Objetivos

En esta sección, aprenderás a aplicar las integrales definidas a problemas de probabilidad.

Concepto

Probabilidad es un concepto cercano a nosotros. Usamos probabilidad como la medida de que un evento (en un conjunto de eventos posibles) ocurra. El conjunto de eventos posibles puede ser finito y por lo tanto, expresar una variable aleatoria discreta; o infinito y constituir una variable aleatoria continua. Una probabilidad, $P$ , es un número tal que $0\le P \le 1$ . Mientras $P$ esté más cerca de 0, será más improbable de que el evento ocurrirá; mientras $P$ esté más cerca de 1, será más probable de que el evento ocurrirá. También, la suma de todas las probabilidades relacionadas con todos los eventos posibles, debe sumar 1. ¿Puedes determinar, antes de empezar, que tipo de variable aleatoria (discreta o continua) se asociará con las probabilidades calculadas usando integrales definidas? ¿Por qué?

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https://www.khanacademy.org/math/probability/random-variables-topic/random_variables_prob_dist/v/probability-density-functions - khanacademy: Función de Densidad de Probabilidad

Orientación

En esta sección, veremos cómo calcular el valor de una probabilidad usando una función que se llama función de densidad de probabilidad (fdp). Hay varias formas de funciones de densidad de probabilidad y analizaremos algunas.

Ejemplo A

Si el servicio de correos te avisa que mañana recibirás un paquete que has estado esperando, te puedes preguntar: ¿Cuál es la probabilidad de que recibiré mi paquete entre las 3 y las 5 de la tarde, sabiendo que el servicio de correos funciona entre las 7 de la mañana y las 6 de la tarde?

Solución:

Sin tener mayor información, una forma de encontrar una solución es notar que ya que el servicio de correos funciona durante 11 horas (7 AM a 6 PM), y que el intervalo de interés es de 2 horas entre las 3 PM y las 5 PM, la probabilidad de que tu paquete llegue será

$P=\frac{2 \ \text{hours}}{11 \ \text{hours}}=0.182$

Entonces, hay una probabilidad de 0,182 de que el servicio de correos te entregará el paquete en algún momento entre las 3 PM y las 5 PM. Ya que no hay nada especial entre el intervalo de las 3pm y las 5pm, la probabilidad de 0,182 se puede aplicar a cualquier intervalo de 2 horas durante el período de funcionamiento de 11 horas. Esto también significa que hay una probabilidad de 0,818 de que el paquete no se entregará durante tal intervalo (por ej., 1-0.182).

Pero, en términos matemáticos, ¿cómo se obtuvo el cálculo anterior cuando el intervalo de 11 horas y el de 2 horas contiene un número infinito de tiempos? ¿Cómo puede un infinito dividido por otro infinito producir una probabilidad de 0,182? (Nota: Los tiempos posibles de entrega en el intervalo de 11 horas representan una variable aleatoria continua). Para resolver este problema, podemos representar la probabilidad de entrega del paquete a cualquier tiempo en el intervalo de 11 horas como se define por un rectángulo de altura $\frac{1}{11}$ y longitud 11, con un área resultante igual a 1. Observando el intervalo de 2 horas, podemos ver que es igual a $\frac{2}{11}$ del área rectangular total de 1. Es por esta razón que es conveniente representar las probabilidades como áreas.

Ya que las áreas se pueden definir como integrales definidas, también podemos definir la probabilidad de que ocurra un evento dentro de un intervalo $[a,\ b]$ por la integral definida $P(a\le x \le b)=\int\limits _a^b f(x)dx$ donde $f(x)$ se llama la función de densidad de probabilidad (fdp).

Definición: Función de Densidad de Probabilidad (fdp)

Una función $f(x)$ se conoce como función de densidad de probabilidad si

1. $f(x)\ge 0$ para todas las $x$

2. El área bajo el gráfico de $f(x)$ sobre toda la recta real es exactamente 1

3. La probabilidad de que $x$ está en el intervalo $[a,\ b]$ es

$P(a\le x \le b)=\int\limits _a^b f(x)dx$

Por ej., el área bajo el gráfico de $f(x)$ de $a$ a $b$ .

En el ejemplo A, la función de densidad de probabilidad $f(x)$ se llama función de densidad de probabilidad uniforme (plana) .

Existen varias otras funciones de densidad de probabilidad que cuando se usan dan otra respuesta a la pregunta sobre el tiempo de entrega de nuestro paquete.

Ejemplo B

Supón que después de discutirlo con tus vecinos, decides que sería mejor usar una función de densidad de probabilidad triangular como se muestra a continuación, para la entrega del paquete. ¿Cuál es la probabilidad de que recibas tu paquete entre las 3 PM y las 5 PM?

Solución:

La fdp triangular muestra una variación que se puede modelar como:

$f(x)=\begin{cases} \frac{2}{99}(x+12)-\frac{14}{99}, \ -5\le x \le 4 \\ \frac{-1}{11}(x+12)+\frac{18}{11}, \ 4\le x \le 6\\ \end{cases}$

Nota que la fdp está 0 fuera del intervalo anterior.

La probabilidad de que el paquete llegue entre las 3 y las 5 PM se puede determinar como

$P(a\le x\le b) &=\int\limits_a^b f(x)dx \\P(3\le x\le 5) &=\int\limits_3^5 f(x)dx \\&=\int\limits_3^4\left(\frac{2}{99}(x+12)-\frac{14}{99}\right)dx+\int\limits_4^5\left(\frac{-1}{11}(x+12)-\frac{18}{11}\right)dx\\&=\frac{2}{99}\left[\frac{x^2}{2}+5x \right]_3^4-\frac{1}{11}\left[\frac{x^2}{2}-6x \right]_4^5 \\&=\frac{17}{99}+\frac{1.5}{11}\\P(3\le x\le 5) &=\frac{30.5}{99}\approx 0.308$

Usando la fdp triangular, la probabilidad de recibir el paquete entre las 3 y las 5 PM se ha incrementado a 0,308.

La Función de Densidad de Probabilidad Normal

Una de las funciones de densidad de probabilidad más útiles es la función de densidad de probabilidad normal o Gaussiana (sometimes referred to as the bell curve ) definida como:

Definición: Función de Densidad de Probabilidad (Normal) Gaussiana

La curva Gaussiana para una población con una media $\mu$ y una desviación estándar $\sigma$ se da por $f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{\frac{-(x-\mu)^2}{(2\sigma^2)}}$ , donde el factor $\frac{1}{(\sigma\sqrt{2\pi})}$ se llama la constante de normalización , la cual se necesita para realizar la probabilidad a lo largo del espacio total igual a 1.

La densidad de función tiene la curva con la forma de una campana, como se ve a continuación:

Esta función nos permite describir toda una población basados en medidas estadísticas tomadas de una pequeña muestra de la población. Las únicas medidas que se necesitan son la media $(\mu)$ y la desviación estándar $(\sigma)$ . Una vez que se conocen estos dos números, la curva normal está definida.

Ejemplo C

Supón que unas cajas que contienen 100 sacos de té tienen un peso medio de 10,2 onzas cada una y una desviación estándar de 0,1 onza.

¿Qué porcentaje entre todas las cajas se espera que pese entre 10 y 10,5 onzas?
¿Cuál es la probabilidad de que una caja pese menos de 10 onzas?
¿Cuál es la probabilidad de que una caja pese exactamente 10 onzas?

Solución:

1. Usando la función de densidad de probabilidad normal, $f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{\frac{-(x-\mu)^2}{(2\sigma^2)}}$ .

Sustituyendo $\mu=10.2$ y $\sigma=0.1$ , obtenemos $f(x)=\frac{1}{(0.1) \sigma \sqrt{2\pi}}e^{\frac{-(x-10.2)^2}{(2(0.1)^2)}}$ .

El porcentaje de todas las cajas de té que se espera que pesen entre 10 y 10,5 onzas se puede calcular como

$P(10\le x\le 10.5)=\int\limits_{10}^{10.5} \frac{1}{(0.1)\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-(x-10.2)^2}{(2(0.1)^2)}dx}$ .

La integral de $e^{x^2}$ no tiene una antiderivada elemental y por lo tanto no se puede evaluar mediante procedimientos estándares. Sin embargo, podemos usar técnicas numéricas, como la Regla de Simpson o la Regla del Trapecio, para encontrar un valor aproximado (pero muy preciso). Usando la función de programación de una calculadora científica o un programa matemático, eventualmente obtendremos $\int\limits_{10}^{10.5} \frac{1}{(0.1)\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-(x-10.2)^2}{(2(0.1)^2)}dx}\approx0.976$ Eso es, $P(10\le x\le 10.5)\approx0.976$ .

Nota Tecnológica: Para realizar este cálculo con una calculadora gráfica de la familia TI-83/84, haz lo siguiente:

1. Desde el menú [DISTR] (Figura 6.11.4) selecciona opción 2, con lo cual aparee la frase “normalcdf” en la pantalla. Añade el límite inferior, superior, la media, la desviación estándar, separado por comas, cierra los paréntesis y presiona [ENTER] . El resultado se puede ver en la Figura 6.11.5.

2. Para la probabilidad de que una caja pese menos de 10,2 onzas, usamos el área bajo la curva a la izquierda de $x=10.2$ .

Integrando numéricamente, obtenemos

$P(9\le x\le 10) &=\int\limits_9^{10}\frac{1}{(0.1)\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-(x-10.2)^2}{(2(0.1)^2)}dx}\\P(9\le x\le 10.2) & \approx 0.02275\\&=2.28\%,$

lo que nos dice que podemos esperar que el 2,28% de las cajas pese menos de 10 onzas.

3. En teoría, la probabilidad aquí será exactamente cero porque estaremos integrando de 10 en 10 lo cual es cero. Sin embargo, ya que todas las escales tienen cierto error (llamémoslo $\epsilon$ ), en la práctica encontraríamos la probabilidad que el peso se encuentra entre $10-\epsilon$ y $10+\epsilon$ .

Análisis del Problema de la Sección

¿Pudiste determinar que tipo de variable aleatoria (discreta o continua) se asocia con las probabilidades calculadas usando integrales definidas? ¿Por qué?

Si dijiste que la variable aleatoria continua se asociaría con las probabilidades determinadas por integrales definidas, estabas en lo correcto.

Vocabulario

Una función de densidad de probabilidad (fdp) uniforme (o rectangular, plana) $P(x)$ es una distribución continua donde cada intervalo igual de $x$ tiene la misma probabilidad.

Una fdp triangular es una fdp continua, cuya forma triangular se define por tres valores de $x$ : un valor inferior, un valor moda con el valor de distribución más alto y un valor superior.

Una fdp normal (Gaussiana) es una fdp continua definida por $f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{\frac{-(x-\mu)^2}{(2\sigma^2)}}$ donde $\mu$ es la media y $\sigma$ es la desviación estándar.

Práctica Guiada

El Coeficiente Intelectual o CI es un puntaje que se deriva de diferentes pruebas estandarizadas que intentan medir el nivel de inteligencia de un ser humano adulto. El puntaje promedio es de 100 y la desviación estándar es 15.

¿Cuál es el porcentaje de la población que tiene un porcentaje entre 85 y 115?
¿Cuál es el porcentaje de la población que tiene un puntaje sobre 140?

Solución:

1. Usando la función de densidad de probabilidad normal, $f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{\frac{-(x-\mu)^2}{(2\sigma^2)}}$ , y sustituyendo $\mu=100$ y $\sigma=15$ , $f(x)=\frac{1}{15 \sqrt{2\pi}}e^{\frac{-(x-100)^2}{(2(15)^2)}}$ .

El porcentaje de la población que tiene un puntaje entre 85 y 115 es $P(85\le x \le 115)=\int\limits_{85}^{115}\frac{1}{15 \sqrt{2\pi}}e^{\frac{-(x-100)^2}{(2(15)^2)}}$ .

Nuevamente, la integral de $e^{-x^2}$ no tiene una antiderivada elemental y por lo tanto no se puede evaluar. Usando la función de programación de una calculadora científica o un programa matemático, obtenemos $\int\limits_{85}^{115}\frac{1}{15 \sqrt{2\pi}}e^{\frac{-(x-100)^2}{(2(15)^2)}}dx\approx0.68$ . Eso es, $P(85\le x \le 115)\approx 68\%$

Lo que nos dice que el 68% de la población tiene un puntaje de CI entre 85 y 115.

2. Para medir la probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga un puntaje de CI sobre 140, $P(x\ge 140)=\int\limits_{140}^{\infty}\frac{1}{15 \sqrt{2\pi}}e^{\frac{-(x-100)^2}{(2(15)^2)}}dx$ .

Esta integral es aún más difícil de integrar ya que es impropia. Para evitar esto, podemos decir que ya que es extremadamente raro encontrar a alguien con un puntaje de CI de más de 200, podemos aproximar la integral de 140 a 200. Entonces $P(x\ge 140)=\int\limits_{140}^{200}\frac{1}{15 \sqrt{2\pi}}e^{\frac{-(x-100)^2}{(2(15)^2)}}dx$ .

Integrando numéricamente, obtenemos $P(x\ge 140)\approx 0.0039$ .

Entonces, la probabilidad de seleccionar al azar una persona con un CI sobre los 140 es de 0,0039. ¡Eso es una persona de 250!

Práctica

Para los problemas #1-4, encuentra el número $r$ que hace de la función una función de densidad de probabilidad sobre el espacio muestral dado.

1. $f(x)=r$ sobre el espacio muestral de [-7, 7].

2. $f(x)=rx(x-5)$ sobre el espacio muestral de [0, 5].

3. $f(x)=\frac{r}{(1+x)^2}$ sobre el espacio muestral de [0, 25].

4. $f(x)=r\sin x$ sobre el espacio muestral de $\left[0,\ \frac{\pi}{2}\right ]$ .

5. Dada una función de densidad de probabilidad triangular $g(x)$ sobre el espacio muestral [0, 10], ¿cuál es valor más alto de $g(x)$ si ocurre a $x=7$ ?

6. ¿Puede la función $g(x)=\frac{-4}{25}x+0.9$ ser una función de densidad de probabilidad sobre el intervalo [0, 10]?

7. Supón que $f(x)$ es la función de densidad de probabilidad para el tiempo de vida de una bombilla eléctrica, donde $x$ se mide en horas. Explica el significado de cada integral.

$\int\limits_{1000}^{5000}f(x)dx$
$\int\limits_{3000}^{\infty}f(x)dx$

8. Supón que $f(x)=-\frac{1}{36}(x^2-9)$ es la función de densidad de probabilidad para el tiempo de ocurrencia de un evento dentro del intervalo [-3, +3 horas] (0 es la ocurrencia a tiempo). ¿Cuál es la probabilidad de que el evento ocurra $\pm 1$ hora del tiempo esperado?

9. Para el problema #8, ¿qué intervalo garantiza un 90% de probabilidad de ocurrencia?

10. El tiempo que un cliente espera hasta que le sirven su plato en un restaurante se modela por una función de densidad exponencial $f(x)=0.125e^{-0.125t}$ , donde $\frac{1}{0.125}=8$ es el tiempo de espera promedio en minutos.

¿Cuál es la probabilidad de que a un cliente le sirvan el plato en los primeros 3 minutos?
¿Cuál es la probabilidad de que un cliente tenga que esperar más de 10 minutos?

11. La altura promedio de una mujer adulta en Los Ángeles es de 63,4 pulgadas (5 pies 3,4 pulgadas) con una desviación estándar de 3,2 pulgadas.

¿Cuál es la probabilidad de que una mujer mida menos de 63,4 pulgadas?
¿Cuál es la probabilidad de que una mujer mida entre 63 y 65 pulgadas?
¿Cuál es la probabilidad de que una mujer mida más de 6 pies?
¿Cuál es la probabilidad de que una mujer mida exactamente 5 pies?

La mediana de una distribución con una función de densidad de probabilidad $f(x)$ , el valor $M$ de tal manera que $\int \limits_{-\infty }^{M}f(x)dx=0.5$ . La mitad de los valores de la distribución estarán sobre $M$ , y la otra mitad estará bajo $M$ . Encuentra el valor de la mediana por cada una de las siguientes funciones de densidad de probabilidad:

12. $f(x)=-\frac{1}{36}(x^2-9)$ sobre el intervalo [-3, 3].

13. $f(x)=0.125e^{-0.125t}$ sobre el intervalo $[0,\ \infty)$ .

La media de una distribución con la función de densidad de probabilidad $f(x)$ , es el valor dado por $\int\limits _{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$ . Encuentra el valor de la media para cada una de las siguientes funciones de densidad de probabilidad:

14. $f(x)=-\frac{1}{36}(x^2-9)$ sobre el intervalo [-3, 3].

15. $f(x)=0.125e^{-0.125t}$ sobre el intervalo $[0,\ \infty)$ .

Aplicaciones: Funciones de Probabilidad y Probabilidad de Densidad

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