ¿Cuál es la fuerza ejercida por el líquido en cada extremo del tanque?

10. Una superficie plana se sumerge verticalmente en un fluido de densidad de peso $w$ . Si la densidad de peso $w$ es el doble, ¿es también doble la fuerza sobre el plato? Explica.

11. Supón que un rectángulo de 1 metro de largo y medio metro de ancho se encuentra en posición vertical en el fondo de una piscina de 5 metros de profundidad. ¿Cuál es la fuerza que ejerce el fluido sobre un lado del rectángulo? La densidad de masa del agua es $\rho=1000 \ kg/m^3$ .

12. Supón que un plato cuyo radio es de 2 metros está en posición vertical en el fondo de una piscina de 10 metros. ¿Cuál es la integral que expresa la fuerza que ejerce el fluido sobre un lado del plato? La densidad de masa del agua es de $1000\ kg/m^3$ .

13. Supón que un plato con la forma de un triángulo equilátero y que tiene un metro de alto se encuentra en posición vertical en el fondo de una piscina de 15 metros. ¿Cuál es la fuerza que ejerce el fluido sobre un lado del triángulo? La densidad de masa del agua es $1000\ kg/m^3$ .

14. Supón que un cuadrado de lados de 1 metro se encuentra en posición vertical en el fondo de una piscina de 18 metros. ¿Cuál es la fuerza ejercida por el fluido sobre un lado del cuadrado? La densidad de peso del agua es 62.

15. Supón que una forma bidimensional se encuentra en el fondo de una piscina de 30 metros, cuyo ancho a la altura $y$ se conoce por la función $2y\sin(y^2)$ . ¿Cuál es la integral que expresa la fuerza ejercida por el fluido sobre un lado del plato? La densidad de peso del agua es 62.

Prev Next