Objetivos

En esta Sección, aprenderás a calcular integrales utilizando la técnica de integración por partes en la que sólo se necesita de un paso o iteración para obtener una solución.

Concepto

En la técnica de integración por partes que se presenta en esta sección, el integrando $F(x)$ de la integral $\int F(x)dx$ es separado en dos factores, de forma que $F(x)dx=f(x)g^\prime (x)dx$ , donde $f(x)$ y $g^\prime (x)$ son funciones (integrables) diferenciables. Gran parte de esta técnica consiste en saber definir $f(x)$ y $g^\prime (x)$ de manera que sea fácil determinar $f^\prime (x)$ y $g(x)$ ya que eso permite que la solución de la integral sea fácil de obtener. Para ver cómo funciona en la práctica, intenta escoger todas las combinaciones posibles para $f(x)$ y $g^\prime (x)$ en los siguientes dos ejemplos de $F(x)$ , luego determina las $f(x)$ y $g^\prime (x)$ correspondientes para cada combinación:

$F(x)=x \sin x$
$F(x)=x^2 \sin x^2$

Mira Esto

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http://www.youtube.com/watch?v=815s-YB9X44 - Math Video Tutorials by James Sousa, Integration by Parts, Basic (7:08),

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http://www.youtube.com/watch?v=hfJ1zPizj_s - Math Video Tutorials by James Sousa, Integration by Parts (10:03)

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Orientación

La integración por partes es una técnica que permite simplificar el cálculo de una integral $\int F(x)dx=\int f(x)g^\prime (x) dx$ . En este caso, la función $F(x)$ puede ser escrita como el producto de dos funciones $f(x)$ , y $g^\prime (x)$ . Esto permite que la integral original sea escrita como $\int F(x) dx=\int f(x)g^\prime (x) dx=\int udv$ , en la que sustituyendo $u=f(x)$ , y $dv=g^\prime (x) dx$ .

Esta transformación es importante ya que, según la regla de diferenciación para el producto que ya has estudiado, podemos despejar $\int udv$ de la siguiente manera:

$\frac{d}{dx}[uv]=u \frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$ .

Si integramos cada lado,

$uv &= \int u \frac{dv}{dx}dx+\int v \frac{du}{dx}dx\\&= \int udv+ \int vdu$

Despejando $\int udv$ se obtiene

$\int udv=uv-\int v du$ .

La ecuación anterior corresponde a la fórmula para la integración por partes. Sabemos que $u=f(x)$ , y si $\int dv=v= \int g^\prime (x) dx$ es lo suficientemente fácil para determinar, entonces la integral $\int v du$ se puede integrar de manera más fácil. Con la elección adecuada de $u$ y $dv$ y la aplicación de la fórmula de integración por partes, se puede transformar la integral original en una más sencilla.

Integración por partes

Problema: Calcula la integral “difícil” $\int F(x)dx=\int f(x)g^\prime (x) dx$ .

Solución posible: Transforma $\int f(x) g^\prime (x) dx$ a la forma $\int udv=uv-\int vdu$ con la elección correcta para $u=f(x)$ y $dv=g^\prime (x) dx$ que hace que $\int vdu$ sea más fácil de calcular que $\int udv$ .

Guía:

Escoge $dv$ para que sea la parte más complicada del integrando que se ajusta a una fórmula de integración básica. Escoge $u$ para que sea la parte restante en el integrando.
2. Escoge $u$ para que sea la parte del integrando cuya derivada es más simple que $u$ . Escoge $dv$ para que sea el término restante.

Recuerda que el objetivo de la integración por partes es comenzar con una integral de la forma $\int udv$ que es difícil de integrar directamente y transformarla a una integral $\int vdu$ que parece más simple de resolver. En el mejor de los casos, se calcula la integral $\int vdu$ y se obtiene la solución aplicando solo una vez la intregración por partes.

Ejemplo A

Calcula $\int x \sin xdx$ .

Solución:

Utiliza la integración por partes: $\int udv=uv-\int vdu$ .

$& \text{Choose:} && u=x \quad \ dv=\sin xdx\\& \text{Form:} && du=dx \quad v=-\cos x\\& \text{Evaluate:} && \int x \sin x dx=-x \cos x-\int (-\cos x)dx \quad \ldots \text{The new integral is simpler! CONTINUE!}\\& && \qquad \qquad \quad \ =-x \cos x+\sin x+C$

Las elecciones anteriores para $u$ y $dv$ resuelven exitosamente la integral original en un solo paso. Pero si hubiésemos hecho una elección diferente como la siguiente:

$& \text{Choose:} && u=\sin x \qquad dv=xdx \\& \text{Form:} && du=\cos xdx \quad v=\frac{x^2}{2} \\& \text{Evaluate:} && \int x \sin x dx = ( \sin x ) \left ( \frac{x^2}{2} \right ) - \int \frac{x^2}{2} \cos x dx \quad \ldots \text{The new integral is more complicated! STOP!}$

Como puedes ver, ¡la nueva integral es peor que la inicial! Esto nos indica que nos hemos equivocado en elegir y debemos cambiar (en este caso intercambiar) nuestras elecciones para $u$ y $dv$ .

A continuación se muestra una pauta más específica para escoger $u$ , llamada regla LIATE. Aunque no es 100% precisa, la regla sirve de guía.

Regla LIATE: Pauta para seleccionar $u$

Cualquier función que aparezca primero en la siguiente lista debe ser $u$ :

$L =$ Logaritmos (p. ej., $\ln x, \log_b x$ )

$I =$ Inversas trigonométricas (p. ej., $\arctan x, \text{arcsec } x$ )

$A =$ Algebraica (p. ej., $x^2, 3x^{50}$ )

$T =$ Trigonométricas (p. ej., $\sin x, \tan x$ )

$E =$ Exponenciales (p. ej., $e^x , 19^x$ )

La función que ha de ser $dv$ aparece después en la lista, es decir, las funciones que se encuentran más abajo en la lista tienen antiderivadas más fáciles que las funciones de más arriba.

* Kasube, Herbert E. (1983). “A Technique for Integration by Parts”. The American Mathematical Monthly 90 (3): 210–211.

Ejemplo B

Calcula $\int xe^x dx$ .

Solución:

Nuevamente utilizamos la fórmula de integración por partes: $\int udv=uv-\int vdu$ .

$& \text{Choose:} && u=x \quad \ dv=e^xdx\\& \text{Form:} && du=dx \quad v=e^x\\& \text{Evaluate:} && \int xe^x dx=xe^x-\int e^x dx \quad \ldots \text{The new integral is simpler! CONTINUE!}\\& && \qquad \qquad =xe^x-e^x+C\\& && \qquad \qquad =(x-1)e^x+C$

Las elecciones anteriores para $u$ y $dv$ llevan a resolver exitósamente la integral original en un solo paso.

Nuevamente, si hubiésemos hecho una elección diferente como la siguiente:

$& \text{Choose:} && u=e^x \qquad dv=xdx\\& \text{Form:} && du=e^xdx \quad v=\frac{x^2}{2}\\& \text{Evaluate:} && \int x e^x dx=(e^x)\left(\frac{x^2}{2}\right)-\int \frac{x^2}{2}e^x dx \quad \ldots \text{The new integral is more complicated! STOP!}$

Como puedes ver, ¡la nueva integral es peor que la inicial! Lo anterior nos indica que nos hemos equivocado en elegir y debemos cambiar (en este caso intercambiar) nuestras elecciones para $u$ y $dv$ .

Ejemplo C

Calcula $\int \ln x dx$ .

Solución:

En este ejemplo, parece ser que sólo tenemos un término en el integrando, $\ln x$ , pero siempre podemos asumir que este término está siendo multiplicado por 1, es decir $\int \ln x \cdot 1 dx$ :

$& \text{Choose:} && u=\ln x \quad \ dv=1 dx\\& \text{Form:} && du=\frac{1}{x}dx \quad v=x\\& \text{Evaluate:} && \int \ln x dx=\ln x \cdot x-\int x \frac{1}{x}dx \quad \ldots \text{The new integral is simpler! CONTINUE!}\\& && \qquad \qquad =x \ln x-x+C\\& && \qquad \qquad =x(\ln x-1)+C$

Las elecciones anteriores para $u$ y $dv$ llevan a resolver exitósamente la integral original en un solo paso.

Análisis del Problema de la Sección

Para los siguientes dos ejemplos de $F(x)=f(x) g^\prime (x)$ , intenta escoger todas las combinaciones posibles de $f(x)$ y $g^\prime (x)$ luego determina las funciones $f(x)$ y $g^\prime (x)$ correspondientes:

1. $F(x)=x \sin x$

2. $F(x)=x^2 \sin x^2$

Solución:

1. $F(x)=x \sin x \Rightarrow$ (a) $f(x)=x, g^\prime (x)=\sin x; f^\prime (x)=1, g(x)=-\cos x$

(b) $f(x)=\sin x, g^\prime (x)=x; f^\prime (x)=\cos x, g(x)=\frac{x^2}{2}$

De las dos opciones, la selección de la opción (a) para $f(x)$ y $g^\prime(x)$ da como resultado la combinación $f(x)$ y $g^\prime (x)$ más sencilla. ¡Esto es lo que intentamos lograr!

2. $F(x)=x^2 \sin x^2 \Rightarrow$ (a) $f(x)=x^2, g^{\prime} (x)=\sin x^2 \Rightarrow f^{\prime} (x)=2x, g(x)=-\cos x^2$

(b) $f(x)=\sin x^2, g^\prime (x)=x^2 \Rightarrow f^\prime (x)=2x \cos x^2, g(x)=\frac{x^3}{3}$

(d) $f(x)=x \sin x^2, g^\prime (x)=x \Rightarrow f^\prime (x)=2x^2 \cos x^2, g(x)=\frac{x^2}{2}$

De las 4 opciones, la selección de la opción (c) para $f(x)$ y $g^\prime (x)$ da como resultado la combinación de $f(x)$ y $g^\prime (x)$ más sencilla. ¡Esto es lo que intentamos lograr!

Vocabulario

Integración por partes es un método de integración que utiliza la fórmula de reducción $\int udv=uv- \int vdu$ para transformar la integral de productos de funcionesen otra integral, con suerte, más simple. La norma se basa en la regla de diferenciación para el producto.

integración por partes en un paso consiste en utilizar la técnica de integración por partes una vez para lograr obtener una solución de la integral.

Práctica guiada

Calcula $\int x(x+7)^{\frac{3}{2}}dx$ .

Solución:

Aplicamos la fórmula de integración por partes: $\int udv=uv-\int vdu$ .

$& \text{Choose:} && u=x \quad \ dv=(x+7)^{\frac{3}{2}}dx\\& \text{Form:} && du=dx \quad v=\frac{2}{5}(x+7)^{\frac{5}{2}}\\& \text{Evaluate:} && \int x(x+7)^{\frac{3}{2}}dx=x \frac{2}{5}(x+7)^{\frac{5}{2}}-\int \frac{2}{5} (x+7)^{\frac{5}{2}} dx \quad \ldots \text{The new integral is simpler! CONTINUE!}\\& && \qquad \qquad \qquad \ \ =x \frac{2}{5} (x+7)^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{5} \frac{2}{7} (x+7)^{\frac{7}{2}}+C\\& && \qquad \qquad \qquad \ \ =\frac{2}{5}x(x+7)^{\frac{5}{2}}-\frac{4}{35}(x+7)^{\frac{7}{2}}+C$

Las elecciones anteriores para $u$ y $dv$ llevan a resolver exitósamente la integral original en un solo paso.

Práctica

Calcula las siguientes integrales utilizando la integración por partes. ( Observación: En algunos casos, puede que tengas que utilizar el método de sustitución $u$ junto con la técnica de integración por partes.)

$\int 3 xe^x dx$
$\int (3-2x)e^{4x}dx$
$\int \ln (3x+2)dx$
$\int 4x \cos 5x dx$
$\int \theta \sin \theta d \theta$
$\int 2x \ln (3x) dx$
$\int x^4 \ln x dx$
$\int x \sqrt{5x-2}dx$
$\int\limits^e_1 \frac{\ln x}{x^3}dx$
$\int \frac{x^3}{(x^2+2)^2}dx$
$\int\limits^3_1 \ln (x+1)dx$
$\int \sin^{-1} \theta d \theta$
$\int \tan^{-1}dx$
$\int x^5 \cos (x^3)$
$\int 3(x+2) \cos x \sin x dx$

Integración por partes: Resolución en un sólo paso

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