Funciones hiperbólicas inversas

Objetivos

En esta sección aprenderás la forma de las funciones hiperbólicas inversas y cómo evaluar estas funciones.

Concepto

Supongamos que estamos de pie, mirando el norte y sosteniendo el extremo de una cuerda de 10 pies atada a un peso que está posicionado directamente al este. Al caminar hacia el norte empujando el peso (sin sacudirlo) a lo largo de la superficie suave y nivelada del suelo, y manteniendo la cuerda tensa, la trayectoria que describe el peso al moverse desde su posición inicial es una curva que tiene un nombre conocido en matemáticas. Esta curva también describe la trayectoria tomada por el medio del eje de la rueda trasera de un tractor al hacer un giro perpendicular a su dirección original de movimiento. ¿Sabes el nombre de la curva? ¿Tienes alguna idea de cómo se relaciona a las funciones hiperbólicas inversas?

Mira Esto

Haz click en la imagen anterior para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo está disponible en inglés

http://www.youtube.com/watch?v=QEL-UbvA93k - Roberto Bencivenga: Funciones Hiperbólicas Inversas

Orientación

Las funciones hiperbólicas inversas se denotan como sigue:

**Función hiperbólica o pares inversos**
$\sinh x \leftrightarrow \sinh^{-1} x \equiv ar \sinh x$	$\text{csch} \ x \leftrightarrow \text{csch}^{-1} x \equiv ar \ \text{csch} \ x$
$\cosh x \leftrightarrow \cosh^{-1} x \equiv ar \cosh x$	$\text{sech} \ x \leftrightarrow \text{sech}^{-1} x \equiv ar \ \text{sech} \ x$
$\tanh x \leftrightarrow \tanh^{-1} x \equiv ar \tanh x$	$\text{coth} \ x \leftrightarrow \text{coth}^{-1} x \equiv ar \ \text{coth} \ x$

La notación que usa “ar” como un prefijo es una manera alternativa de indicar una función inversa.

Una función tiene una inversa si es de uno a uno. Todas las funciones hiperbólicas excepto $\text{cosh} \ x$ son funciones de uno a uno y por lo tanto tienen una inversa. Como las funciones trigonométricas, una inversa se puede definir como $\text{cosh} \ x$ restringiendo su dominio para que sea de uno a uno. La tabla a continuación proporciona un breve resumen de las características de las seis funciones hiperbólicas inversas.

Función inversa	Dominio	Recorrido	Propiedades básicas
$\sinh^{-1}x=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1} \right)$	$- \infty \le x \le \infty$	$(- \infty, \infty)$	$\sinh^{-1}(\sinh x)=\sinh(\sinh^{-1} x)=x$
$\cosh^{-1}x=\ln \left(x+\sqrt{x^2-1} \right)$	$x \ge 1$	$[0, \infty)$	$\cosh^{-1}(\cosh x)=\cosh(\cosh^{-1} x)=x$
$\tanh^{-1}x=\frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x}$	$\|x\| < 1$	$(- \infty, \infty)$	$\tanh^{-1}(\tanh x)=\tanh(\tanh^{-1}x)=x$
$\text{csch}^{-1}(x) =\sinh^{-1} \left(\frac{1}{x} \right)$ $=\ln \left(\frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1+x^2}}{\|x\|} \right)$	$x \ne 0$	$(- \infty, \infty)$	$\text{csch}^{-1}(\text{csch}\ x)=\text{csch}(\text{csch}^{-1} x)=x$
$\text{sech}^{-1}(x)=\cosh^{-1} \left(\frac{1}{x} \right)$ $=\ln \left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x} \right)$	$0 < x \le 1$	$[0, \infty)$	$\text{sech}^{-1}(\text{sech}\ x)=\text{sech}(\text{sech}^{-1} x)=x$
$\text{coth}^{-1} x =\tanh^{-1} \left(\frac{1}{x} \right)$ $=\frac{1}{2} \ln \frac{x+1}{x-1}$	$\|x\| > 1$	$y \ne 0$	$\text{coth}^{-1}(\text{coth}\ x)=\text{coth}(\text{coth}^{-1} x)=x$

El recorrido está basado en limitar el dominio de la función original para que sea una función de uno a uno.

Los pares de la función hiperbólica o inversa están graficados a continuación:

Si te estás preguntando cómo se derivan las expresiones explícitas de las funciones hiperbólicas inversas, dale un vistazo a este ejemplo.

Ejemplo A

Demuestra que $\sinh^{-1}x=ar \sinh x=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1} \right)$ .

Solución:

Digamos que $y=\sinh^{-1}x$ , entonces por definición

$\sinh y=\frac{e^y-e^{-y}}{2}=\sinh(\sinh^{-1} \ x)=x$ .

Además, $\cosh y=\frac{e^y+e^{-y}}{2}=\sqrt{1+\sinh^2 y}=\sqrt{1+x^2}$ , por la identidad $\cosh^2 y- \sinh^2 y=1$ .

Por lo que $\sinh y+\cosh y=e^y=x+\sqrt{1+x^2}$ , lo que significa que

$y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^2} \right)=\sinh^{-1}x.$

Las otras funciones hiperbólicas inversas se pueden derivar de manera similar.

Aquí hay algunos ejemplos de cómo evaluar las funciones hiperbólicas inversas.

Ejemplo B

Evalúa cada una de las siguientes funciones:

1. $\tanh^{-1} \left(- \frac{7}{8} \right)$

2. $\sinh^{-1} 3$

Solución:

1. Dado que $\tanh^{-1} x=\frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x}$ , entonces

$\tanh^{-1} \left(- \frac{7}{8} \right) &=\frac{1}{2} \ln \Bigg|\frac{1- \frac{7}{8}}{1+ \frac{7}{8}} \Bigg| \\& =\frac{1}{2} \ln \Bigg|\frac{\frac{1}{8}}{\frac{15}{8}} \Bigg| \\& =\frac{1}{2} \ln \frac{1}{15} \\& \approx -1.35$

2. Dado que $\sinh^{-1} x=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1} \right)$ , entonces

$\sinh^{-1} 3 &=\ln \left(3+\sqrt{3^2+1} \right) \\& =\ln \left(3+ \sqrt{10} \right) \\& \approx 1.82$

Ejemplo C

Encuentra la ecuación de la inversa de la función $y=\text{sech}(2x-3)+4$ e identifica cualquier restricción:

Solución:

La función $y=\text{sech}(2x-3)+4$ no es de uno a uno. Usar la restricción $x \ge \frac{3}{2}$ permite que la función sea de uno a uno y podemos usar la definición de inversa.

La inversa se obtiene resolviendo la ecuación $x=\text{sech}(2y-3)+4$ para $y$ , como sigue:

$\text{sech}(2y-3)+4 &=x \\\text{sech}(2y-3) &=x-4 \\(2y-3) &=\text{sech}^{-1}(x-4) \\y &=\frac{1}{2} [\text{sech}^{-1}(x-4)+3]$

Recuerda, sin embargo, que hay una restricción para el dominio de la inversa $\text{sech}^{-1} u$ : $0 < u \le 1$ .

Por lo tanto $0 < x-4 \le 1$ , o $4 < x \le 5$ .

La inversa de la función $y=\text{sech}(2x-3)+4$ con $x \ge \frac{3}{2}$ , es $y=\frac{1}{2} [\text{sech}^{-1}(x-4)+3]$ con $4 < x \le 5$ . El gráfico de la función $f(x)$ y la inversa $g(x)$ se muestran a continuación.

Análisis del Problema de la Sección

Si caminas directo hacia el norte empujando un peso (sin sacudirlo) a lo largo de una superficie suave, y manteniendo la cuerda tirante, la trayectoria que toma el peso al moverse desde su posición inicial es una curva que tiene un nombre conocido en matemáticas. ¿Sabes el nombre de la curva? ¿Tienes alguna idea de cómo se relaciona a las funciones hiperbólicas inversas?

La curva se llama tractriz, expresada por la función:

$y=a \ln \left(\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{x} \right)- \sqrt{a^2-x^2}, \text{or} \ y=ar \text{sech}^{-1} \left(\frac{x}{a} \right) - \sqrt{a^2-x^2}$

cuyo primer término es la inversa de la función $\text{sech} \ x$ .

Aquí hay una curva para este ejemplo.

Vocabulario

Una tractriz es el nombre de una curva que es la solución a la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{\sqrt{a^2-y^2}}$ , donde $a$ es una constante; $y=ar \text{sech}^{-1} \left(\frac{x}{a} \right)-\sqrt{a^2-x^2}$ .

Práctica guiada

Se observó que una ola de tsunami tiene una velocidad $v$ de $XX$ y una longitud de onda $\lambda$ de $YY$ . Da un estimado de la profundidad del cuerpo de agua $d$ usando la siguiente ecuación para la velocidad:

$v=\sqrt{\frac{g \lambda}{2 \pi} \tanh \left(2 \pi \frac{d}{\lambda} \right)}$ , donde

$\lambda$ es la longitud de onda

$d$ es la profundidad, y

$g$ es la aceleración de gravedad.

Solución:

La velocidad está dada por $v=\sqrt{\frac{g \lambda}{2 \pi} \tanh \left(2 \pi \frac{d}{\lambda} \right)}$ .

Resolviendo para la profundidad $d$ obtenemos

$\tanh \left(2 \pi \frac{d}{\lambda} \right)=\frac{2 \pi v^2}{g \lambda}$ , entonces

$d=\frac{\lambda}{2 \pi} \tanh^{-1} \left(\frac{2 \pi v^2}{g \lambda} \right)$ .

Con $\frac{2 \pi v^2}{g \lambda}=\frac{2 \pi \cdot v^2}{9.8 \cdot \lambda}$ , entonces

$\tanh^{-1}x=\frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x}$ , y

$d=\frac{\lambda}{2 \pi} \tanh^{-1} \left(\frac{2 \pi v^2}{g \lambda} \right)$

Práctica

1. Demuestra que $\sinh \left(\ln \left[x+ \sqrt{1+x^2} \right] \right)=x$ .

Encuentra los valores exactos de las siguientes funciones hiperbólicas inversas:

2. $\sinh^{-1} 0$

3. $\cosh^{-1} 0$

4. $\tanh^{-1} 0$

5. $\sinh^{-1} 2$

6. $\cosh^{-1} 1$

7. $\tanh^{-1} \frac{1}{2}$

Encuentra el valor exacto de $x$ que satisface la ecuación:

8. $\text{coth}^{-1} x=\frac{1}{2}$

9. $\text{csch}^{-1} 3x=\frac{1}{2}$

10. $\text{cosh}^{-1} 4x=1$

11. $2 \sinh x+ \cosh x=0$

12. $3 \tanh x+ 5 \ \text{sech} \ x=5$

Encuentra la ecuación de la inversa para cada una de las siguientes funciones e identifica las restricciones:

13. $y=2+\tanh \left(\frac{x+5}{3} \right)$

14. $y=\sinh(x^2)$

15. $y=\sinh^2(x-4)-3$

Prev Next

Funciones hiperbólicas inversas

Objetivos

Concepto

Mira Esto

Orientación

Vocabulario

Práctica guiada

Práctica

Licencia