Objetivos

En esta sección revisamos el significado y los requerimientos de una función para tener una inversa, para poder definir en secciones posteriores las tres categorías de funciones llamadas funciones trascendentes.

En esta sección revisaremos las condiciones necesarias para que una función tenga una inversa, y para que la función inversa sea diferenciable.

Concepto

La mayoría de las funciones de las secciones anteriores han sido funciones polinómicas, o funciones racionales, o funciones generadas usando un número finito de términos, que involucran solo las operaciones de adición, sustracción multiplicación, división, y elevar a potencias enteras o fraccionales. Estas funciones son funciones algebraicas, y cuando hay una inversa, la inversa es también una función algebraica. Las funciones que no son algebraicas son conocidas como funciones trascendentes, es decir, funciones que “trascienden” el álgebra en el sentido de que no se pueden expresar en términos de un conjunto finito de operaciones algebraicas de adición/sustracción, multiplicación/división, y potencias/raíces. Los tres grupos de funciones trascendentes que serán abordados en secciones posteriores, junto con sus inversas, son las trascendentes “elementales”:

Funciones exponenciales y exponenciales inversas (logarítmicas),
Funciones trigonométricas y trigonométricas inversas, y
Funciones hiperbólicas e hiperbólicas inversas

¿Has escuchado hablar de las funciones hiperbólicas, o de cualquier otra función trascendente? Ya que las funciones en cada uno de los grupos anteriores tienen una inversa útil para resolver ciertos tipos de problemas, deberías saber por qué una función inversa es importante y cómo usarla. Antes de seguir leyendo, trata de explicar la propiedad básica de una inversa, y la condición que le permite a una función tener una inversa.

Mira Esto

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http://www.youtube.com/watch?v=qgezKpQYH2w - James Sousa: Funciones Inversas

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Orientación

En esta sección veremos los siguientes temas relacionados a las funciones inversas:

¿Qué significa tener una inversa?
¿Cuándo tiene una inversa una función?
Cómo encontrar la inversa de una función
Gráficos de funciones inversas
Continuidad y diferenciabilidad de funciones inversas

1. ¿Qué significa tener una inversa?

Si una función $f(x)$ se puede revertir de tal manera que el dominio de la función se convierte en el recorrido y el recorrido se convierte en el dominio, y la relación inversa resultante es una función $h(x)$ , entonces $h(x)$ es la inversa de $f(x)$ . Esta relación se puede escribir como:

$f \circ h = f(h(x)) = h \circ f = x$

La función inversa $h$ a menudo se escribe como $f^{-1}$ , lo cual no se debe confundir con $\frac{1}{f}$ . Por lo general, $f^{-1} \neq \frac{1}{f}$ .

Si una función tiene una inversa, se dice que es invertible.

Ejemplo A

Las funciones $f(x) = 2x+3$ y $h(x) = \frac{x-3}{2}$ son inversas una de la otra ya que

$f \circ h = f(h(x)) = 2 \left [ \frac{x-3}{2} \right ] + 3 = x - 3 + 3 =x$ , y $h \circ f = h(f(x)) = \frac{(2x+3)-3}{2} = \frac{2x}{x} =x$

Por lo tanto

$f \circ h = h \circ f = x$ ,

y $f$ y $h$ son inversas la una de la otra. La función $f(x) = 2x+3$ es invertible.

2. Cuando una función tiene una inversa?

La respuesta a esta pregunta es:

Existencia de una función inversa

A función $f(x)$ tiene una inversa si es de uno a uno en su dominio, o si su derivada es $f^\prime (x) > 0$ o $f^\prime (x) < 0$ .

Una función debe ser de uno a uno para tener una inversa, es decir, para ser invertible. Se dice que una función es de uno a uno si cada elemento del recorrido está asociado solamente con un elemento del dominio. Por ejemplo, $f(x) = x^2$ asigna el recorrido 9 para 3 y -3 y por lo tanto no es una función de uno a uno .

Otra manera de definir de uno a uno es:

Definición: Función de uno a uno

La función $f(x)$ es de uno a uno en un dominio $D$ si $f(a) \neq f(b)$ para cualquier $a \neq b$ .

Hay un método fácil para comprobar si una función es de uno a uno conocido como prueba de la recta horizontal: si se dibuja una recta horizontal a través del gráfico y ésta intersecta el gráfico en solamente un punto, entonces la función es de uno a uno; de lo contrario, no lo es. Nótese en la figura siguiente que el gráfico de $y=x^2$ no es de uno a uno ya que la recta horizontal intersecta el gráfico más de una vez. Pero la función $y=x^3$ es de uno a uno ya que la recta intersecta al gráfico solo una vez.

Nótese que la función $f(x)$ es siempre creciente o siempre decreciente en su dominio, por lo tanto una recta horizontal cortará el gráfico en solamente un punto. Entonces $f(x)$ en este caso es de uno a uno y por tanto tiene una inversa. Entonces si encontramos una manera de probar que una función es constantemente creciente o decreciente, entonces es invertible . La manera de hacer esto es mirar la derivada de la función. En capítulos anteriores has aprendido que si $f^\prime (x) > 0$ entonces $f$ debe ser creciente; y si $f^\prime (x) < 0$ entonces $f$ debe ser decreciente. Esto significa que para algunas funciones el proceso de determinar la propiedad de uno a uno se puede expresar usando la derivada de la función.

Ejemplo B

Determina si estas funciones tienen inversas, es decir, si son invertibles:

1. (a) $f(x) = |x|$

(b) $h(x) = x^{\frac{1}{2}}$

2. $f(x) = 3x^5 + 2x +1$

Solución:

1. Es mejor graficar ambas funciones y dibujar una recta horizontal en cada una. Como puedes ver en los gráficos, $f(x) = |x|$ no es una función de uno a uno ya que la recta horizontal la intersecta en dos puntos. La función $h(x) = x^{\frac{1}{2}}$ sin embargo es de uno a uno ya que la recta horizontal la intersecta en solamente un punto.

2. Usando la derivada, tenemos que $f^{\prime} (x) = 15x^4 + 2 > 0$ para todo $x$ . Por lo tanto concluimos que $f(x)$ es de uno a uno e invertible. Tengamos en cuenta que puede que no sea fácil encontrar la inversa (¡inténtalo!), pero aún sabemos que es invertible.

3. Cómo encontrar la inversa de una función de uno a uno

Para encontrar la inversa de una función de uno a uno realiza los siguientes pasos cuando sea posible:

1. resuelve para la variable independiente $x$ en términos de la variable dependiente $y$ ; y luego

2. intercambia $x$ e $y$ .

La fórmula resultante es la inversa $y = f^{-1} (x)$ .

Por supuesto, no siempre es fácil o posible realizar el primer paso.

Nótese: También es aceptable realizar el Paso 2 primero, luego resolver para la variable dependiente $y$ .

Ejemplo C

Encuentra la inversa de $f(x) = \sqrt{4x+1}$ .

Solución:

Primero que todo, sabemos que la función es de uno a uno sobre el dominio $x \ge \frac{1}{4}$ , y por lo tanto tiene una inversa.

Según vimos antes, resolvemos primero para $x$ :

$y & = \sqrt{4x+1}\\y^2 & = 4x+1\\x & = \frac{y^2-1}{4}$

Luego, hacemos el intercambio de variables $x$ e $y$ para determinar la inversa

$y = \frac{x^2 - 1}{4}$ .

Reemplazando $y = f^{-1} (x)$ ,

$f^{-1} (x) = \frac{x^2-1}{4}$

la cual es la inversa de la función original $f(x) = \sqrt{4x+1}$ .

4. Gráficos de funciones inversas

¿Cuál es la relación entre los gráficos de $f$ y $f^{-1}$ ? Si el punto $(a, b)$ está en el gráfico de $f(x)$ , entonces por la definición de inversa, el punto $(b, a)$ está en el gráfico de $f^{-1}(x)$ . En otras palabras, cuando revertimos las coordenadas de un punto en el gráfico de $f(x)$ automáticamente obtenemos un punto en el gráfico de $f^{-1}(x)$ . Si examinamos los gráficos resultantes veremos que la función y su inversa son reflejos la una de la otra en la recta $y=x$ . Es decir, cada una es una imagen reflejo de la otra en la recta $y = x$ . La figura a continuación muestra un ejemplo de $y = x^2$ y, cuando el dominio está restringido a $x \ge 0$ , su inversa $y = \sqrt{x}$ y cómo se reflejan en $y=x$ .

Es importante notar que para que la función $f(x) = x^2$ tenga una inversa, debemos restringir su dominio a $0 \le x < \infty$ , ya que ese es el dominio en el que la función es creciente.

5. Continuidad y diferenciabilidad de funciones inversas

Ya que los gráficos de una función de uno a uno y su inversa son reflejos uno del otro en la recta $y = x$ sería seguro decir que si la función $f$ no tiene interrupciones (sin discontinuidades) entonces $f^{-1}$ tampoco tendrá interrupciones. Esto implica que si $f$ es continua en el dominio $D$ , entonces su inversa $f^{-1}$ es continua en el recorrido $R$ de $f$ . Por ejemplo, si $f(x) = \sqrt{x}$ , entonces su dominio es $x \ge 0$ y su recorrido es $y \ge 0$ . Esto significa que $f(x)$ es continua para todo $x \ge 0$ . La inversa de $f(x)$ es $f^{-1}(x) = x^2$ , donde su dominio es todo $x > 0$ y su recorrido es $y \ge 0$ . Concluimos que si $f$ es una función con dominio $D$ y recorrido $R$ y es continua y de uno a uno en $D$ , entonces su inversa $f^{-1}$ es continua y de uno a uno en el recorrido $R$ de $f$ .

Continuidad de la función inversa

Si $f(x)$ es una función con dominio $D$ y recorrido $R$ , y es continua y de uno a uno en $D$ , entonces su inversa $f^{-1}(x)$ es continua y de uno a uno en el recorrido $R$ de $f$ .

La diferenciabilidad de la inversa se desprende de la diferenciabilidad de la función $f(x)$ .

Diferenciabilidad de la función inversa

Supongamos que $f(x)$ es una función con un dominio $D$ que es un intervalo abierto, y un recorrido $R$ , y una inversa $f^{-1}(x)$ .

Si $f(x)$ es diferenciable en $f^{-1}(x)$ y $f^{\prime}(f^{-1}(x)) \neq 0$ , entonces $f^{-1}(x)$ es diferenciable en $x$ y su fórmula de diferenciación contiene:

$\frac{d}{dx} [f^{-1}(x)] = \frac{1}{f^{\prime}(f^{-1}(x))} \ or \ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$

Se mantiene la misma fórmula de diferenciación, si $f(x)$ es $f^{\prime}(x) > 0$ o $f^{\prime}(x) < 0$ en su dominio.

Ejemplo D

En el Ejemplo B, vimos que la función polinómica $f(x) = 3x^5 + 2x +1$ era invertible.

Demuestra que la función es diferenciable y encuentra la derivada de su inversa.

Solución:

Ya que $f^{\prime} (x) = 15x^4 + 2 >0$ para todo $x \in R, f^{-1} (x)$ es diferenciable en todos los valores de $x$ . Para encontrar la derivada de $f^{-1}$ , si decimos que $x = f(y)$ , entonces

$x = f(y) = 3y^5 + 2y + 1$ .

Por lo tanto

$\frac{dx}{dy} = 15y^4 + 2$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{15y^4 + 2}$ .

Ya que no podemos resolver para $y$ en términos de $x$ , dejamos la respuesta anterior en términos de $y$ . Otra manera de resolver el problema es usar diferenciación implícita:

Ya que

$x = 3y^5 + 2y +1$ ,

Si diferenciamos implícitamente obtenemos,

$\frac{d}{dx} [x] &= \frac{d}{dx} [3y^5 +2y+1]\\1 & = (15y^4 +2)\frac{dy}{dx}$

Resolviendo para $\frac{dy}{dx}$ finalmente obtenemos

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{15y^4 + 2}$ ,

el cual es el mismo resultado.

Análisis del Problema de la Sección

¿Has escuchado hablar de las funciones hiperbólicas, o de cualquier otra función trascendente?

Antes de seguir leyendo, trata de explicar la propiedad básica de una inversa, y la condición que le permite a una función tener una inversa.

Además de las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, quizá no hayas escuchado hablar de ninguna de las otras funciones trascendentes. Pero hay bastantes funciones que se usan ampliamente en las ciencias y en aplicaciones de la ingeniería, incluyendo las funciones hiperbólicas que tienen propiedades similares a las funciones trigonométricas pero que están hechas de funciones exponenciales. Otras funciones trascendentes tienen nombres como funciones Bessel y funciones Hankel, y surgen en áreas especializadas. Puede que el típico estudiante de matemática nunca se encuentre con estas funciones.

La propiedad básica de la inversa de las funciones, cuando existe, es: $f^{-1} \circ f = x = f \circ f^{-1}$ .

Para que una función, $f(x)$ , tenga una inversa, $f^{-1}(x)$ , la función debe ser de uno a uno.

Vocabulario

Una función invertible es una función que tiene una inversa.

Una función de uno a uno es una función tal que $f(a) \neq f(b)$ para cualquier $a \neq b$ ; es una función cuya gráfica pasa la prueba de la recta horizontal.

Prueba de la recta horizontal si una recta horizontal dibujada a través de un gráfico lo intersecta en solo un punto, la función es de uno a uno; de no ser así la función no es de uno a uno.

Práctica guiada

Para la función $f(x) = 3x^3 + 9x + 4$ :

a. Demuestra si la función es invertible

b. Encuentra el valor de $\frac{d}{dx} f^{-1} \Big |_{y=4}$

Solución:

a. Ya que $f^{\prime} (x) = 9x^2+ 9 > 0$ , la función tiene una inversa.

b. Para encontrar la función inversa, digamos que $x=f(y)$ , para que $x=3y^3+9y+4$ .

Si usamos diferenciación implícita obtenemos:

$dx = 9y^2 dy + 9 dy \Rightarrow 1 = 9(y^2+1) \frac{dy}{dx}$ .

Esto significa $\frac{d}{dx} f^{-1} = \frac{1}{9(y^2+1)}$ , y

$\frac{d}{dx} f^{-1} \Big |_{y=4} = \frac{1}{9(16+1)} = \frac{1}{153}$ .

Práctica

En los problemas #1 - 3, encuentra la función inversa de $f$ y verifica que $f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = x$ .

$f(x) = 3x+1$
$\sqrt[3]{x}$
$f(x) = \frac{x-1}{3}$

En los problemas #4 - 6, usa la prueba de la recta horizontal para verificar si las siguientes funciones tienen una inversa.

$h(x) = \frac{4-x}{6}$
$g(x) = |x+4| - |x-4|$
$f(x) = -2x \sqrt{16-x^2}$

En los problemas #7 - 8, usa las funciones $f(x) = x+4$ y $g(x) = 2x-5$ para encontrar las funciones especificadas.

$g^{-1} \circ f^{-1}$
$(f \circ g)^{-1}$

En los problemas #9 - 10, demuestra que $f$ es monótona (invertible) en el intervalo dado (y por lo tanto tiene una inversa)

$f(x) = (x-5)^2, [5, \infty)$
$f(x) = \cos x, \left [ 0, \frac{\pi}{2} \right ]$

Encuentra la inversa, si existe, de las siguientes funciones, y determina el dominio y recorrido de la inversa:

$f(x) = \frac{6x-1}{3x+7}$
$f(x) = x^2 - 4x + 8$ para $x \ge 2$
$f(x) = \frac{13x}{11x+5}$
$f(x) = x^7 - 2$
$f(x) = \frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}$

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