Integrales de funciones exponenciales y logarítmicas

Objetivos

En esta sección aprenderás a evaluar integrales que involucran funciones exponenciales y logarítmicas.

Concepto

En la última sección se presentaron las fórmulas generalizadas para las derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas. Esas fórmulas hacen que encontrar las antiderivadas sea sencillo. ¿Puedes hacerlo sin consultar más adelante? ¿Cómo tendrías que determinar el volumen de un objeto cuya forma se genera rotando la función $f(x)=5e^{-0.5x}(0 \le x \le 3)$ sobre el eje $x$ ? ¿Puedes encontrar el volumen?

Mira Esto

Haz click en la imagen anterior para ver más contenido *Este video solo está disponible en inglés (requiere conexión a internet)

http://www.youtube.com/watch?v=N2TgGf_gkGc - Nicholas Bennet: Integración de Funciones Exponenciales y Logarítmicas

Orientación

Integrales que involucran funciones exponenciales

Para las funciones exponenciales, la siguiente relación derivada-integral sostiene que:

Integral de una función exponencial

Dado: $\frac{d}{dx}[b^u]=(\ln b \cdot b^u) \frac{du}{dx}$

Entonces: $\int b^u du=\frac{1}{\ln b}b^u+C$

Nótese: $\text{For} \ b=e: \frac{d}{dx}[e^u]=e^u \frac{du}{dx} \Leftrightarrow \int e^u du=e^u+C$

El resultado anterior se deriva de estos pasos:

$\frac{d}{dx} [b^u] &=(\ln b \cdot b^u) \frac{du}{dx} \\\int d [b^u] &=\int (\ln b \cdot b^u)du \\b^u+C &=\ln b \int b^u du \\\int b^u du &=\frac{1}{\ln b} b^u+C \\\frac{1}{\ln b} b^u+C &=\int b^u du$

Entonces, $\int b^u du=\frac{1}{\ln b} b^u+C$

Los siguientes ejemplos ilustran cómo aplicar la fórmula para integrar una función exponencial.

Ejemplo A

Evalúa las siguientes integrales:

1. $\int 5^{(x-2.5)} dx$

2. $\int\limits_0^2 x^2 e^{x^3} dx$

Solución:

1. Para $\int 5^{(x-2.5)} dx$ , sustituye $u$ y digamos que $u=x-2.5$ . Entonces $du=dx$ y

$\int 5^{(x-2.5)}dx &=\int 5^u du \\&=\frac{1}{\ln 5} 5^u+C \\&=\frac{1}{\ln 5} 5^{(x-2.5)}+C$

2. Para $\int\limits_0^2 x^2 e^{x^3} dx$ , sustituimos $u$ y digamos que $u=x^3$ . Entonces $du=3x^2 dx$ y

$\int\limits_0^2 x^2 e^{x^3} dx &=\int\limits_0^{2^3} e^u \frac{1}{3} du \\& =\frac{1}{3} e^u \Bigg|_0^8 \\& =\frac{1}{3} (e^8-1)$

Integrales que involucran funciones logarítmicas

Para las funciones logarítmicas, la siguiente relación derivada-integral sostiene que:

Integrales que involucran una función logarítmica

Dado: $\frac{d}{dx} [\log_b u]=\frac{1}{u \ln b} \frac{du}{dx}$

Entonces: $\int \frac{1}{u(x)} du=\ln b \cdot \log_b |u(x)|+C$

Nótese: $\text{For} \ b=e: \frac{d}{dx} [\ln u]=\frac{1}{u} \frac{du}{dx} \Leftrightarrow \int \frac{1}{u(x)} du=\ln |u(x)|+C$

El resultado anterior se deriva de estos pasos:

$\frac{d}{dx} [\log_b u] &=\frac{1}{u \ln b} \frac{du}{dx} \\\int d[\log_b u] &=\int \frac{du}{u \ln b} \\\log_b u+C &=\frac{1}{\ln b} \int \frac{du}{u} \\\ln b \cdot \log_b u+C &=\int \frac{du}{u}$

Entonces $\int \frac{1}{u(x)} du=\ln b \cdot \log_b |u(x)|+C$ .

Cuando la base es $b=e$ , el logaritmo es el logaritmo natural, con el resultado

$\int \frac{1}{u(x)} du=\ln |u(x)|+C.$

Nótese que la función logarítmica es la antiderivada del integrando del tipo $\frac{du}{u}$ . Esto significa que es importante reconocer esta forma, especialmente cuando se trata de integrandos racionales.

Ejemplo B

Evalúa estas integrales:

1. $\int \frac{1}{x+1} dx$

2. $\int \frac{4x+1}{4x^2+2x+1} dx$

Solución:

1. En general, cuando hay una integral que tiene una función racional como integrando, puede ser posible que al integrarlo el resultado sea un algoritmo natural.

Primero lo examinamos sustituyendo $u$ para ver si el integrando se puede transformar.

Digamos que $u=x+1$ , entonces $du=dx$ . Luego

$\int \frac{1}{x+1} dx &=\int \frac{du}{u} \\& =\ln |u|+C \\& =\ln |x+1|+C$

Observación: La integral debe usar el símbolo de valor absoluto porque aunque $x$ puede tener valores negativos, el dominio de $\ln(x+1)$ está restringido a $x \ge 0$ .

2. Para $\int \frac{4x+1}{4x^2+2x+1} dx$ , nuevamente trata de ver si sustituir $u$ funciona.

Digamos que $u=4x^2+2x+1$ ; entonces $du=8x+2=2(4x+1)$ .

Como puedes ver esta sustitución se ve bien porque $du=2(4x+1)$ es una versión a escala del numerador. Luego

$\int \frac{4x+1}{4x^2+2x+1} dx &=\int \frac{du}{2u} \\&=\frac{1}{2} \int \frac{du}{u} \\&=\frac{1}{2} \ln |u|+C \\&=\frac{1}{2} \ln |4x^2+2x+1|+C \\$

Ejemplo C

La punta metálica de un puntero se puede describir como la rotación de la función $y=0.25 \ \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$ pulgadas desde $0 \le x \le 2$ pulgadas del eje $x$ . Encuentra el área de la superficie de la punta metálica.

Solución:

Recordemos que el área, $S$ , de una superficie se puede formular como:

$S=\int\limits_a^b 2 \pi ydx=\int\limits_0^2 2 \pi \cdot 0.25 \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} dx=\frac{\pi}{2} \int\limits_0^2 \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} dx.$

Si miras el integrando lo suficiente te darás cuenta de que el numerador en el integrando es la derivada del denominador, entonces será útil sustituir $u$ .

Digamos que $u=e^x+e^{-x}$ ; entonces $du=e^x-e^{-x}$ , y la integral queda

$S &=\frac{\pi}{2} \int\limits_0^2 \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} dx \\&=\frac{\pi}{2} \int\limits_2^{(e^2+e^{-2})} \frac{du}{u} \\&=\frac{\pi}{2} \ln |u|_2^{(e^2+e^{-2})} \\&=\frac{\pi}{2} \left(\ln(e^2+e^{-2})- \ln 2 \right) \\&=\frac{\pi}{2} \left(\ln \left(\frac{e^2+e^{-2}}{2} \right) \right) \\& \approx 2.1$

El área superficial de la punta metálica es aproximadamente $2 \ \text{in}^2$ .

Análisis del Problema de la Sección

¿Puedes encontrar el volumen de un objeto cuya forma se genera rotando la función $f(x)=5 e^{-0.5 x} (0 \le x \le 3)$ sobre el eje $x$ ?

Usa los resultados de derivadas en la última sección: $\frac{d}{dx} [e^u]=e^u \frac{du}{dx} \Leftrightarrow \int e^u du=e^u+C$ .

El volúmen está dado por: $V &=\int\limits_0^3 \pi f^2(x)dx=\int\limits_0^3 25 \pi(e^{-0.5x})^2dx=25 \pi \int\limits_0^3 e^{-x}dx=-25 \pi e^{-x} \Bigg|_0^3 \\V &=25 \pi(1-e^{-3}) \approx 75 \ \text{in}^3$

Práctica guiada

Evalúa $\int\limits_0^1 \frac{5^x+6^x}{7^x} dx$ .

Solución:

Para resolver, reescribe cada exponencial en el integrando en términos de una base común $e$ , antes de evaluar:

$\int\limits_0^1 \frac{5^x+6^x}{7^x} dx &=\int\limits_0^1 \frac{(e^{\ln 5})^x + (e^{\ln 6})^x}{(e^{\ln 7})^x} dx \\& =\int\limits_0^1 \frac{e^{x \ln 5}+e^{x \ln 6}}{e^{x \ln 7}} dx \\& =\int\limits_0^1 \left[e^{x \ln \left ( \frac{5}{7} \right )}+e^{x \ln \left ( \frac{6}{7} \right )} \right] dx \\ & =\left[\frac{e^{x \ln \left ( \frac{5}{7} \right )}}{\ln \left (\frac{5}{7} \right )} + \frac{e^{x \ln \left ( \frac{6}{7} \right )}}{\ln \left ( \frac{6}{7} \right )} \right]_0^1 \\& =\frac{\frac{5}{7}-1}{\ln \left (\frac{5}{7} \right )} + \frac{\frac{6}{7}-1}{\ln \left ( \frac{6}{7} \right )} \\& =\frac{-2}{7 \ln \left (\frac{5}{7} \right )} + \frac{-1}{7 \ln \left ( \frac{6}{7} \right )}$

Práctica

Evalúa las siguientes integrales:

$\int 4e^x dx$
$\int 2e^{2x+3} dx$
$\int 5^{3x+2} dx$
$\int (7e^{-x} +2) dx$
$\int e^x(1+3e^x)^5 dx$
$\int 5^x(1-5^x)(1+5^x)^6 dx$
$\int \frac{1}{e^x} dx$
$\int \sqrt{e^x} dx$
$\int \frac{4x-3}{4x^2-6x+7} dx$
$\int \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}} dx$
$\int\limits_0^e \frac{dx}{x+e}$
$\int\limits_{- \ln 3}^{\ln 3} \frac{e^x}{e^x+4} dx$
$\int \frac{dx}{x \ln x}$
$\int\limits_1^{e^{\frac{\pi}{2}}} \frac{4 \cos(\ln x)}{x} dx$
$\int \frac{\ln x+5}{x(\ln^2 x+4 \ln x+4)} dx$

Pista: Divide el integrando en dos partes y sustituye $u$ .

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