Derivadas e integrales de funciones hiperbólicas

Objetivos

En esta sección aprenderás a evaluar las derivadas e integrales de funciones hiperbólicas.

Concepto

Cuando un objeto, inicialmente en reposo, se deja caer desde una altura y cae libremente puede ser ralentizado por el aire (resistencia) que es proporcional al cuadrado de su velocidad. En este caso, la segunda ley de Newton $(F=ma)$ se puede escribir como una ecuación diferencial $m \frac{d}{dt} v(t)=mg-kv^2$ , donde $v(t)$ es la velocidad del objeto cayendo como una función de tiempo, $m$ es la masa del objeto, $g$ es la aceleración de gravedad $(9.8 \ m/s^2)$ , y $k$ es un coeficiente que da cuenta de la densidad del aire, el área superficial del objeto y su coeficiente de resistencia. ¿Puedes demostrar que $v(t)=\sqrt{\frac{mg}{k}} \tan h \left(\sqrt{\frac{gk}{m}} \cdot t \right)$ es la solución a la ecuación diferencial? ¿Cuál es la velocidad terminal del objeto, es decir, la velocidad alcanzada cuando se balancean las resistencias gravitacional y del aire? ¿Cuál es la ecuación para la distancia, $s(t)$ , el objeto cae como una función del tiempo?

Mira Esto

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http://www.youtube.com/watch?v=u8ZsEISwBp0 - Sousa: Ejemplo 1: Derivada de una Función Hiperbólica

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http://www.youtube.com/watch?v=WFtJKxyAuYI - Sousa: Ejemplo 2: Derivadas de Funciones Hiperbólicas con la Regla de la Cadena

Orientación

Recuerda que según la sección anterior las funciones hiperbólicas se definen como:

Definiciones de las funciones hiperbólicas
$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$	$\text{csch } x=\frac{1}{\sinh x}=\frac{2}{e^x-e^{-x}}$
$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$	$\text{sech } x=\frac{1}{\cosh x}=\frac{2}{e^x+e^{-x}}$
$\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$	$\coth x=\frac{1}{\tanh x}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$

Derivadas de funciones hiperbólicas

Encontrar la derivada de cada una de las funciones es solo cuestión de diferenciar las expresiones exponenciales. Si decimos que el argumento de cada función hiperbólica es $u(x)$ , entonces las derivadas generalizadas de las funciones hiperbólicas son:

Derivadas de las funciones hiperbólicas
$\frac{d}{dx} \sinh u=\cosh u \frac{du}{dx}$	$\frac{d}{dx}\text{csch } u=-\coth u \ \text{csch } u \frac{du}{dx}$
$\frac{d}{dx} \cosh u=+\sinh u \frac{du}{dx}$	$\frac{d}{dx} \text{sech } u=-\tanh u \ \text{sech } u \frac{du}{dx}$
$\frac{d}{dx} \tanh u=\text{sech}^2 u \frac{du}{dx}$	$\frac{d}{dx} \coth u=-\text{csch}^2 u \ \frac{du}{dx}$

Ejemplo A

Encuentra la linealización (recta tangente) de las siguientes funciones para $x=0$ :

1. $\sinh 5x$

2. $\tanh \frac{2}{3}x$

Solución:

La linealización de una función $f(x)$ en $x=0$ es $f(x) \approx f(0)+f^\prime (0)x=f^\prime (0)x+f(0)$ .

1. Para $\sinh 5x$ :

$f(0) &= \sinh 0=\frac{e^0-e^{-0}}{2}=\frac{0}{2}=0\\f^\prime(0)&=\frac{d}{dx} \sinh 5x \bigg|_0=5 \cosh 5x\big|_0=5 \cosh 0=5 \cdot \frac{e^0+e^{-0}}{2}=5 \cdot \frac{2}{2}=5$

Por lo tanto la linealización es $\sinh 5x \approx 5x$

2. Para $\tanh \frac{2}{3}x$ :

$f(0) &= \tanh \frac{2}{3}0=\frac{e^0-e^{-0}}{e^0+e^{-0}}=\frac{0}{2}=0\\f^\prime (0) &= \frac{d}{dx} \tanh \frac{2}{3} x \bigg|_0=\frac{2}{3} \text{sech}^2 \frac{2}{3}x \bigg|_0=\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{e^0+e^{-0}}=\frac{2}{3}$

Por lo tanto la linealización es $\tanh \frac{2}{3}x \approx \frac{2}{3}x$ .

Ejemplo B

Evalúa la derivada de $y=-\cosh^2 3x$ en $x=\ln 2$ .

Solución:

Encuentra $\frac{dy}{dx}$ :

$\frac{d}{dx}[-\cosh^2 3x] &=-2 \cosh 3x \sinh 3x \cdot 3\\&=- 6 \cosh 3x \sinh 3x$

Ahora evalúa la derivada en $x=\ln 2$ :

$\frac{dy}{dx} \Big|_{x=\ln 2} &= -6 \cosh (3 \ln 2) \sinh (3 \ln 2)\\&=-6 \cosh (\ln 8) \sinh (\ln 8)\\&=-6 \left(\frac{e^{\ln 8}+e^{-\ln 8}}{2}\right) \cdot \left(\frac{e^{\ln 8}-e^{-\ln 8}}{2}\right)\\&=-6 \left(\frac{8+\frac{1}{8}}{2}\right) \cdot \left(\frac{8-\frac{1}{8}}{2}\right)\\&=-6 \left(\frac{\frac{4095}{64}}{4}\right)\\& \approx -96.0$

La derivada de $y=-\cosh^2 3x$ en $x=\ln 2$ es aproximadamente -96.0.

Integrales de funciones hiperbólicas

Las integrales de las seis funciones hiperbólicas a partir de las derivadas están expresadas en la siguiente tabla:

Integrales de las funciones hiperbólicas
$\int \sinh u \ du=\cosh u +C$	$\int \text{csch } u \ \coth u \ du=-\text{csch }u+C$
$\int \cosh u \ du=\sinh u+C$	$\int \text{sech }u \tanh u \ du =-\text{sech } u+C$
$\int \text{sech}^2 \ u \ du=\tanh u+C$	$\int \text{csch}^2 \ u \ du =-\coth u+C$

Ejemplo C

Evalúa la integral $\int\limits^{\ln 2}_0 \cosh 2x \ dx$

Solución:

Sustituyendo u: digamos que $u=2x$ , entonces $du=2 dx$

$\int\limits^{\ln 2}_0 \cosh 2x dx & = \int\limits^{2 \ln 2}_0 \cosh u \frac{du}{2} && \ldots \text{Note the change of limits of integration.}\\&= \frac{1}{2} \sinh u \bigg|^{2 \ln 2=\ln 4}_0\\&= \frac{1}{2} [\sinh (\ln 4)-\sinh 0]\\&= \frac{1}{2} \left(\frac{e^{\ln 4}-e^{-\ln 4}}{2}-\frac{e^0-e^{-0}}{2}\right)\\&= \frac{1}{2} \left(\frac{4-\frac{1}{4}}{2}\right)\\&= \frac{15}{16}$

Por lo tanto, $\int\limits^{\ln 2}_0\cosh 2x \ dx=\frac{15}{16}$ .

Análisis del Problema de la Sección

1. ¿Puedes demostrar que $v(t)=\sqrt{\frac{mg}{k}} \tanh \left(\sqrt{\frac{gk}{m}} \cdot t \right)$ es la solución a la ecuación diferencial $m \frac{d}{dt}v(t)=mg-kv^2$ , que gobierna la velocidad de caída de un objeto en caída libre contra una resistencia del aire proporcional al cuadrado de su velocidad?

Ya que $m\frac{d}{dt}\left[\sqrt{\frac{mg}{k}} \tanh \left(\sqrt{\frac{gk}{m}} \cdot t\right)\right]=m\sqrt{\frac{mg}{k}} \cdot \sqrt{\frac{gk}{m}} \text{sech}^2 \left(\sqrt{\frac{gk}{m}} \cdot t\right)=mg \cdot \text{sech}^2 \left(\sqrt{\frac{gk}{m}} \cdot t\right)$ ,

$mg-kv^2=mg-k \left[\sqrt{\frac{mg}{k}}\tanh \left(\sqrt{\frac{gk}{m}}\cdot t\right)\right]^2=mg\left[1-\tanh^2 \left(\sqrt{\frac{gk}{m}}\cdot t \right)\right]=mg \cdot \text{sech}^2 \left(\sqrt{\frac{gk}{m}} \cdot t\right)$ ,

entonces $v(t)=\sqrt{\frac{mg}{k}} \tanh \left(\sqrt{\frac{gk}{m}} \cdot t\right)$ es la solución.

2. ¿Cuál es la velocidad límite del objeto en caída libre, es decir, la velocidad alcanzada cuando se balancean las fuerzas de resistencia gravitacionales y del aire?

La velocidad límite ocurre cuando $v(t)$ alcanza un máximo para que $\frac{d}{dt} v(t)=0$ . Ya que $\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \tanh x=1, \lim\limits_{t \rightarrow \infty} v(t)=\sqrt{\frac{mg}{k}}$ , da la velocidad límite.

3. ¿Cuál es la ecuación para la distancia, $s(t)$ , si el objeto cae en función del tiempo?

La distancia, $s(t)$ , está dada por $s(t)=\int\limits^t_0 v(\tau) d \tau=\int\limits^t_0 \sqrt{\frac{mg}{k}} \tanh \left(\sqrt{\frac{gk}{m}} \cdot \tau\right) d \tau$ , lo que significa

$s(t)=\int\limits^t_0 \sqrt{\frac{mg}{k}} \tanh \left(\sqrt{\frac{gk}{m}} \cdot \tau\right) d \tau=\sqrt{\frac{mg}{k}} \ln \left[\cosh \left(\sqrt{\frac{gk}{m}} \cdot t\right)\right]$ .

(Usa el problema de práctica #10 para confirmar este resultado.)

Práctica guiada

Encuentra el volumen de un sólido de revolución formado por la región $y=2 \cosh x$ , el eje $x$ , el eje $y$ , y la recta $x=\ln 60$ que pasa alrededor del eje $x$ .

Solución:

Si miramos la Figura 7.12.1, ésta nos muestra que el método del disco se puede usar para determinar el volumen: $V=\int\limits^b_a \pi f^2(x) dx$ .

$V &= \int\limits^b_a \pi f^2(x) dx\\&= \int\limits^{\ln 60}_0 \pi [2 \cosh x]^2 dx\\&= \int\limits^{\ln 60}_0 4 \pi \left[\frac{\cosh 2x+1}{2}\right]dx \qquad \ldots \text{Using the double angle identify for} \ \cosh^2 x\\&= 2 \pi \left[\frac{\sinh 2x}{2}+x\right]^{\ln 60}_0\\&= 2 \pi \left[\frac{e^{2 \ln 60}-e^{-2 \ln 60}}{2}+\ln 60\right]\\&= 2 \pi \left[\frac{3600-\frac{1}{3600}}{2} + \ln 60\right]\\& \approx 2 \pi [1800+4.1]\\& \approx 11336$

Práctica

Evalúa las derivadas de las siguientes funciones.

1. $\sinh 4x^3$

2. $\frac{\cosh x^2}{2 \sinh x}$

3. $\sinh^2 4x$

4. $\sinh 3x +2 \cosh (x+7)$

5. $-(\cosh 3x)^2$

6. $\tanh x \cdot \text{sech } x$

7. $3 \coth \left(\frac{2}{x+1}\right)$

Evalúa las siguientes integrales.

8. $\int\limits \cosh 3x \sinh 3x \ dx$

9. $\int\limits \cosh^2 x \ dx$

10. $\int\limits 4 \tanh 3x \ dx$ Pista: usa la definición exponencial de $\tanh x$ y sustituye $u$ .

11. $\int\limits \frac{dx}{(e^x+e^{-x})^2}$

12. $\int \left(\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}\right)^2 dx$

13. $\int (e^x-e^{-x})^2 dx$

14. $\int \cosh (\ln x)dx$

15. $\int \cosh 3x \ \text{csch}^2 \ 3x \ dx$

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