Funciones trigonométricas inversas

Objetivos

En esta sección aprenderás sobre las seis funciones trigonométricas inversas y sus propiedades básicas.

Concepto

Ya conoces las seis funciones trigonométricas y sus relaciones con los ángulos y lados de los triángulos rectángulos. ¿Y si estuvieras más interesado en los triángulos? ¿Sabrías cómo encontrar un ángulo dado el valor de una función trigonométrica?

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*Este video solo está disponible en inglés

http://www.youtube.com/watch?v=JutzksM5PN4 - James Sousa: Introducción a las Funciones Trigonométricas Inversas

Orientación

You already know the six trigonometric functions: $\sin x, \cos x, \tan x, \csc x, \sec x, \cot x$ . Pero, ¿hay funciones trigonométricas inversas? La respuesta es sí, pero hay que establecer algunas restricciones al dominio de cada una de las seis funciones antes de poder encontrar una inversa.

Si preguntamos a qué es igual $\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)$ la respuesta es $\frac{1}{2}$ . Eso es muy simple. Y qué pasa si preguntamos qué ángulo tiene un seno de $\frac{1}{2}$ ? La función trigonométrica inversa nos da la respuesta. Entonces decimos que $\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)$ , pero $\sin^{-1} \left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{\pi}{6}\right)$ . Nótese que el recorrido de la inversa está en unidades de radianes, no en grados. La “ $\sin^{-1}$ ” es la notación para la inversa de la función seno. Para cada una de las seis funciones trigonométricas hay una función inversa asociada. Éstas se denotan como sigue:

Función trigonométrica o pares inversos
$\sin x \leftrightarrow \sin^{-1} x \equiv \arcsin x$	$\csc x \leftrightarrow \csc^{-1}x \equiv \text{arccsc } x$
$\cos x \leftrightarrow \cos^{-1}x \equiv \arccos x$	$\sec x \leftrightarrow \sec^{-1}x \equiv \text{arcsec } x$
$\tan x \leftrightarrow \tan^{-1}x \equiv \arctan x$	$\tan x \leftrightarrow \cot^{-1}x \equiv \text{arccot } x$

La notación que usa “arc” como prefijo es una manera alternativa de indicar la función inversa.

Hay algo importante que debemos recordar: ya que todas son funciones periódicas, ninguna de las funciones trigonométricas pasa la prueba de la recta horizontal . Es decir, no son funciones de uno a uno. (Recordemos el Capítulo I, una función es de uno a uno solo si cada elemento de su recorrido corresponde a exactamente un elemento de su dominio). Pero si restringimos el dominio de cada una de las seis funciones trigonométricas tal que cada función sea de uno a uno, podemos definir una función inversa para cada función. Y eso es lo que se hace.

La tabla a continuación proporciona un breve resumen de las características de las seis funciones trigonométricas inversas.

Función Inversa	Dominio	Recorrido	Propiedades Básicas
$\sin^{-1} x$	$-1 \le x \le 1$	$\frac{-\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$	$\sin^{-1} (\sin x)=\sin (\sin^{-1}x)=x$
$\cos^{-1}x$	$-1 \le x \le 1$	$0 \le y \le \pi$	$\cos^{-1} (\cos x)=\cos (\cos^{-1}x)=x$
$\tan^{-1}x$	todo $R$	$\left(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$	$\tan^{-1}(\tan x)=\tan (\tan^{-1}x)=x$
$\csc^{-1}x$	$(-\infty, -1] \cup [1, + \infty)$ $\|x\| \ge 1$	$\frac{-\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$ $y \neq 0$	$\csc^{-1} (\csc x)=\csc (\csc^{-1}x)=x$
$\sec^{-1}x$	$(-\infty, -1] \cup [1+\infty)$ $\|x\| \ge 1$	$\left[0, \frac{\pi}{2} \right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi \right]$	$\sec^{-1} (\sec x)=\sec (\sec^{-1}x)=x$
$\cot^{-1}x$	todo $R$	$0 < y < \pi$	$\cot^{-1} (\cot x)=\cot (\cot^{-1}x)=x$

El recorrido está basado en limitar el dominio de la función original para que sea una función de uno a uno.

A continuación se muestran los gráficos de las seis funciones trigonométricas inversas.

Aquí tenemos algunos ejemplos de cómo usar las funciones inversas.

Ejemplo A

¿Cuál es el valor exacto de $\sin^{-1} =\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ ?

Solución:

Esto es equivalente a $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Entonces $\sin^{-1} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{3} \ \text{radians}$ .

Puedes confirmar este resultado fácilmente usando la relación $1-\sqrt{3}-2$ para los lados de un triángulo 30-60-90 y la definición de función seno, o puedes usar tu calculadora científica.

Identidades y atajos útiles

Las siguientes identidades son útiles al relacionar funciones trigonométricas inversas:

Identidades de funciones trigonométricas inversas

$\cos^{-1}x &= \frac{\pi}{2}-\sin^{-1}x\\\cot^{-1}x &= \frac{\pi}{2}-\tan^{-1}x\\\csc^{-1}x&= \frac{\pi}{2}-\sec^{-1}x$

Muchas calculadoras tiene inversa para solamente funciones de seno, coseno y tangente, por lo que calcular $\sec^{-1}x$ o $\csc^{-1}x$ puede ser engorroso. Sin embargo hay formas prácticas para calcular la inversa de funciones secante, cosecante y cotangente, las cuales son:

Atajos de funciones trigonométricas inversas

$\csc^{-1}x &= \sin^{-1}\frac{1}{x}\\\sec^{-1}x &= \cos^{-1} \left(\frac{1}{x}\right)\\\cot^{-1}x &= \frac{\pi}{2}-\tan^{-1}x$

La relación para $\sec^{-1}x$ se deriva del proceso:

Si $\sec \theta =\frac{1}{\cos \theta}=x$ , entonces $\cos \theta =\frac{1}{x}$ .

Esto significa que $\cos^{-1} (\cos \theta)=\cos^{-1} \left(\frac{1}{x}\right)=\theta$ .

Por lo tanto el truco es: $\sec^{-1} (\sec \theta)=\sec^{-1}x=\cos^{-1} \left(\frac{1}{x}\right)$

La relación para la cosecante inversa se puede derivar de una manera similar.

Ejemplo B

Encuentra $\sec^{-1} (3.24)$ usando solamente las funciones inversas de seno, coseno y tangente de tu calculadora.

Solución:

Usa la relación: $\sec^{-1}x=\cos^{-1} \left(\frac{1}{x}\right)$ .

Ya que

$\frac{1}{x} = \frac{1}{3.24} &= 0.3086,\\\sec^{-1} 3.24 &= \cos^{-1} 0.3086=72^\circ \equiv \frac{2\pi}{5} \ \text{radians}.$

Ejemplo C

Encuentra el valor exacto de la composición $\sin \left ( \arctan \frac{5}{12} \right )$ .

Solución:

El problema requiere encontrar $\sin \theta$ , donde $\theta=\arctan \frac{5}{12}$ .

La figura a continuación se puede usar como referencia.

Si $\theta=\arctan \frac{5}{12}$ , entonces $\tan \theta=\tan \left ( \arctan \frac{5}{12} \right )=\frac{5}{12}=\frac{y}{x}$ .

Esto significa que $\sin \theta=\frac{y}{r}=\frac{5}{\sqrt{12^2+5^2}}=\frac{5}{\sqrt{169}}=\frac{5}{13}$ .

Por lo tanto, $\sin \left(\arctan \frac{5}{12}\right)=\frac{5}{13}$ .

Vocabulario

Una función invertible es una función que tiene una inversa.

Una función uno a uno es una función tal que $f(a) \neq f(b)$ para cualquier $a \neq b$ ; es una función cuyo gráfico pasa la prueba de la recta horizontal

Prueba de la recta horizontal si una recta horizontal dibujada a través de un gráfico lo intersecta en solo un punto, la función es de uno a uno; de no ser así la función no es de uno a uno.

Práctica guiada

Encuentra el valor exacto de la composición $\cot \left(\csc^{-1}-\frac{13}{12}\right)$ .

Solución:

El problema requiere encontrar $\cot \theta$ , donde $\theta=\csc^{-1}-\frac{13}{12}$ .

Por la identidad $\csc^{-1}x=\sin^{-1}\frac{1}{x}$ , tenemos que $\csc^{-1}-\frac{13}{12}=\sin^{-1}-\frac{12}{13}=\theta$ , o $\sin \theta=-\frac{12}{13}$ . Ya que $\sin \theta<0$ , y el dominio de $\sin \theta$ es $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ , sabemos que $-\frac{\pi}{2} < \theta <0$ . Esto significa que $\cos \theta > 0 \ (\cos x=\cos (-x))$ , entonces $\cot \theta < 0$ .

Podemos usar la figura a continuación para determinar $\cot \theta$ .

$\cot \theta=\frac{1}{\tan \theta}=-\frac{1}{\frac{12}{x}}=-\frac{1}{\frac{12}{\sqrt{13^2-12^2}}}=-\frac{5}{12}$

Por lo tanto, $\cot \left(\csc^{-1} -\frac{13}{12}\right)=-\frac{5}{12}$ .

Práctica

Encuentra el valor exacto de cada expresión sin usar una calculadora:

$\sin^{-1} 0$
$\arccos (-1)$
$\tan^{-1} (-1)$
$\cot^{-1} \left(-\sqrt{3}\right)$
$\text{arccsc} (-2)$
$\sec^{-1} \frac{2 \sqrt{3}}{3}$
$\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
$\sin \left(\arccos \frac{1}{4}\right)$
$\tan \left(\arccos \frac{3}{4}\right)$
$\sin \left(\tan^{-1} \frac{3}{2}\right)$
$\sec \left(\csc^{-1}- \frac{15}{8}\right)$
$\cos \left(\sin^{-1} \frac{2}{3}\right)$
$\sin \left(\tan^{-1} \frac{3}{2}\right)$
$\sec \left(\cot^{-1}-\frac{15}{8}\right)$
$\tan \left(\cos^{-1}-\frac{5}{13}\right)$

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