Integrales de funciones trigonométricas inversas

Objetivos

En esta sección aprenderás a evaluar tipos de integrales cuyas soluciones involucran funciones trigonométricas inversas.

Concepto

Las funciones trigonométricas inversas pueden servir como soluciones a muchos problemas. Para algunos problemas una función trigonométrica inversa proporciona un ángulo (en radianes) asociado con algún triángulo rectángulo en particular. Pero, para otros problemas, una función trigonométrica inversa es una solución para un cierto tipo de integral, y no representa la medida de un ángulo. Por ejemplo, una función trigonométrica inversa es una solución a la siguiente integral: $\int\frac{1}{x^2-6x+13}dx$ . ¿Sabes qué función inversa es la solución?

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http://www.youtube.com/watch?v=J6MvP8SYVfo - Videos Tutoriales de Matemáticas de James Sousa, Integración de Funciones Trigonométricas Inversas, Parte 1 (7:39)

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http://www.youtube.com/watch?v=ypoOeSJjp4k - Videos Tutoriales de Matemáticas de James Sousa, Integración de Funciones Trigonométricas Inversas, Parte 2 (6:39)

Este último video incluye un ejemplo que muestra cómo completar el cuadrado.

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http://www.youtube.com/watch?v=SYYbQODGTUw - Videos Tutoriales de Matemáticas de James Sousa, Integración de Funciones Trigonométricas Inversas, Parte 3 (6:18).

Orientación

Cada una de las fórmulas derivativas presentadas en la sección anterior para las funciones trigonométricas inversas puede ser asociada con una ecuación integral. Por ejemplo,

$\frac{d}{dx}[\arcsin x]=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\Leftrightarrow \int d[\arcsin x] = \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx=\arcsin x+C .$

Aplicar este procedimiento a la derivada de cada función trigonométrica inversa resulta en estas relaciones:

**Integrales de funciones trigonométricas inversas Forma simple**
$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\sin^{-1} x+C$	$\int \frac{1}{\|x\|\sqrt{x^2-1}}dx=-\csc^{-1}x+C$
$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=-\cos^{-1} x+C$	$\int \frac{1}{\|x\|\sqrt{x^2-1}}dx=\sec^{-1}x+C$
$\int\frac{1}{1-x^2}dx=\tan^{-1} x+C$	$\int \frac{1}{1+x^2}dx=-\cot^{-1}x+C$

Nótese que hay 3 formas de integrandos diferentes. Estas formas de integrandos se pueden generalizar para proporcionar un conjunto mayor de integrales que se pueden expresar como funciones trigonométricas inversas sustituyendo $u$ en $u=\frac{b}{a}x$ :

$\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} &\Rightarrow \frac{Adx}{\sqrt{a^2-b^2 x^2}}=\frac{A}{a}\frac{dx}{\sqrt{1-\left(\frac{b}{a}x\right)^2}}=\frac{A}{a}\frac{a}{b}\frac{du}{\sqrt{1-u^2}} \ \qquad \qquad =\frac{A}{b}\cdot \frac{du}{\sqrt{1-u^2}}\\\frac{dx}{1+x^2} &\Rightarrow \frac{A}{a^2+b^2x^2}dx=\frac{A}{a^2}\frac{1}{1+\left(\frac{b}{a}x\right)^2}dx=\frac{A}{a^2}\cdot\frac{a}{b}\frac{du}{1+u^2} \ \qquad \qquad =\frac{A}{ab}\cdot \frac{du}{1+u^2}\\\frac{dx}{|x|\sqrt{x^2-1}} &\Rightarrow \frac{Adx}{|x|\sqrt{b^2x^2-a^2}}=\frac{Adx}{\Big |\frac{b}{a}x \Big |\frac{a^2}{b}\sqrt{\left(\frac{b}{a}x\right)^2-1}}=\frac{Ab}{a^2}\frac{a}{b}\frac{du}{|u|\sqrt{u^2-1}} = \frac{A}{a}\cdot \frac{du}{|u|\sqrt{u^2-1}}$

donde $A,a,$ y $b$ son constantes.

Las integrales de este conjunto generalizado de integrandos también se pueden expresar en términos de las funciones trigonométricas inversas como se presenta en la tabla siguiente:

Integrales con funciones trigonométricas inversas: Forma general $A, a,$ y $b$ son constantes
$\int\frac{A}{\sqrt{a^2-b^2 x^2}}dx =\frac{A}{b}\sin^{-1} \frac{bx}{a}+C$	$\int\frac{A}{\|bx\|\sqrt{b^2x^2-a^2}}dx=-\frac{A}{ab}\csc^{-1}\frac{b}{a}x+C$
$\int\frac{A}{\sqrt{a^2-b^2 x^2}}dx =-\frac{A}{b}\cos^{-1} \frac{bx}{a}+C$	$\int\frac{A}{\|bx\|\sqrt{b^2x^2-a^2}}dx=\frac{A}{ab}\sec^{-1}\frac{b}{a}x+C$
$\int\frac{A}{a^2+b^2 x^2}dx= \frac{A}{ab}\tan^{-1} \frac{b}{a}x+C$	$\int\frac{A}{a^2+b^2x^2}dx=-\frac{A}{ab}\cot^{-1}\frac{b}{a}x+C$

Nuevamente, nótese que al sustituir $u$ en $u=\frac{b}{a}x$ , permite que cada uno de los integrandos generales se escriba en la forma simple de integrando.

Ejemplo A

Evalúa las integrales:

1. $\int \frac{dx}{1+4x^2}$ .

2. $\int \frac{5}{3x\sqrt{4x^4-1}}dx$ .

Solución:

1. Antes de integrar $\int \frac{dx}{1+4x^2}$ , usamos sustituimos $u$ . Digamos que $u=\frac{b}{a}x=2x$ (la raíz cuadrada de $4x^2$ ).

Entonces $du= 2dx$

Sustituyendo,

$\int \frac{dx}{1+4x^2} &=\int \frac{1}{1+u^2}\frac{du}{2}\\&=\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+u^2}du\\&=\frac{1}{2}[\tan ^{-1}u+C]\\\int \frac{dx}{1+4x^2} &= \frac{1}{2} \tan^{-1}2x+C \ldots \text{or} =-\frac{1}{2}\cot^{-1}2x+C$

2. Antes de integrar $\int\frac{5}{3x\sqrt{4x^4-1}}dx$ , usamos sustituimos $u$ . Digamos que $u=2x^2$ .

Entonces $du=4xdx$ , o $\frac{du}{4}=xdx$ .

Sustituyendo,

$\int\frac{5dx}{3x\sqrt{4x^4-1}} &=\int\frac{5xdx}{3x^2\sqrt{4x^4-1}}\quad \ldots \text{Notice the extra }x \text{ in the numerator and denominator} \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \text{to accommodate } \frac{du}{2}=xdx \text{ in the next line.}\\&=\frac{5}{3}\int\frac{1}{\Big | \frac{u}{2} \Big |\sqrt{u^2-1}}\frac{du}{4}\\&=\frac{5}{6}\int\frac{1}{|u|\sqrt{u^2-1}}du\\&=\frac{5}{6}\sec^{-1}u+C\\&=\frac{5}{6}\sec^{-1}2x^2+C$

Por lo tanto, $\int\frac{5dx}{3x\sqrt{4x^4-1}}=\frac{5}{6}\sec^{-1}2x^2+C$ .

Ejemplo B

Evalúa $\int\frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}dx$ .

Solución:

Antes de integrar, usamos sustituimos $u$ . Digamos que $u=e^x$ .

Entonces $du=e^x dx$ .

Sustituyendo,

$\int\frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}dx & = \int\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}du\\&=\sin^{-1}u+C \ \ldots \text{or}-\cos^{-1}u+C\\\int\frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}dx &=\sin^{-1}e^x+C \ldots \text{or}-\cos^{-1}e^x+C\\$

Completar el cuadrado cuando el integrando es una cuadrática

En algunos casos, un integrando que es cuadrático pero no es de una de las tres formas generales mencionadas anteriormente puede modificarse a la forma adecuada con la técnica de “completar el cuadrado” . Siempre busca esta posibilidad.

Ejemplo C

Evalúa la integral $\int\frac{5}{2x^2+4x+9}dx$

Solución:

Si el denominador del integrando se puede modificar a la forma $a^2+b^2x^2$ , entonces una función tangente o cotangente inversa puede ser una solución. Intenta cambiar el denominador completando el cuadrado como sigue:

$\int\frac{5}{2x^2+4x+9}dx &=\frac{5}{2}\int\frac{1}{x^2+2x+\frac{9}{2}}dx\\&=\frac{5}{2}\int\frac{1}{(x^2+2x+1)-1+\frac{9}{2}}dx\\&=\frac{5}{2}\int\frac{1}{(x+1)^2+\frac{7}{2}}dx \qquad \qquad \ldots \text{The square has been completed.}\\&\qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ \text{Now let }u=x+1\text{, and } du=dx.\\&=\frac{5}{2}\int\frac{1}{u^2+\left(\sqrt{\frac{7}{2}}\right)^2}dx\\&=\frac{\frac{5}{2}}{\sqrt{\frac{7}{2}}}\tan^{-1}\frac{1}{\sqrt{\frac{7}{2}}}u+C\\&=\frac{5\sqrt{14}}{14}\tan^{-1}\left[\frac{\sqrt{14}}{7}(x+1)\right]+C$

Análisis del Problema de la Sección

¿Sabes qué función inversa es la solución a la integral $\int\frac{1}{x^2-6x+13}dx$ ?

Aunque el integrando puede parecer no tener relación a cualquier función trigonométrica o inversa, éste se puede transformar para que la integral si tenga relación. Al usar “completar el cuadrado” y sustituir $u$ la integral se evalúa como sigue:

$\int\frac{1}{x^2-6x+13}dx=\int\frac{1}{(x-3)^2+4}dx=\frac{1}{4}\int\frac{1}{\left(\frac{x-3}{2}\right)^2+1}dx=\frac{1}{2}\tan^{-1}\left(\frac{x-3}{2}\right)+C.$

Por lo tanto, la solución de la integral está relacionada a la tangente inversa.

Práctica guiada

Evalúa la integral definida por $\int\limits_{\ln 2}^{\ln \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)}\frac{e^{-x}}{\sqrt{1-e^{-2x}}}dx$ .

Solución:

Sustituyendo $u$ , $u=e^{-x}$ y $du=-e^{-x}dx$ .

Los límites de integración ahora son: $u=e^{-\ln 2} =\frac{1}{2}$ y $u=e^{-\ln\frac{2}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Por lo tanto nuestra integral queda

$\int_{\ln 2}^{\ln\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)}\frac{e^{-x}}{\sqrt{1-e^{-2x}}}dx &=\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\frac{-u}{\sqrt{1-u^2}}\frac{du}{u}\\&=\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}du\\&=-\sin^{-1}u \Big |_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\\&=-\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\\&=-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\\&=-\frac{\pi}{6}$

Por lo tanto, $\int\limits_{\ln 2}^{\ln\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)}\frac{e^{-x}}{\sqrt{1-e^{-2x}}}dx=-\frac{\pi}{6}$ .

Práctica

Evalúa las integrales

$\int\frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}$
$\int\limits_{1}^{3}\frac{dx}{\sqrt{x}(x+1)}$
$\int\frac{x-3}{x^2+1}dx$
$\int\limits_{-\sqrt{3}}^{0}\frac{x}{1+x^2}dx$
Dados los puntos $A(2,1)$ y $B(5,4)$ , encuentra un punto $Q$ en el intervalo $[2,5]$ en el eje $x$ que maximiza el ángulo $\measuredangle AQB$ .
Evalúa la integral $\int\frac{2}{x\sqrt{x^2-1}}dx$
Evalúa la integral $\int\frac{5x+4}{9x^2+1}dx$
Encuentra el volumen de un sólido generado al rotar la región limitada por $y=\frac{1}{\sqrt{1+4x^2}}$ , $x=0$ , y $x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ sobre el eje $x$ .
Evalúa la integral $\int\frac{e^{2x}}{7+e^{4x}}dx$ , Pista: Usa $u=e^{2x}$ .
Evalúa la integral $\int\frac{3}{x^2+8x+17}dx$ , Pista: Primero completa el cuadrado en el polinomio del denominador, luego usa sustituye $u$ para el cuadrado en el denominador.
Encuentra el área limitada por la curva $\sqrt{9-x^2}\cdot y=1$ y las rectas $x=0$ , $x=2$ y $y=0$ .
Evalúa la integral $\int\frac{x+2}{\sqrt{4-x^2}}dx$ ; Pista: Divide el integrando.
Evalúa la integral $\int\frac{3x^5}{x^4+1}dx$
Evalúa la integral $\int \frac{5e^x}{\sqrt{81-4e^{2x}}}dx$
Evalúa la integral $\int\frac{2x+5}{x^2-4x+6}dx$ Pista: Divide el numerador en dos partes cuya suma sea igual a la derivada del denominador.

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