Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas

Objetivos

En esta Sección aprenderás a evaluar la derivada de funciones exponenciales y logarítmicas.

Concepto

Si usamos la definición de límite de la derivada, $f^{\prime}(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ , es posible determinar las derivadas de la función exponencial $f(x)=b^x$ , y la función logarítmica $f(x) = \log_b x$ . Antes de continuar, trata de aplicar la definición para obtener estas derivadas; luego compara tus resultados con las derivadas en la sección Orientación. Digamos que $b = e$ para simplificar el trabajo. Tus resultados deberían mostrar que la tasa de cambio de las exponenciales varía directamente con el exponente; y que la tasa de cambio del logaritmo varía inversamente con $x$ .

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*Este video solo está disponible en inglés

http://www.youtube.com/watch?v=4HVg0YCTsFo - Videos Tutoriales de Matemáticas de James Sousa, Las Derivadas de Funciones Exponenciales y Logarítmicas (8:26).

Orientación

Veremos primero la derivada de las funciones logarítmicas, y luego la derivada de la función exponencial.

La derivada de una función logarítmica

A continuación tenemos un resumen de la fórmula de la derivada de una función logarítmica:

La derivada de una función logarítmica

1. Dada la función logarítmica $f(x) = \log_b x$ , donde $x>0$ , y la base $b>0$ y $b \neq 1$ , entonces:

$\frac{d}{dx}[\log_b x] = \frac{1}{x \log_e b} = \frac{1}{x \ln b}$

donde $e$ es la base del logaritmo natural.

2. Dada la función logarítmica $f(x) = \log_b u$ , donde $u = g(x) > 0$ y $g(x)$ es una función diferenciable, luego por la regla de la cadena:

$\frac{d}{dx}[\log_b u] = \frac{1}{u \log_e b} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{u \ln b} \cdot \frac{du}{dx}$

Nótese: $\frac{d}{dx} [\ln u] = \frac{1}{u}\frac{du}{dx}$

Ejemplo A

Encuentra la derivada de cada una de las funciones:

1. $y = x^3 \log_5 2x$

2. $y = \ln (2x^2 -4x+3)$

Solución:

1. Para $y=x^3 \log_5 2x$ , usamos la regla del producto junto con la fórmula de derivada

$\frac{d}{dx} [\log_b u] & = \frac{1}{u \ln b} \frac{du}{dx}\\\frac{d}{dx} [x^3 \log_5 2x] & = x^3 \cdot \frac{d}{dx} [\log_5 2x] + \frac{d}{dx} [x^3] \cdot \log_5 2x\\& = x^3 \cdot \frac{1}{x \ln 5} + 3x^2 \cdot \log_5 2x\\& = \frac{x^2}{\ln 5} + 3x^2 \log_5 2x.$

2. Para $y = \ln (2x^2-4x+3)$ , digamos que $u = 2x^2-4x+3$ .

$\frac{d}{dx} [\ln u] & = \frac{1}{u}\frac{du}{dx}\\\frac{du}{dx} & = 4x-4\\\frac{dy}{dx} & = \frac{1}{2x^2-4x+3} \frac{d}{dx}[2x^2-4x+3]\\& = \frac{1}{2x^2-4x+3}(4x-4)\\& = \frac{4(x-1)}{2x^2-4x+3}.$

Derivación de la derivada de una función logarítmica

Los resultados anteriores para la derivada de una función logarítmica son obtenidos usando la definición de límite de la derivada que ya has estudiado:

$f^{\prime} (x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim\limits_{w \rightarrow x} \frac{f(w) - f(x)}{w-x}$ .

Para obtener la derivada de $y = \log_b x$ , usamos la definición de límite de la derivada y las reglas de logaritmo:

$\frac{d}{dx} [\log_b x] & = \lim_{w \rightarrow x} \frac{\log_b w - \log_b x}{w-x}\\& = \lim_{w \rightarrow x} \frac{\log_b \left ( \frac{w}{x} \right )}{w-x}\\& = \lim_{w \rightarrow x} \left [ \frac{1}{w-x} \log_b \left ( \frac{w}{x} \right )\right ]\\& = \lim_{w \rightarrow x} \left [ \frac{1}{w-x} \log_b \left ( \frac{x+(w-x)}{x} \right )\right ]\\& = \lim_{w \rightarrow x} \left [ \frac{1}{w-x} \log_b \left ( 1+ \frac{w-x}{x} \right )\right ]\\& = \lim_{w \rightarrow x} \left [ \frac{1}{x(w-x)} \log_b \left ( 1+ \frac{w-x}{x} \right )\right ]\\& = \lim_{w \rightarrow x} \left [ \frac{x}{x(w-x)} \log_b \left ( 1+ \frac{w-x}{x} \right )\right ].$

En este punto, digamos que $a=\frac{(w-x)}{(x)}$ , para que el límite de $w \rightarrow x$ sea entonces $a \rightarrow 0$ .

Al sustituir, obtenemos

$& = \lim_{a\rightarrow 0} \left [ \frac{1}{x} \frac{1}{a} \log_b (1+a) \right ]\\& = \frac{1}{x} \lim_{a\rightarrow 0} \left [ \frac{1}{a} \log_b (1+a) \right ]\\& = \frac{1}{x} \lim_{a\rightarrow 0} \left [ \log_b (1+a)^{\frac{1}{a}} \right ].$

Insertamos el límite,

$= \frac{1}{x} \log_b \left [ \lim\limits_{a\rightarrow 0} (1+a)^{\frac{1}{a}} \right ]$ .

Pero por la definición $e = \lim\limits_{a \rightarrow 0} (1+a)^{\frac{1}{a}}$ ,

$\frac{d}{dx} [\log_b x] = \frac{1}{x} \log_b e$ .

Podemos expresar $\log_b e$ en términos de un logaritmo natural usando la fórmula de cambio de base: $\log_b w = \frac{\ln w}{\ln b}$ .

Luego

$\log_b e = \frac{\ln e}{\ln b} = \frac{1}{\ln b}$ .

Por lo tanto concluimos

$\frac{d}{dx} [\log_b x] = \frac{1}{x \ln b}$ .

En el caso especial donde $b = e$ ,

$\frac{d}{dx} [\ln x] = \frac{1}{x}$ .

Se puede usar la regla de la cadena para obtener la regla generalizada de las derivadas para las funciones logarítmicas, si $u$ es una función diferenciable de $x$ y si $u(x)>0$ .

Observación: Los estudiantes a menudo se preguntan por qué la constante $e$ está definida de esa manera. La respuesta es la derivada de $f(x) = \ln x$ . Con cualquier otra base, la derivada de $f(x) = \log_b x$ sería igual una expresión más complicada como $f^{\prime} (x) = \frac{1}{x \ln b}$ , en vez de $\frac{1}{x}$ . Esto es similar a la situación donde la derivada de $f(x) = \sin x$ es la simple expresión $f^{\prime} (x) = \cos (x)$ solo si $x$ está en radianes. En grados, $f^{\prime} (x) = \frac{\pi}{180} \cos (x)$ , que es más engorroso y difícil de recordar.

Derivadas de funciones exponenciales

A continuación tenemos un resumen de la fórmula de la derivada de una función exponencial:

Derivadas de funciones exponenciales

1. Dada la función exponencial $f(x) = b^x$ , donde la base $b$ es un número real positivo, entonces:

$\frac{d}{dx} [b^x] = \ln b \cdot b^x$

2. Dada la función exponencial $f(x) = b^u$ , donde $u=g(x)$ y $g(x)$ es una función diferenciable, entonces:

$\frac{d}{dx} [b^u] = (\ln b \cdot b^u) \frac{du}{dx}$

Ejemplo B

Encuentra la derivada de las siguientes funciones

1. $y=2^{x^2}$

2. $y = e^{x^2}$

Solución:

1. Para $y=2^{x^2}$ , digamos que $u = x^2$ ,

$\frac{d}{dx} [b^u] = (\ln b \cdot b^u) \frac{du}{dx}$

$y^\prime & = (2x) 2^{x^2} \ln 2\\& = 2^{x^2 + 1} \cdot x \cdot \ln 2.$

2. Para $y=e^{x^2}$ , digamos que $u = x^2$ .

$\frac{d}{dx} [e^u] & = u^\prime e^u,\\y^\prime & = 2xe^{x^2}.$

Derivación de la derivada de una función exponencial

Anteriormente hemos discutido que la función exponencial es simplemente la función inversa de la función logarítmica. Para obtener una fórmula derivativa para la función exponencial con base $b$ reescribimos $y=b^x$ como

$x = \log_b y$ .

Diferenciando implícitamente,

$1 = \frac{1}{y \ln b} \cdot \frac{dy}{dx}$ .

Resolviendo para $\frac{dy}{dx}$ y reemplazando $y$ con $b^x$ ,

$\frac{dy}{dx} = y \ln b = b^x \ln b$ .

Entonces la derivada de una función exponencial es

$\frac{d}{dx} [b^x] = b^x \ln b$ .

En el caso especial en que la base es $b^x = e^x$ , ya que $\ln e=1$ la regla derivativa queda

$\frac{d}{dx} [e^x] = e^x$ .

Para generalizar, si $u$ es una función diferenciable de $x$ , con el uso de la regla de la cadena la derivada anterior toma la forma general

$\frac{d}{dx} [b^u] = b^u \cdot \ln b \cdot \frac{du}{dx}$ .

Y si $b=e$ ,

$\frac{d}{dx} [e^u] = e^u \cdot \frac{du}{dx}$ .

En el ejemplo siguiente la derivada de funciones que contienen tanto expresiones exponenciales como logarítmicas será evaluada usando las reglas de diferenciación que has aprendido.

Ejemplo C

Escribe una ecuación para una recta tangente de la función $f(x) = e^{x^3} \ln \left ( \frac{1}{x+1} \right )$ en $x=1$ .

Solución:

Para $x=1$ , $f(1) = e \ln \left ( \frac{1}{2} \right ) = -e \ln 2$ . La recta tangente estará en el punto $(1, -e \ln 2)$ .

La derivada de la función es:

$\frac{d}{dx} \left [ e^{x^3} \ln \left ( \frac{1}{x+1} \right ) \right ] & = 3x^2 e^{x^3} \ln \left ( \frac{1}{x+1} \right ) + e^{x^3} (x+1) \frac{-1}{(x+1)^2}\\& = \left [ 3x^2 \ln \left ( \frac{1}{x+1} \right ) - \frac{1}{(x+1)} \right ] e^{x^3}$

Por lo tanto $f^{\prime} (1) = -e \left ( \frac{6 \ln 2+1}{2} \right )$ .

La ecuación de la recta tangente en $(1, -e \ln 2)$ se puede expresar en forma punto-pendiente como:

Forma punto-pendiente: $y + e \ln 2 = -e \left ( \frac{6 \ln 2+1}{2} \right ) (x-1)$ .
Forma pendiente-intercepto: $y = -e \left ( \frac{6 \ln 2+1}{2} \right ) x + e \left ( \frac{4 \ln 2+1}{2} \right )$

Análisis del Problema de la Sección

¿Pudiste usar la definición de límite de la derivada para encontrar expresiones para las funciones exponenciales y logarítmicas simples? De no ser así, estudia las derivaciones en la sección de orientación hasta que tengan sentido.

Práctica guiada

Encuentra $f^{\prime} (x)$ , para la función $f(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi \sigma}} e^{-\alpha k(x-x_0)^2}$ , donde $\sigma, \alpha, x_0,$ y $k$ son constantes y $\sigma \neq 0$ .

Solución:

La función $f(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi \sigma}} e^{-\alpha k(x-x_0)^2}$ , se puede pensar como $f(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi \sigma}} e^{u(x)}$ , donde $u(x) = - \alpha k(x-x_0)^2$ .

Aplicamos la derivada exponencial de la regla de la cadena:

$f^{\prime}(x) & = \frac{d}{dx} \left [ \frac{1}{\sqrt{\pi \sigma}} e^{u(x)} \right ]\\& = \frac{1}{\sqrt{\pi \sigma}} e^{u(x)} \frac{d}{dx} u(x)\\& = \frac{1}{\sqrt{\pi \sigma}} e^{-\alpha k (x-x_0)^2} \frac{d}{dx} \left [ -\alpha k (x-x_0)^2 \right ]\\& = \frac{-2\alpha k(x-x_0)^2}{\sqrt{\pi \sigma}} e^{-\alpha k (x-x_0)^2}$

Práctica

Encuentra la derivada de cada una de las funciones y define el dominio aplicable de ser necesario:

$y=\log_7 (2x+5)$
$y=\frac{1}{\log x}$
$y = \frac{5}{\log (x+4)}$
$y = \log_2 x^2 \cdot \log_5 x^3$
$y = \ln (\sin x)$
$y = \ln (\cos 5x)^3$
$y=\ln \frac{x}{x+1}$
$y = \ln (\sin (\ln x))$

Encuentra la derivada de cada una de las funciones:

$y=e^{6x}$
$y=e^{3x^3-2x^2 +6}$
$y=x^2 e^{-3x}$ ; encuentra el extremo y usa la 2 ^da derivada para identificar el máximo/mínimo.
$y=\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$
$y=\csc (e^x)$
Para la función :
1. Encuentra la expresión para la derivada
2. Determina la posición(es) del extremo.
$y = e^{x^2} \cdot \ln \left ( \frac{1}{x} \right )$

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