Funciones hiperbólicas

Objetivos

En esta sección aprenderás a reconocer y usar las seis funciones hiperbólicas.

Concepto

Las funciones hiperbólicas son un conjunto de funciones con definiciones y algunas propiedades que son semejantes al conjunto de funciones trigonométricas. Pero, las funciones hiperbólicas son funciones exponenciales y, por lo tanto, no son periódicas. Son útiles para describir fenómenos físicos (por ejemplo, velocidad de las olas o el movimiento de un objeto en un fluido) por su conveniencia al resolver ecuaciones diferenciales. Las funciones hiperbólicas fueron importantes para la, Teoría de la Relatividad Especial de Einstein en las ecuaciones de transformación relacionadas a diferentes marcos de referencia . Además, algunas funciones hiperbólicas son útiles al describir la forma y características de la forma física de un cable de alta tensión, o de un collar, o la arquitectura de algunas estructuras conocidas. ¿Sabes el nombre de la forma física descrita por la función hiperbólica?

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http://www.youtube.com/watch?v=kvh9sDvpcDo - Videos Tutoriales de Matemáticas de James Sousa: Introducción a las Funciones Hiperbólicas

Orientación

Al igual que con las funciones trigonométricas, hay un seno hiperbólico y un coseno hiperbólico que forman la base para definir las otras funciones hiperbólicas. Las definiciones del seno hiperbólico ( $\sinh x$ , pronunciado “seno hiperbólico de x”) y del coseno hiperbólico ( $\cosh x$ , pronunciado “coseno hiperbólico de x”), y de las funciones hiperbólicas relacionadas son las siguientes:

**Definiciones de las funciones hiperbólicas**
$\sinh x=\frac{{e^x}-{e^{-x}}}{2}$	$\text{csch} \ x=\frac{1}{\sinh x}=\frac{2}{{e^x}-{e^{-x}}}$
$\cosh x=\frac{{e^x}+{e^{-x}}}{2}$	$\text{sech} \ x=\frac{1}{\cosh x}=\frac{2}{{e^x}+{e^{-x}}}$
$\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{{e^x}-{e^{-x}}}{{e^x}+{e^{-x}}}$	$\coth x=\frac{1}{\tanh x}=\frac{{e^x}+{e^{-x}}}{{e^x}-{e^{-x}}}$

Los gráficos de estas funciones se muestran en las siguientes figuras.

Ejemplo A

En dinámica de fluidos, la teoría de la onda lineal predice que la velocidad $v$ de una ola del océano se puede aproximar como: $v=\sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}\tanh \left ( 2\pi\frac{d}{\lambda} \right )}$ , donde

$\lambda$ es la longitud de onda de la ola (distancia entre las crestas)

$d$ es la profundidad del océano, y

$g$ es la aceleración de gravedad, 9,8 m/s ² .

Dado lo anterior, determina la velocidad de una ola de tsunami, con longitud de onda de 20 km y que viaja a través de un océano de 4 km de profundidad.

Solución:

La velocidad de la ola de tsunami está dada por $v=\sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}\tanh \left ( 2\pi\frac{d}{\lambda} \right )}$ .

Necesitamos evaluar $\tanh \left ( 2\pi\frac{d}{\lambda} \right )=\tanh \left ( 2\pi\frac{4}{20} \right )=\tanh(1.257)$ :

$\tanh 1.257 & =\frac{\sinh 1.257}{\cosh 1.257}\\& = \frac{e^{1.257}-e^{-1.257}}{e^{1.257}+e^{-1.257}}\\& = \frac{1-{e^{-2(1.257)}}}{1+{e^{-2(1.257)}}}\\& = \frac{1-0.0809}{1+0.0809}\\\tanh 1.257 & = 0.85$

Para que,

$v=\sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}\tanh(2\pi\frac{d}{\lambda})}=\sqrt{\frac{9.8\cdot 20000}{2\pi}\cdot 0.85}=162.8$ m/s.

Esta es una ola de tsunami de aproximadamente 366 millas por hora.

Identidades y propiedades de las funciones hiperbólicas

Las funciones hiperbólicas tienen algunas identidades que se asemejan a las propiedades trigonométricas.

Ejemplo B

Recuerda la propiedad trigonométrica: $\cos^2 x+\sin^2 x=1$ .

Demuestra que $\cosh^2 x-\sinh^2 x=1$ .

Solución:

$\cosh^2 x-\sinh^2 x & =(\cosh x-\sinh x)(\cosh x+\sinh x) && \ldots \text{Factor for difference of squares}\\& = \left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}-\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right)\left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}+\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right) && \ldots \text{Use definition of hyperbolic}\\& && \qquad \text{functions}\\& = \left(\frac{2e^{-x}}{2}\right)\left(\frac{2e^{x}}{2}\right) && \ldots \text{Simplify factors}\\& = 1$

La tabla a continuación resume las identidades hiperbólicas clave y las compara con las identidades trigonométricas.

**Identidades trigonométricas vs hiperbólicas**
Trigonométricas	Hiperbólicas
$\cos^2 x+\sin^2 x=1$	$\cosh^2 x-\sinh^2 x=1$
$1+\tan^2 x=\sec^2 x$	$1-\tanh^2 x=\text{sech}^2 \ x$
$1+\cot^2 x=\csc^2 x$	$1-\coth^2 x=-\text{csch}^2 \ x$
$\sin(x\pm y)=\sin x \cos y \pm \cos x \sin y$ $\sin(2x)=2\sin x \cos x$	$\sinh(x\pm y)=\sinh x\cosh y\pm \cosh x\sinh y$ $\sinh(2x)=2\sinh x\cosh x$
$\cos(x\pm y)=\cos x \cos y\mp \sin x \sin y$ $\cos(2x)=\cos^2 x-\sin^2 x$	$\cosh(x\pm y)=\cosh x \cosh y \pm \sinh x\sinh y$ $\cosh(2x)=\cosh^2 x+\sinh^2 x$

Debe notarse que las identidades hiperbólicas se pueden escribir a partir de las identidades trigonométricas cambiando el signo de cualquier término trigonométrico que involucre el producto de dos senos (por ejemplo, $\tan^2 x$ involucra el producto $\sin^2 x$ ).

Ejemplo C

Recuerda las dos propiedades trigonométricas que involucran argumentos negativos:

1. $\sin(-x)=-\sin x$ , y

2. $\cos(-x)=\cos x$

Demuestra el efecto de un argumento negativo en $\sinh x$ y $\cosh x$ .

Solución:

1. Para $\sinh x$ :

$\sinh\left(-x\right) &=\frac{e^{-x}-e^{x}}{2} && \ldots\text{Use definition of hyperbolic functions}\\&= -\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} && \ldots \text{Simplify}\\&= -\sinh x && \ldots \text{Use definition of hyperbolic functions}$

2. Para $\cosh x$ :

$\cosh\left(-x\right) &=\frac{e^{-x}+e^{x}}{2} && \ldots\text{Use definition of hyperbolic functions}\\&= \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} && \ldots \text{Use commutative property}\\&= \cosh x && \ldots \text{Use definition of hyperbolic functions}$

Análisis del Problema de la Sección

¿Sabes el nombre de la forma que describe un cable de alta tensión, o un collar, o que se usa en la arquitectura de algunas estructuras conocidas?

La forma se llama catenaria: la curva formada por un cable flexible de densidad uniforme que cuelga de dos puntos bajo su propio peso. Las catenarias ocurren naturalmente. La forma minimiza la energía potencial gravitacional de la cuerda o cable flexible que está colgando (lo mismo que minimizar el área bajo la cuerda). Además de cables colgando, o una cadena colgante atada a dos postes, la forma catenaria se puede ver en los arcos de algunas estructuras. Una catenaria se ve como una parábola, pero eso es solo una aproximación a la función $\cosh x$ que describe la forma de una catenaria.

Vocabulario

Una catenaria es la curva formada por un cable flexible de densidad uniforme que cuelga de dos puntos bajo su propio peso.

Práctica guiada

En un mapa Mercator, las coordenadas de cada punto son $(X,W)$ , donde $X$ es la longitud del punto en la tierra esférica, y $W=\ln(\sec Y+\tan Y)$ , donde $Y$ es la latitud del punto en la tierra esférica. Para recuperar la latitud de $W$ , se requiere una transformación. Usando identidades trigonométricas, demuestra que $\tan Y$ está relacionado a $\sinh W$ .

Solución:

Ya que $W=\ln(\sec Y+\tan Y)$ , tenemos que

$\sec Y+\tan Y & =e^W && \ldots\text{Use definition of natural logarithm function}\\\sqrt{1+\tan^2 Y}+\tan Y & = e^W && \ldots\text{Use trig identity:}\sec^2 x=1+\tan^2 x\\\sqrt{1+\tan^2 Y} & =e^W-\tan Y\\1+\tan^2 Y & = (e^W-\tan Y)^2\\1 & =(e^{2W}-2e^W\tan Y+\tan^2 Y )-\tan^2 Y\\0 & = e^W(e^W-2\tan Y)-1\\2\tan Y & =e^W - e^ {-W} && \ldots\text{After dividing both sides by } e^W\\\tan Y & =\frac{e^{W}-e^{-W}}{2}\\\tan Y & =\sinh Y$

Práctica

Para los problemas 1-5, evalúa las siguientes funciones hiperbólicas sin usar una calculadora.

1. $\sinh 0$

2. $\cosh 0$

3. $\tanh 0$

4. $\sinh(\ln 3)$

5. $\cosh(\ln 2)$

6. Encuentra el largo del cable colgado entre dos postes separados por 15 metros, y que tiene su punto más bajo en la mitad a una altura de 6 metros sobre el nivel del suelo.

Resuelve para el valor de $x$ ((usando logaritmos naturales):

7. $\cosh x=\frac{13}{5}$

8. $\sinh x=\frac{3}{4}$

9. $3\sinh x-\cosh x=1$

10. Si $\sinh x=\tan y$ , demuestra que $x=\ln(\sec y+\tan y)$ .

Dada la información sobre una función hiperbólica, evalúa la otra función hiperbólica:

11. Si $\sinh x=\frac{3}{4}$ , evalúa $\text{sech} \ x$ .

12. Si $\tanh x =\frac{4}{5}$ , evalúa $\coth x$ .

13. Si $\sinh x=-\frac{7}{24}$ , evalúa $\cosh x$ .

14. Si $\cosh x=2.5$ , evalúa $\cosh 2x$ .

15. Si $\coth x=-3$ , evalúa $\text{csch} \ x$ .

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