Objetivos

En esta sección aprenderás a evaluar las derivadas e integrales de funciones hiperbólicas inversas.

Concepto

En la sección anterior que introdujo las funciones hiperbólicas inversas, se preguntó el nombre de la curva que describía la trayectoria de un peso atado a una cuerda tensa de un largo dado que era tirada por alguien en una dirección perpendicular a la posición inicial del peso. La curva está definida por la ecuación $y=a \ \text{sech}^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)-\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ , y se conoce como tractriz. También puede describir la trayectoria tomada por el medio del eje de la rueda trasera de un tractor al hacer un giro perpendicular a su dirección original de movimiento.

Dada la tractriz descrita en la sección anterior por $y=10 \ \text{sech}^{-1}\left(\frac{x}{10}\right)-\sqrt{10^{2}-x^{2}}$ , ¿puedes determinar la distancia real viajada por el peso a lo largo de la curva entre $x=10 \ ft$ (el inicio) y $x=2 \ ft$ (el fin)?

Mira Esto

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http://www.youtube.com/watch?v=wejfXxaXKZs - Sousa: Ej 1: Derivada de una Función Hiperbólica Inversa con la Regla de la Cadena

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http://www.youtube.com/watch?v=J3qe45-MxD8 - Sousa: Ej 3: Derivada de una Función Hiperbólica Inversa con la Regla de la Cadena

Orientación

Recuerda de la sección anterior que las funciones hiperbólicas y sus inversas están definidas como:

**Tabla 1. Resumen de las funciones hiperbólicas y sus inversas**
Función hiperbólica	Función hiperbólica inversa	Dominio	Recorrido
$\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$	$\sinh^{-1} x=\ln \left ( x+\sqrt{x^{2}+1} \right )$	$-\infty\le x \le \infty$	$(-\infty,\infty)$
$\cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$	$\cosh^{-1} x=\ln \left ( x+\sqrt{x^{2}-1} \right )$	$x\ge 1$	$[0,\infty)$
$\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$	$\tanh^{-1}x=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}$	$\|x\|<1$	$(-\infty,\infty)$
$\text{csch} \ x=\frac{1}{\sinh x} =\frac{2}{e^{x}-e^{-x}}$	$\text{csch}^{-1} x =\sinh^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)$ $=\ln\left(\frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{\|x\|}\right)$	$x\ne 0$	$(-\infty,\infty)$
$\text{sech} \ x=\frac{1}{\cosh x}=\frac{2}{e^{x}+e^{-x}}$	$\text{sech}^{-1} x=\coth^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)$ $=\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{x}\right)$	$0< x\le 1$
$\coth x=\frac{1}{\tanh x}=\frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}$	$\coth^{-1}x=\tanh^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)$ $=\frac{1}{2}\ln\frac{x+1}{x-1}$	$\|x\|>1$

Las derivadas e integrales se obtienen fácilmente de la tabla anterior.

Derivadas de las funciones hiperbólicas inversas

Encontrar la derivada de cada una de las funciones hiperbólicas inversas es solo una cuestión de diferenciar cada una de las expresiones anteriores. Si decimos que el argumento de cada función hiperbólica inversa es $u(x)$ , entonces las derivadas generalizadas de las funciones hiperbólicas inversas son:

Digamos que $u(x)$ es una función diferenciable

**Tabla 2. Derivadas de las funciones hiperbólicas inversas**
$\frac{d}{dx}\sinh^{-1}u=\frac{1}{\sqrt{1+u^{2}}}\frac{du}{dx} \ \quad u\in \mathbb{R}$	$\frac{d}{dx}\text{csch}^{-1} \ u=\frac{-1}{\|u\|\sqrt{1+u^{2}}}\frac{du}{dx} \ \quad u\ne 0$
$\frac{d}{dx}\cosh^{-1} u=\frac{1}{\sqrt{u^{2}-1}}\frac{du}{dx} \ \quad u>1$	$\frac{d}{dx}\text{sech}^{-1} \ u=\frac{-1}{u\sqrt{1-u^{2}}}\frac{du}{dx} \ \ \quad 0 < u < 1$
$\frac{d}{dx}\tanh^{-1} u=\frac{1}{1-u^{2}}\frac{du}{dx} \ \ \ \qquad \|u\|<1$	$\frac{d}{dx}\coth^{-1} u=\frac{1}{1-u^{2}}\frac{du}{dx} \ \ \quad \qquad \|u\|>1$

Para ver qué tan fácilmente se derivan las derivadas, mira el siguiente ejemplo

Ejemplo A

Deriva la derivada de $\sinh^{-1}x$ :

Solución:

Sabemos que $\sinh^{-1} x=\ln \left (x+\sqrt{x^{2}+1} \right )$ . Digamos que $u=x+\sqrt{x^{2}+1}$ ; entonces $\sinh^{-1} x=\ln(u)$ .

Evaluar la derivada resulta en estos pasos:

$\frac{d}{dx}\sinh^{-1} \ x & = \frac{d}{dx}\ln(u)\\& = \frac{1}{u}\frac{du}{dx}\\& = \frac{1}{x+\sqrt{x^{2}+1}}\cdot \left(1+\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+1}}\cdot 2x\right)\\& = \frac{1}{x+\sqrt{x^{2}+1}}\cdot \left(\frac{x+\sqrt{x^{2}+1}}{\sqrt{x^{2}+1}}\right)\\& = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\\$

Por lo tanto, $\frac{d}{dx}\sinh^{-1} x=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$

Ejemplo B

Evalúa la derivada de la función $\tanh^{-1}(\cos 3x)$ .

Solución:

Sabemos que $\frac{d}{dx}\tanh^{-1}u=\frac{1}{1-u^{2}}\frac{du}{dx}$ , entonces digamos que $u=\cos 3x$ .

Entonces,

$\frac{d}{dx}\tanh^{-1}(\cos 3x) & = \frac{1}{1-\cos^{2} 3x}\cdot \frac{d}{dx}\cos 3x\\& = -\frac{3}{\sin^{2} 3x}\cdot \sin 3x\\& = -\frac{3}{\sin 3x}$

Integrales de funciones hiperbólicas inversas

Cada una de las fórmulas derivativas presentadas anteriormente se puede asociar con una ecuación de integral. Por ejemplo,

$\frac{d}{dx}[ar \sinh x]=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\Leftrightarrow\int d[ar \sinh x]=\int \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}dx=ar \sinh x+C.$

Aplicar este procedimiento a la derivada de cada función hiperbólica inversa resulta en estas relaciones:

**Tabla 3. Integrales de funciones hiperbólicas inversas: Forma básica**
$\int \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}dx=\sinh^{-1}x+C$ $=\ln \left ( x+\sqrt{x^{2}+1} \right )+C$	$\int \frac{1}{x\sqrt{1+x^{2}}}dx=-\text{csch}^{-1} x+C, \ \ \quad x\ne 0$
$\int \frac{1}{x^{2}-1}dx=\cosh^{-1} x+C, \quad x> 1$	$\int \frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}}dx=-\text{sech}^{-1} x+C, \ \quad 0 < \|x\| < 1$
$\int \frac{1}{1-x^{2}}dx=\tanh^{-1} x+C, \quad \|x\|<1$	$\int \frac{1}{1-x^{2}}dx=\coth^{-1} x+C, \ \ \ \qquad \quad \|x\|>1$

Nótese que hay 5 formas de integrandos diferentes. Estas formas de integrando se pueden generalizar para proporcionar un mayor conjunto de integrales que se pueden expresar como funciones hiperbólicas inversas. Todos estos integrandos generalizados se pueden fijar para que al usar sustituir $u$ ( $u=\frac{b}{a}x$ ) transforme el integrando en una de las formas básicas anteriormente mencionadas. Tres de los integrandos generalizados se muestran a continuación:

$\frac{dx}{\sqrt{1+x^{2}}} & \Rightarrow \frac{A dx}{\sqrt{a^{2}+b^{2}x^{2}}}=\frac{A}{a}\frac{dx}{\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}x\right)^2}}=\frac{A}{a}\frac{a}{b}\frac{du}{\sqrt{1+u^{2}}}\quad\qquad\qquad \ \ =\frac{A}{b}\cdot\frac{du}{\sqrt{1+u^{2}}}\\\frac{dx}{1-x^{2}} & \Rightarrow \frac{A}{a^{2}-b^{2}x^{2}}dx=\frac{A}{a^{2}}\frac{1}{1-\left(\frac{b}{a}x\right)^2}dx=\frac{A}{a^{2}}\cdot \frac{a}{b}\frac{du}{1-u^{2}} \ \ \ \qquad\qquad \ =\frac{A}{ab}\cdot\frac{du}{1-u^{2}}\\\frac{dx}{|x|\sqrt{1+x^{2}}} & \Rightarrow \frac{Adx}{|bx|\sqrt{a^{2}+b^{2}x^{2}}}=\frac{Adx}{\Big |\frac{b}{a}x \Big |a^{2}\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}x\right)^2}}=\frac{Ab}{a^{2}}\frac{a}{b}\frac{du}{|u|\sqrt{1+u^{2}}}\quad=\frac{A}{a}\cdot\frac{du}{|u|\sqrt{1+u^{2}}}$

donde $A,a,$ y $b$ son constantes. Las otras dos formas se pueden generalizar de manera similar.

Las integrales de este conjunto generalizado de integrandos se pueden por lo tanto expresar en términos de las funciones hiperbólicas inversas como se presenta en la tabla a continuación:

Digamos que $A,a,$ y $b$ son constantes;

Sustituir $u=\frac{b}{a}x$ en la Tabla I resuelve la integral de la forma general.

**Tabla 4. Integrales de funciones hiperbólicas inversas: Forma general**
$\int \frac{Adx}{\sqrt{a^{2}+b^{2}x^{2}}}=\frac{A}{b}\sinh^{-1}\left(\frac{b}{a}x\right)+C$ $=\frac{A}{b}\ln\left(\frac{b}{a}x+\sqrt{\left(\frac{b}{a}\right)^{2}x^{2}+1}\right)+C$	$\int\frac{Adx}{x\sqrt{a^{2}+b^{2}x^{2}}}=-\frac{A}{a}\text{csch}^{-1}\Big \| \frac{b}{a}x \Big \|+C$ $= - \frac{A}{a}\ln\left(\frac{1+\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}\right)^{2}x^{2}}}{ \Big \| \frac{b}{a}x \Big \|}\right)+C \qquad x\ne 0$
$\int \frac{Adx}{\sqrt{b^{2}x^{2}-a^{2}}}=\frac{A}{b}\cosh^{-1}\left(\frac{b}{a}x\right)+C$ $=\frac{A}{b}\ln\left(\frac{b}{a}x+\sqrt{\left(\frac{b}{a}\right)^{2}x^{2}+1}\right)+C$	$\int\frac{Adx}{x\sqrt{a^{2}-b^{2}x^{2}}}=-\frac{A}{a}\text{sech}^{-1} \Big \| \frac{b}{a}x \Big \|+C$ $= - \frac{A}{a}\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-\left(\frac{b}{a}\right)^{2}x^{2}}}{ \Big \| \frac{b}{a}x \Big \|}\right)+C \ \ 0 < \|x\| < 1$
$\int \frac{Adx}{a^{2}-b^{2}x^{2}}=\frac{A}{ab}\tanh^{-1}\left(\frac{b}{a}x\right)+C, \ \|x\| < a$ $=\frac{A}{2ab}\ln\bigg\|\frac{1+\frac{b}{a}x}{1-\frac{b}{a}x}\bigg\|+C, \quad \|x\|\ne \frac{a}{b}$	$\int \frac{Adx}{\sqrt{a^{2}-b^{2}x^{2}}}=\frac{A}{ab}\coth^{-1}\left(\frac{b}{a}x\right)+C, \ \|x\| > a$ $=\frac{A}{2ab}\ln\bigg\|\frac{1+\frac{b}{a}x}{1-\frac{b}{a}x}\bigg\|+C, \quad \|x\|\ne \frac{a}{b}$

Ejemplo C

Evalúa la $\int\limits_{1}^{6}\frac{3}{\sqrt{9x^{2}-4}}dx$

Solución:

La integral es de la forma $\int\frac{Adx}{\sqrt{b^{2}x^{2}-a^{2}}}$ , la cual tiene la solución general $\frac{A}{b}\cosh^{-1}\left(\frac{b}{a}x \right)+C$ .

Por lo tanto $\int\limits_1^6\frac{3}{\sqrt{9x^{2}-4}}dx=\frac{3}{3} \Big [ \cosh^{-1}\left(\frac{3}{2}x\right)\Big ]_1^6$ , y al sustituir la forma de logaritmo natural obtenemos $\int\limits_1^6\frac{3}{\sqrt{9x^{2}-4}}dx & =\ln\left(\frac{3}{2}6+\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}6^{2}+1}\right)-\ln\left(\frac{3}{2}1+\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}1^{2}+1}\right)\\&=\ln \left ( 9+\sqrt{82} \right )-\ln\left(\frac{3}{2}+\sqrt{\frac{13}{4}}\right)\\& = \ln\left(\frac{9+\sqrt{82}}{\frac{3}{2}+\sqrt{\frac{13}{4}}}\right)\\& = \ln\left(\frac{18.055}{3.303}\right)\\& = 16.986 \approx 17.0$

Análisis del Problema de la Sección

Dada la tractriz descrita en la sección anterior por $y=10 \ \text{sech}^{-1}\left(\frac{x}{10}\right)-\sqrt{10^{2}-x^{2}}$ , ¿puedes determinar la distancia real viajada a lo largo de la curva entre $x=10 \ ft$ (el inicio) y $x=2 \ ft$ (el final)?

¿Recuerdas de secciones anteriores cómo calcular la longitud de una curva, es decir, el largo del arco? El largo del arco $L$ de la curva de una función $g(x)$ se calcula desde $Arc \ Length=L=\int\limits_a^b\sqrt{1+f^\prime(x)^{2}} \ dx.$

Por lo tanto, $L=\int\limits_1^{10}\sqrt{1+\left(\frac{d}{dx} \left [ 10\text{sech}^{-1}\left(\frac{x}{10}\right)-\sqrt{10^{2}-x^{2}} \right ]\right)^{2}}dx=\int\limits_1^{10}\sqrt{1+\left(-\frac{\sqrt{10^{2}-x^{2}}}{x}\right)^{2}}dx=10\ln x |_1^{10}.$

La distancia viajada a lo largo de la curva es $L=10\cdot \ln 10=23 \ ft$ .

Vocabulario

Una tractriz es el nombre de la curva la cual es la solución a la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{\sqrt{a^{2}-y^{2}}}$ , donde $a$ es una constante; $y=ar \ \text{sech}^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)-\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ .

Práctica guiada

1. Evalúa la derivada de $(\sinh^{-1}2x)^{\frac{3}{2}}$ .

Solución:

$\frac{d}{dx}(\sinh^{-1}2x)^{\frac{3}{2}} & = \frac{3}{2}\sqrt{\sinh^{-1}2x}\frac{d}{dx}(\sinh^{-1} 2x)\\& = \frac{3}{2}\sqrt{\sinh^{-1}2x}\frac{1}{\sqrt{1+4x^{2}}}\cdot 2\\& = \frac{3 \sqrt{\sinh^{-1} 2x}}{\sqrt{1+4x^{2}}}\\& = \frac{3 \sqrt{\ln \left(2x+\sqrt{1+4x^{2}}\right)}}{\sqrt{1+4x^{2}}}$

2. Evalúa la integral de $\int\frac{\cos x}{\sqrt{1+\sin^{2}x}}dx$ .

Solución: $\int \frac{\cos x}{\sqrt{1+\sin^{2} x}}dx & = \int \frac{1}{\sqrt{1+u^{2}}}du\qquad \ldots \text{Using the }u\text{-substitution:}\\& \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad u=\sin x \text{, and} \ du=\cos x dx\\& = \sinh^{-1} u+C\\& = \sinh^{-1}(\sin x)+C\\& = \ln\left(\sin x+\sqrt{1+\sin^{2}x}\right)+C$

Práctica

Evalúa las derivadas de las siguientes funciones:

1. $\sinh^{-1} 8x$

2. $\cosh^{-1} 7x^{2}$

3. $x(\tanh^{-1} 3x)^{2}$

4. $\cosh^{-1}(\csc x)$

5. $\tanh^{-1}(\cos x)$

6. $e^{-2x}\cosh^{-1} \ 3x$

7. $\text{sech}^{-1}\left ( \sqrt{3-x} \right )$

8. Demuestra que $\int \frac{Adx}{\sqrt{b^{2}x^{2}-a^{2}}}=\frac{A}{b}\cosh^{-1}\left(\frac{b}{a}x\right)+C$ , donde $A,a,$ y $b$ son constantes.

Evalúa las siguientes integrales:

9. $\int \frac{4}{x\sqrt{1+9x^{2}}}dx$

10. $\int \frac{\cosh x}{\sqrt{\sinh^{2} x-9}}dx$

11. $\int \frac{2x}{4-x^{4}}dx$ Pista: Sustituyamos $u$ : $u=x^{2}$ .

12. $\int \frac{3}{(x+1)\sqrt{2x^{2}+4x+6}}dx$ Pista: Completa el cuadrado del polinomio en el radical.

13. $\int \frac{1}{\sqrt{16x^{2}-25}}dx$

14. $\int \frac{e^{-x}}{4-e^{-2x}}dx$

15. $\int \frac{\cosh x}{\sinh^{2} x+4\sinh x+2} dx$

$\int \frac{Adx}{\sqrt{a^{2}+b^{2}x^{2}}}=\frac{A}{b}\sinh^{-1}\left(\frac{b}{a}x\right)+C$ $=\frac{A}{b}\ln\left(\frac{b}{a}x+\sqrt{\left(\frac{b}{a}\right)^{2}x^{2}+1}\right)+C$	$\int\frac{Adx}{x\sqrt{a^{2}+b^{2}x^{2}}}=-\frac{A}{a}\text{csch}^{-1}\Big \| \frac{b}{a}x \Big \|+C$ $= - \frac{A}{a}\ln\left(\frac{1+\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}\right)^{2}x^{2}}}{ \Big \| \frac{b}{a}x \Big \|}\right)+C \qquad x\ne 0$
$\int \frac{Adx}{\sqrt{b^{2}x^{2}-a^{2}}}=\frac{A}{b}\cosh^{-1}\left(\frac{b}{a}x\right)+C$ $=\frac{A}{b}\ln\left(\frac{b}{a}x+\sqrt{\left(\frac{b}{a}\right)^{2}x^{2}+1}\right)+C$	$\int\frac{Adx}{x\sqrt{a^{2}-b^{2}x^{2}}}=-\frac{A}{a}\text{sech}^{-1} \Big \| \frac{b}{a}x \Big \|+C$ $= - \frac{A}{a}\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-\left(\frac{b}{a}\right)^{2}x^{2}}}{ \Big \| \frac{b}{a}x \Big \|}\right)+C \ \ 0 < \|x\| < 1$
$\int \frac{Adx}{a^{2}-b^{2}x^{2}}=\frac{A}{ab}\tanh^{-1}\left(\frac{b}{a}x\right)+C, \ \|x\| < a$ $=\frac{A}{2ab}\ln\bigg\|\frac{1+\frac{b}{a}x}{1-\frac{b}{a}x}\bigg\|+C, \quad \|x\|\ne \frac{a}{b}$	$\int \frac{Adx}{\sqrt{a^{2}-b^{2}x^{2}}}=\frac{A}{ab}\coth^{-1}\left(\frac{b}{a}x\right)+C, \ \|x\| > a$ $=\frac{A}{2ab}\ln\bigg\|\frac{1+\frac{b}{a}x}{1-\frac{b}{a}x}\bigg\|+C, \quad \|x\|\ne \frac{a}{b}$

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