Funciones exponenciales y logarítmicas

Objetivos

En esta sección volveremos a ver las definiciones y gráficos básicos de dos importantes funciones trascendentes que son inversas: las funciones exponenciales y logarítmicas.

Concepto

Las funciones exponenciales y logarítmicas son funciones trascendentes elementales que son inversas. La función $f(x)=3^x$ es una función exponencial, y la función $g(x)= \log x$ es una función logarítmica. Con tu conocimiento actual, ¿puedes decir si $f(x)$ y $g(x)$ son inversas?

Mira Esto

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http://www.youtube.com/watch?v=7fpazNs1ZRE - James Sousa: Cómo graficar funciones exponenciales

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http://www.youtube.com/watch?v=QjFSWIEhgCs - James Sousa: Logaritmos

Orientación

Esta sección tratará sobre:

Funciones exponenciales
Funciones logarítmicas
Cómo usar la función inversa para resolver ecuaciones que involucran funciones exponenciales y logarítmicas.

1. La función exponencial

Una función exponencial es una función de la forma: $f(x)=b^x$ , donde $b$ , la base , es una constante con $b > 0$ y $b \ne 1$ ; y el dominio de $f$ es el conjunto de todos los números reales. $f(x)$ se denomina como función exponencial con base $b$ .

Algunos ejemplos son: $f(x)=2^x, f(x)=\left(\frac{1}{2} \right)^x, f(x)=10^x$ y $f(x)=e^x$ .

Todas las funciones exponenciales son continuas y cada una tiene un gráfico que es una de las dos formas básicas mostradas a continuación, dependiendo de si $0 < b < 1$ o $b > 1$ .

A continuación se resumen las propiedades útiles de las funciones exponenciales.

Algunas propiedades importantes de las funciones exponenciales

Para $x \in R$ , y $b$ una constante con $b > 0$ y $b \ne 1$ :

$b^p b^x=b^{(p+x)}$ , $p$ es una variable/número real
$(b^x)^p=(b^p)^x=b^{px}$ , $p$ es una variable/número real
$\frac{b^x}{b^p}=b^{(x-p)}$
$\sqrt[p]{b^x}=b^{\frac{x}{p}}$ , $p$ es un entero $\ge 2$

2. Inversa de la función exponencial: La función logarítmica

Ya que la función exponencial es siempre creciente (para $b > 1$ ) o siempre decreciente (para $0 < b < 1$ ) como se muestra en la Figura anterior, la función es de una a uno y por lo tanto tiene una inversa. Para encontrar la inversa de cualquier función de uno a uno solo tenemos que reflejarla en una recta $y=x$ . Si hacemos esto con las dos funciones exponenciales anteriores obtenemos los gráficos de la Figura debajo de las dos funciones inversas correspondientes. La inversa de la función exponencial $y=b^x$ es denominada función logarítmica, identificada como $y=\log_b \ x$ .

Definición: Función logarítmica

Una función logarítmica es una función de la forma: $f(x)=\log_b \ x$ , donde $b$ es una constante con $b > 0$ y $b \ne 1$ ; y el dominio de $f^{\prime}$ es el conjunto $x > 0$ . $f(x)$ se conoce como función logarítmica con base $b$ , y tiene la siguiente relación con la función exponencial con base $b$ : si $\log_b x=y$ , entonces $b^y=b^{\log_b x}=x$ .

Nótese que al igual que las funciones exponenciales las funciones logarítmicas son continuas y cada una tiene un gráfico que cumple con una de las dos formas básicas mostradas en la Figuras anterior y siguiente, dependiendo de si $0 < b < 1$ o $b > 1$ .

Propiedades importantes de los logaritmos

Para $b$ una constante con $b > 0$ y $b \ne 1$ :

$\log_b 1=0$
$\log_b b=1$
$\log_b f(x)^r=r \log_b f(x)$
$\log_b f(x) g(x)=\log_b f(x)+ \log_b g(x)$
$\log_b \frac{f(x)}{g(x)}= \log_b f(x)- \log_b g(x)$
$\log_b f(x)=\frac{\log_a f(x)}{\log_a b}$

3. Resumen de la relación entre las funciones exponencial y logarítmica

Un resumen de la relación entre estas dos inversas trascendentes es:

Relación entre las funciones exponencial y logarítmica

Para $y > 0, x \in R,$ y $b > 0$ y $b \ne 1$ :

$y=b^x \Leftrightarrow x= \log_b y.$

Esto significa: para $b=10, y=10^x \Leftrightarrow x=\log y$ (log común),

para $b=e, y=e^x \Leftrightarrow x=\ln y$ (log natural)

En la tabla se muestran ejemplos de la relación entre la forma de la función logarítmica y la correspondiente forma de la función exponencial.

Forma logarítmica	$\log_b x=y$	$\log_{\frac{1}{2}} 16=-4$	$\log_2 16=4$	$\log_{10} 100=2$	$\log_e e=1$
Forma exponencial	$b^y=x$	$\left(\frac{1}{2} \right)^{-4}=16$	$2^4=16$	$10^2=100$	$e^1=e$

Históricamente los logaritmos con base 10 han sido muy populares. Se les conoce como logaritmos comunes . Recientemente la base 2 ha estado ganando popularidad debido a su rol considerable en el campo de ciencias computacionales y el sistema de números binarios asociado. Sin embargo, la base más ampliamente usada en aplicaciones es la base irracional denotada por $e$ en honor al famoso matemático Leonhard Euler. Esta constante irracional es $e \approx 2.718281$ , y se define como sigue:

$\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}=e.$

Al logaritmo $\log_e x$ se le denomina logaritmo natural de $x$ , y está denotado por $\ln x$ en vez de $\log_e x$ . La relación entre la función logarítmica natural y la correspondiente función exponencial sigue siendo la misma: $y= \ln x-x=e^y$ .

La figura y tabla siguientes muestran esta relación.

Forma logaritmo	$\ln x=y$	$\ln 2 \approx 0.693$	$\ln 1=0$	$\ln e=1$	$\ln e^3=3$
Forma exponencial	$e^y=x$	$e^{0.693} \approx 2$	$e^0=1$	$e^1=e$	$e^3=e^3$

4. Resolución de problemas con funciones exponenciales y logarítmicas

La relación inversa entre las funciones exponenciales y logarítmicas con la misma base significa que los problemas que involucran la una o la otra se pueden resolver a menudo usando la función inversa correspondiente.

Ejemplo A

Considera la ecuación: $1.7 \cdot 3^x=21$

a. Resuelve la ecuación para $x$ .

b. Reescribe la ecuación original en la forma: $3^{g(x)}=21$ , es decir, sin el factor de 1.7.

Solución:

a. El valor de $x$ se obtiene aislando la función exponencial $3^x$ , y luego usando una función log:

$1.7 \cdot 3^x &=21 \\3^x &= \frac{21}{1.7} \\\log(3^x) &= \log \left(\frac{21}{1.7} \right) \ \ \ldots \text{ Here the common log is used;}\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \text{the natural log could also have been used,}\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \text{as well as any other log with a different}\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \text{base whose values can be computed}. \\x \log(3) &= \log \left(\frac{21}{1.7} \right) \\x &= \frac{\log \left(\frac{21}{1.7} \right)}{\log(3)} \\x &=2.288$

b. Para reescribir $1.7 \cdot 3^x=21$ en la forma $3^{g(x)}=21$ (sin el factor1.7), convertimos el factor 1.7 a 3 a alguna potencia, es decir, resolvemos el problema $1.7=3^a$ .

$3^a &=1.7 \\\log(3^a) &= \log(1.7) \\a &= \frac{\log(1.7)}{\log(3)} \\a &\approx 0.483$

La ecuación original queda entonces

$1.7 \cdot 3^x & = 3^a \cdot 3^x \\& = 3^{(x+a)} \\& = 3^{\left(x+ \frac{\log 1.7}{\log 3} \right)} \\& \approx 3^{(x+0.483)}$

y, $g(x)=x+ \frac{\log 1.7}{\log 3} \approx x+0.483$ .

Ejemplo B

Encuentra la inversa de la función $y=3 \ln(x+7)-5$ .

Solución:

Para encontrar la función inversa de $y=3 \ln(x+7)-5$ (que es uno a uno), intercambiamos las variables independientes y dependientes, y resolvemos para $y$ .

$3 \ln(y+7)-5&=x \\\ln (y+7)&= \frac{x+5}{3} \\y+7&=e^{\frac{x+5}{3}} \\y&=e^{\frac{x+5}{3}}-7$

La función inversa $y=e^{\frac{x+5}{3}}-7$ se muestra con $y=3 \ln(x+7)-5$ en la figura a continuación.

A veces al resolver ecuaciones que contienen logaritmos podemos obtener una solución extraña . Esta es una solución válida para una forma de la ecuación original que no es una solución para el problema original.

Ejemplo C

Resuelve la ecuación $\log_2(4x)=2- \log_2(x)$

Solución:

Para resolver la ecuación aislamos la función log y luego realizamos una operación inversa para obtener $x$ .

$\log_2 (4x)&=2- \log_2 (x) \\\log_2 (4x)+ \log_2 (x)&=2 \\\log_2 (4x^2)&=2 \\4x^2&=2^2 \\x+1,& -1$

Aunque hemos obtenido dos resultados si revisamos el problema original vemos que $x=-1$ no es una solución ya que la función log no está definida para un argumento negativo. Entonces la única solución es $x=1$ . Siempre revisa las soluciones extrañas de las ecuaciones que involucran logaritmos.

Análisis del Problema de la Sección

La función $f(x)=3^x$ es una función exponencial, y la función $g(x)= \log x$ es una función logarítmica. Con tu conocimiento actual, ¿puedes decir si $f(x)$ y $g(x)$ son inversas?

Si indicaste que $f(x)$ y $g(x)$ no son inversas estabas en lo correcto. Para que las dos funciones sean inversas $g[f(x)]=f[g(x)]=x$ . En cambio, lo siguiente es verdad: $g[f(x)]= \log[3^x]=x \cdot \log 3$ . Esto ilustra el punto de que dos funciones deben tener la misma base. En este caso, $f(x)$ tiene una base de 3, y $g(x)$ tiene una base de 10. La forma correcta de $g(x)$ sería $g(x)= \log_3 x= \frac{\log x}{\log 3}$ .

Vocabulario

El log común es un logaritmo con base 10.

El log natural es un logaritmo con base $e$ .

soluciones extrañas son soluciones a una ecuación que satisfacen una forma transformada de la ecuación original pero que no resuelven la ecuación original.

Práctica guiada

Para la función $f(x)=e^{2x}-e^x-6$ :

a. Determina las raíces de la función.

b. Determina la inversa de la función.

Solución:

a. $f(x)=e^{2x}-e^x-6$ se puede escribir como $f(x)=(e^x+2)(e^x-3)$ .

La única raíz válida, sin embargo, es $e^x=3$ , porque $e^x > 0$ .

Por lo tanto, $x= \ln 3 \approx 1.1$ .

b. Para encontrar la inversa, reescribe $f(x)$ como $x=e^{2y}-e^y-6$ .

Completar el cuadrado nos da $x=\left(e^y- \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{25}{4}$ , o

$e^y=\sqrt{x+ \frac{25}{4}}+ \frac{1}{2}$ , o

$y= \ln \left[\sqrt{x+ \frac{25}{4}}+ \frac{1}{2} \right]$ , con $x \ge - \frac{25}{4}$ .

Se muestran estos resultados en la Figura a continuación.

Práctica

En cada ecuación resuelve para la variable $x$ :

$6^x=\frac{1}{216}$
$e^x=3$
$\log_2 x=3$
$\ln(x^2)=5$
$e^{-5x}=132$
$e^{2x}-7e^x+10=0$
$-4(3)^x=-36$
$\ln x- \ln 3=2$
$y=5 \log_{10} \left(\frac{2}{2-x} \right)$
$y=3e^{-\frac{2x}{3}}$
$\log(x+3)=\log(2x)+\log 4$
$\ln(4x+2)-\ln 6=7$
$5^{x+1}=6^{2x}$
$\log_5(x-2)+\log_5(6)=3$
$\log(2x+7)=\log 3-\log(x+1)$

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