Crecimiento y decrecimiento exponencial

Objetivos

En esta sección aprenderás a reconocer una forma de ecuación diferencial y su solución que expresa condiciones de crecimiento y decrecimiento exponencial.

Concepto

Cuando la tasa de cambio de la cantidad de una sustancia o población es proporcional a la cantidad presente en cualquier momento, decimos que esta sustancia o población está experimentando ya sea crecimiento o decrecimiento, dependiendo del signo de la constante de proporcionalidad. ¿Sabes cómo escribir una ecuación diferencial que exprese esta condición? Este tipo de crecimiento o decrecimiento, común en la naturaleza y en los negocios, se conoce como crecimiento exponencial o decrecimiento exponencial y está caracterizado por cambios rápidos.

Si la solución de la ecuación diferencial que gobierna la cantidad de tus cosas favoritas es $y=5 \cdot 0.3^t$ , ¿es esta una solución de crecimiento o decrecimiento? ¿Puedes escribir la ecuación diferencial para la cual $y=5 \cdot 0.3^t$ es la solución?

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Orientación

En esta sección veremos la formulación de crecimiento y decrecimiento exponencial, y algunas aplicaciones modeladas por crecimiento o decrecimiento exponencial.

El concepto de crecimiento o decrecimiento exponencial surge como la solución al problema de que la tasa de cambio de una cantidad, $y(t)$ , con respecto al tiempo, $t$ , varía directamente con la cantidad. La formulación matemática de esta ecuación diferencial y su solución general se pueden resumir como sigue:

Crecimiento o decrecimiento exponencial simple

Dada la ecuación diferencial: $\frac{dy}{dt}=ky$ , donde $k$ es una constante

Entonces: $y=Ce^{kt}$ es una solución a la ecuación diferencial con $y=C$ y $t=0$ .

Si $k > 0$ : La función $y$ representa crecimiento exponencial (valores crecientes).
Si $k < 0$ : La función $y$ representa decrecimiento exponencial (valores decrecientes).

Nótese: La formulación anterior para $y$ está expresada con base $b=e$ . La formulación general sería $y=Cb^{\frac{kt}{\ln b}}$ , donde $b$ es cualquier base tal que $b > 0$ y $b \ne 1$ .

La afirmación anterior viene de la solución a la ecuación diferencial:

$\frac{dy}{dt}=ky$

Separando variables,

$\frac{dy}{y}=kdt$

e integrando ambos lados,

$\int \frac{dy}{y}= \int kdt$ ,

nos da

$\ln y&=kt+C \\y&=e^{kt+C} \\&=e^{kt} e^C \\&=C e^{kt} \ \cdots \text{The general constant} \ C \ \text{is used as a replacement for} \ e^C.$

Aplicaciones de crecimiento y decrecimiento exponencial: Desintegración radioactiva

En física, la desintegración radioactiva es un proceso por el cual un núcleo de átomo inestable pierde energía emitiendo radiación en la forma de radiación electromagnética (como rayos gama) o partículas (como partículas alfa o beta). Durante este proceso, el núcleo continuará desintegrándose en una cadena de desintegraciones hasta que alcance un nuevo núcleo estable (conocido como isótopo). Los físicos miden la tasa de desintegración según el tiempo que le toma a una muestra perder la mitad de su núcelo debido a la desintegración radioactiva. Inicialmente, a medida que el núcleo comienza a desintegrarse, la tasa de cambio empieza siendo rápida y violenta, pero se ralentiza en el tiempo a medida que el núcleo se va desintegrando. La figura siguiente muestra una típica desintegración radioactiva de un núcleo. Como puedes ver, el gráfico tiene la forma de una función exponencial con $k < 0$ .

La ecuación que se usa para modelar la desintegración radioactiva es $y=Ce^{kt}$ . Para encontrar una expresión para la vida media de un isótopo, utiliza la definición de vida media como el tiempo que le toma a una muestra perder la mitad de su núcleo. Si hay una masa inicial $y=C$ (medida en gramos) en $t=0$ , entonces posteriormente $t=t_{\frac{1}{2}},y$ , será la mitad de la cantidad inicial, o $\frac{C}{2}$ . Esta relación se expresa en el modelo de decrecimiento como

$\frac{C}{2}=Ce^{kt_{\frac{1}{2}}}$ , o

$\frac{1}{2}=e^{kt_{\frac{1}{2}}}$

Resuelve para la vida media $t_{\frac{1}{2}}$ , sacando el logaritmo natural a ambos lados,

$\ln \frac{1}{2}&=\ln e^{kt_{\frac{1}{2}}} \\- \ln 2&=kt_{\frac{1}{2}} \\t_{\frac{1}{2}}&=- \frac{\ln 2}{k}$

La vida media es entonces,

$t_{\frac{1}{2}}=\frac{-\ln 2}{k}=\frac{-0.693}{k}$ .

Esta es una expresión famosa en física para medir la vida media de una sustancia si se conoce la constante de crecimiento $k$ También se puede usar para calcular $k$ si se conoce la vida media $t_{\frac{1}{2}}$ .

Ejemplo A

Una muestra radioactiva contiene dos gramos de nobelio. Si sabes que la vida media del nobelio es 25 segundos, ¿cuánto quedará después de 3 minutos?

Solución:

Antes de que calculemos la masa del nobelio luego de 3 minutos, necesitamos saber su tasa de desintegración $k$ . Usando la fórmula de vida media,

$t_{\frac{1}{2}}&=\frac{- \ln 2}{k} \\k&=\frac{- \ln 2}{t_{\frac{1}{2}}} \\&=\frac{- \ln 2}{25} \\&=-0.028 \ sec^{-1}$

Entonces la tasa de desintegración es $k=-0.028/sec$ . El Becquerel (Bq) es la unidad común para la tasa de desintegración. 1 Bq es equivalente a 1 desintegración por segundo.

Para calcular la masa después de 3 minutos (180 segundos) usa la fórmula de desintegración radioactiva:

$y&=Ce^{kt} \\&=2e^{(-0.028)(180)} \\&=0.013 \ \text{grams}$

Entonces luego de 3 minutos la masa del isótopo es aproximadamente de 0,013 gramos.

Aplicaciones de crecimiento y decrecimiento exponencial: Crecimiento poblacional

La misma fórmula $y=Ce^{kt}$ se puede usar para el crecimiento poblacional, excepto si $k > 0$ para una función creciente.

Ejemplo B

Cierta población de bacterias incrementa continuamente en una tasa que es proporcional a su número actual. La población inicial de bacteria es de 140; aumentó a 720 bacterias en 4 horas.

¿Cuántas bacterias habrá en 10 horas?
¿Cuánto demorará la población en duplicarse?

Solución:

Al leer la primera oración del problema, aprendemos que el número de bacterias incremente exponencialmente. Por lo tanto, la fórmula de crecimiento exponencial $y=Ce^{kt}$ es el modelo correcto a usar.

1. Como en el ejemplo anterior, primero encontramos $k$ , la tasa de crecimiento:

$y&=Ce^{kt} \\720&=140 e^{k(4)} \\\ln \frac{720}{140}&=k(4) \\1.6376&=k(4) \\0.409&=k$

Por lo tanto, $k=0.409$ .

Usando el valor de $k$ , podemos determinar cuántas bacterias habrá después de 10 horas.

$y&=Ce^{kt} \\&=140 e^{(0.409)(10)} \\&=8364 \ \text{bacteria}$

2. Encontrar el tiempo necesario para que la población se duplique significa encontrar el tiempo en que $y=2C$ .

$y&=Ce^{kt} \\2C&=Ce^{kt} \\2&=e^{kt} \\\ln 2&=kt$

Resolviendo para $t$ ,

$t&=\frac{\ln 2}{k} \\&=\frac{\ln 2}{0.409} \\&=1.7 \ \text{hours}$

La población de bacterias se duplicará luego de aproximadamente 1,7 horas (102 minutos).

Aplicaciones de crecimiento y decrecimiento exponencial: Interés compuesto continuo

Los inversionistas y banqueros dependen del interés compuesto para incrementar sus inversiones. Tradicionalmente los bancos sumaban un interés después de un cierto periodo de tiempo, como un mes o un año, y la frase era “el interés se acumula mensual o anualmente.” Con la llegada de los computadores esta acumulación se pudo hacer diariamente o incluso más seguido. Nuestro modelo exponencial representa una acumulación continua o instantánea, y es un buen modelo de prácticas bancarias actuales. Nuestro modelo sostiene que

$A=Pe^{rt},$

donde $P$ es la inversión inicial (valor actual) y $A$ es el valor futuro de la inversión luego de un tiempo $t$ a una tasa de interés de $r$ . La tasa de interés $r$ se da comúnmente en porcentaje por año. La tasa se debe convertir a un número decimal, y $t$ se debe expresar en años.

Ejemplo C

Un inversionista invierte una cantidad de 10.000 y descubre que su valor se ha doblado en 5 años.

1. ¿Cuál es la tasa de interés anual que tiene esta inversión?

2. ¿En cuánto tiempo de triplicará el dinero invertido?

Solución:

1. Para encontrar la tasa de interés usamos el modelo de crecimiento exponencial para interés compuesto continuo,

$A&=Pe^{rt} \\20,000&=10,000 e^{r(5)} \\2&=e^{5r}$

Entonces,

$r&=\frac{\ln 2}{5} \\&=0.139 \\r&=13.9 \%$

La inversión ha crecido a una tasa de 13,9% por año.

2. Para saber en cuanto tiempo se triplicará el dinero invertido, usamos el modelo de crecimiento nuevamente:

$A&=Pe^{rt} \\30,000&=10,000 e^{(0.139)t} \\3&=e^{0.139 \ t} \\\ln 3&=0.139 \ t \\t&=\frac{\ln 3}{0.139} \\&=7.9 \ \text{years}$

Aplicaciones de crecimiento y decrecimiento exponencial: Otros modelos

No todos los modelos de crecimiento y decrecimiento exponencial son de la forma $y=Ce^{kt}$ . Algunas usan una base diferente a la base natural $e$ ; algunos son soluciones a ecuaciones diferenciales que no son $\frac{dy}{dx}=ky$ . De hecho, en la vida cotidiana la mayoría se construyen en base a información empírica y técnicas de regresión.

Ejemplo D

Supongamos que en el mundo de los negocios la función de demanda por el precio de una motocicleta se describe en la fórmula

$p=12,400- \frac{11,000}{2.2+e^{-0.0003 x}}$

donde $p$ es el precio de motocicleta por unidad y $x$ es el número de unidades producidas. Si el negocio está interesado en basar el precio por unidad en el número de ventas proyectado, esta fórmula se vuelve muy útil.

Si una fábrica de motocicletas proyecta ventas por 7000 unidades en un mes, ¿qué precio debería fijar la fábrica para cada motocicleta?

Solución:

$p&=12,400- \frac{11,000}{2.2+e^{0.0003 x}} \\&=12,400- \frac{11,000}{2.2+e^{0.0003(7000)}} \\&=12,400- \frac{11,000}{2.2+0.122} \\&=7,663.$

Por lo tanto el precio base de la fábrica por cada motocicleta debe ser fijado en $7.663.

Análisis del Problema de la Sección

Si la solución de una ecuación diferencial es $y=5 \cdot 0.3^t$ , ¿es una solución de crecimiento o decrecimiento? ¿Puedes escribir la ecuación diferencial para la cual $y=5 \cdot 0.3^t$ es la solución?

$y=5 \cdot 0.3^t$ es una función exponencial del tipo $f(x)=b^x$ , donde $b=0.3$ . A medida que $t$ incremente, $y=5 \cdot 0.3^t$ disminuye. La función representa decrecimiento exponencial. También podemos escribir la ecuación de la siguiente forma: $y=5 \cdot 0.3^t=5 \cdot (e^{\ln 0.3})^t=5 \cdot e^{-1.2 t}$ . Así es más claro que esta es una función decreciente.

Ya que $y=5 \cdot 0.3^t$ es la solución a una ecuación diferencial donde la tasa de cambio de la función es proporcional a la función, podemos escribir

$\frac{d}{dx}(5 \cdot0.3^t)&=k(5 \cdot0.3^t) \\5 \cdot \ln \ 0.3 \cdot (0.3^t)&=k(5 \cdot 0.3^t) \\k&=\ln \ 0.3=-1.2$

La ecuación diferencial es: $\frac{dy}{dx}=-1.2 \ y$

Vocabulario

crecimiento y decrecimiento exponencial se obtienen de la función exponencial $y=b^{ax}$ donde $b > 1$ , y $a > 0$ para crecimiento y $a < 0$ para decrecimiento.

Práctica guiada

Un investigador médico está estudiando la propagación de un virus de gripe en un cierto campus durante los meses de invierno. El modelo de la propagación está descrito por

$P=\frac{4500}{1+4499 e^{-0.8 x}}, x \ge 0$

donde $P$ representa el número total de estudiantes infectados y $x$ es el tiempo, medido en días.

1. ¿Cuántos estudiantes estarán infectados la próxima semana (7 días)?

2. ¿En cuánto tiempo habrá el virus de gripe infectado a 1000 estudiantes?

Solución:

1. Usamos el modelo $P=\frac{4500}{1+4499 e^{-0.8 x}}$ con $x=7$ para determinar el número de estudiantes infectados la próxima semana.

$P&=\frac{4500}{1+4499 e^{-0.8 x}} \\&=\frac{4500}{1+4499 e^{-0.8(7)}} \\&=\frac{4500}{1+4499(0.004)} \\&=255.$

De acuerdo al modelo, 255 estudiantes estarán infectados con el virus de gripe.

2. Usamos el modelo $P=\frac{4500}{1+4499 e^{-0.8 x}}$ y resolvemos para $x$ en términos de $P$ . $P=\frac{4500}{1+4499 e^{-0.8 x}}$ .

Multiplicamos cruzado,

$P(1+4499 e^{-0.8 x})&=4500 \\1+4499 e^{-0.8 x}&=\frac{4500}{P} \\4499 e^{-0.8 x}&=\frac{4500}{P}-1 \\&=\frac{4500-P}{P} \\e^{-0.8 x}&=\frac{4500-P}{4499 \ P}.$

Sacamos el log natural a ambos lados,

$-0.8 x&=\ln \left[\frac{4500-P}{4499 \ P} \right] \\x&=\ln \left[\frac{4500-P}{4499 \ P} \right] \div (-0.8).$

Sustituimos por $P=1000$ ,

$x=9 \ \text{days}$ .

Por lo tanto el virus de gripe se propagará a 1000 estudiantes en 9 días.

Práctica

1. En 1990 la población de los EE.UU. era de 249 millones. Supongamos que la tasa de crecimiento es de 1,8%.
1. De acuerdo a este modelo, ¿cuál era la población en el año 2000?
2. De acuerdo a este modelo, ¿en qué año habrá una población de 1000 millones?
Prueba que si una cantidad $A$ está creciendo exponencialmente y si $A_1$ es el valor a $t_1$ y $A_2$ en el momento $t_2$ , entonces la tasa de crecimiento estará dada por $k=\frac{1}{t_1-t_2} \ln \left(\frac{A_1}{A_2} \right)$ .
La ley de enfriamiento de Newton sostiene que la tasa de enfriamiento de un objeto con respecto a la temperatura de su entorno es proporcional a la diferencia de temperatura entre el objeto y su entorno.
1. Escribe la ecuación diferencial que expresa la ley de enfriamiento de Newton. Pista: Escribe la ecuación usando la variable dependiente $D=T(t)-T_r$ donde $T_r$ es la temperatura de la habitación (el entorno)
2. Demuestra que la fórmula $T(t)=(T_0-T_r)e^{-kt}+T_r$ satisface la ecuación, donde $T_0$ es la temperatura inicial del objeto a $t=0$ y $k$ es una constante que es única para el instrumento de medición (el termómetro) llamada la constante tiempo.
Supongamos que un litro de jugo a $23^\circ C$ es puesto en el refrigerador. Si la temperatura del refrigerador se mantiene a $11^\circ C$ y $k=0.417$ , utiliza la ley de enfriamiento de Newton para encontrar la temperatura del juego después de 3 minutos.
5. Respecto al problema #3, si a un objeto le toma 320 segundos enfriarse desde $40^\circ C$ sobre la temperatura ambiente a $22^\circ C$ sobre la temperatura ambiente, ¿cuánto tiempo tardará enfriarlo a $10^\circ C$ después que alcance $22^\circ C$ sobre la temperatura ambiente?
El polonio-210 es un isótopo radioactivo que tiene una vida media de 140 días. Si una muestra tiene una masa de 10 gramos, ¿cuánto quedará después de 10 semanas?
Un modelo logarítmico: En la física de la acústica hay una relación entre la sensación subjetiva de volumen y la intensidad de sonido medida físicamente. Esta relación se conoce como intensidad de sonido . Está especificada en una escala logarítmica y medida con unidades de decibeles (dB). La intensidad de sonido (en decibeles, dB) de cualquier sonido está definida en términos de su intensidad (medida en watts por pie cuadrado, , en el sistema de unidades SI-MKS): , donde es un umbral estándar de audición humana a 1000 Hz. Un de 0 dB es el umbral de audición, es decir, el sonido mínimo que pueden escuchar los humanos. Una intensidad de sonido de 120 dB se considera el umbral de dolor para el oído humano.
1. Si un medidor de decibeles registra 130 dB en un concierto de rock pesado, ¿cuál es la intensidad $I$ de este sonido?
2. ¿Cuál es la intensidad de sonido (en dB) de un sonido cuya magnitud es $2.0 \times 10^{-6} \frac{W}{m^2}$ ?
Respecto al problema #7, si un mosquito a 10 metros de una persona emite un sonido que esa persona apenas puede oír (umbral 0 dB), ¿cuál será la intensidad de sonido de 1000 mosquitos a la misma distancia?
Respecto al problema #7, si una máquina ruidosa de una fábrica produce 90 dB a cierta distancia, ¿cuál es la intensidad de sonido combinada cuando se pone una máquina idéntica al lado de ésta?
Al final de las noticias escuchas que el hecho de que tu ciudad ha estado creciendo a una tasa anual de 5% por los últimos 6 años significa que su población, a este ritmo, será de 50.000 personas en 2 años. ¿Cuál era la población hace 3 años?
La masa de una sustancia radioactiva es actualmente 20 gramos, pero era de 25 gramos hace dos semanas. ¿Cuál es la vida media de la sustancia?
Una motocicleta vale $10.000 y pierde valor a una tasa de 6,5% por año, ¿cuánto valdrá en 5 años?
Un modelo logarítmico: En la escala Richter, la magnitud, $R$ , de un terremoto de intensidad $I$ está dada por $R= \log \frac{I}{I_0}$ , donde $I_0=1$ es la intensidad de referencia. La intensidad es una medida de la energía de onda de un terremoto. Para dos terremotos con magnitudes Richter de 4 y 7,9, ¿cuáles son las intensidades respectivas?
En un campus universitario de 2000 estudiantes, un estudiante regresa de unas vacaciones con un contagioso virus de gripe. La propagación del virus está modelada por la función de crecimiento logístico $y=\frac{2000}{1+1999 e^{-0.7 t}} \ \text{for} \ t \ge 0$ donde $y$ es el número total de estudiantes infectados después de $t$ días. La universidad cancelará las clases cuando 10% de los estudiantes o más estén infectados. ¿Después de cuántos días se cancelarán las clases en la universidad?
La cantidad de dinero, $A$ , acumulada en una cuenta que genera interés compuesto está dada por la fórmula $A=P \left[1+ \frac{r}{n} \right]^{nt}$ , donde $P$ es el depósito inicial, $r$ es la tasa de interés, $n$ es el número de períodos de intereses por año, y $t$ es el número de años. Demuestra que a medida que $n \rightarrow \infty$ , la ganancia acumulada está dada por la fórmula de interés compuesto continuo $A=Pe^{rt}$ .