Integración por partes: Resolución en múltiples pasos

Objetivos

En esta Sección, aprenderás a calcular integrales aplicando la técnica de integración por partes más de una vez para poder obtener una solución.

Concepto

En la Sección anterior, aprendiste que “aplicar una vez” la técnica de integración por partes puede ser suficiente para resolver una integral. En muchas integrales, se necesitará aplicar más de una vez esta técnica antes de poder obtener un resultado. ¿Cuántas veces se tendrá que aplicar la técnica de integración por partes para calcular la integral $\int x^2 \sin 5xdx$ ?

Mira Esto

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*Este video sólo se encuentra disponible en inglés.

http://www.youtube.com/watch?v=3sixUIgfa5w - James Sousa - Ex 6: Integration by Parts Twice

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http://www.youtube.com/watch?v=p_z6vkdyqMc - James Sousa - Ex: Integration by Parts Twice Application

Orientación

En la Sección anterior, se utilizó la técnica de integración por partes para transformar una integral “difícil” en una “más fácil” de resolver mediante el siguiente procedimiento:

Integración por partes

Problema: Calcula la integral “difícil” $\int F(x)dx = \int f(x)g^\prime(x) dx$ .

Solución posible: Transforma $\int f(x)g^{\prime}(x)dx$ a la forma $\int udv = uv -\int vdu$ con la elección correcta para $u=f(x)$ y $dv=g^{\prime}(x)dx$ que hace que $\int vdu$ sea más fácil de calcular que $\int udv$ .

Guía: 1. Escoge $dv$ para que sea la parte más complicada del integrando que se ajusta a una fórmula de integración básica. Escoge $u$ para que sea la parte restante en el integrando.

2. Escoge $u$ para que sea la parte del integrando cuya derivada es más sencilla que $u$ . Escoge $dv$ para que sea el término restante.

En los ejemplos que revisamos, sólo fue suficiente aplicar una vez la técnica de integración por partes (a veces en conjunto con la técnica de sustitución $u$ ) para encontrar una solución analítica.

Por ejemplo, se calculó la integral $\int x\sin xdx$ en un solo paso de la siguiente manera:

$& \text{Use:} && \int udv = uv -\int vdu .\\& \text{Choose:} && u=x \qquad \ dv= \sin xdx\\& \text{Form:} && du=dx \qquad v=-\cos x \\& \text{Evaluate:} && \int x\sin xdx = -x\cos x-\int (-\cos x) dx \quad \ldots \text{The new integral is simpler! CONTINUE!}\\& && \qquad \qquad \quad \ =- x \cos x + \sin x +C \qquad \quad \ldots \text{One pass}$

Sin embargo, en algunas integrales se necesita aplicar más veces la técnica de integración por partes.

Ejemplo A

Calcula $\int (\ln x)^2 dx$ .

Solución:

En este ejemplo, parece ser que sólo tenemos un término en el integrando, $(\ln x)^2$ , pero siempre podemos asumir que este término está siendo multiplicado por 1, es decir, $\int (\ln x)^2 \cdot 1dx$ :

$& \text{Use:} && \int udv = uv - \int vdu. \qquad \qquad \qquad \quad \ldots \text{Pass 1}\\& \text{Choose:} && u = (\ln x)^2 \qquad \ dv = 1dx\\& \text{Form:} && du = 2 \frac{1}{x}\ln xdx \quad v=x \\& \text{Evaluate:} && \int (\ln x)^2 dx =x(\ln x)^2 -\int 2x \frac{1}{x} \ln xdx \\& && \qquad \qquad \quad =x(\ln x)^2 - 2 \int \ln xdx \quad \ldots \text{The new integral is simpler, but requires}\\& && \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{more work! Try another iteration.}$

$& \text{Use:} && \int udv= uv - \int vdu. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots \text{Pass 2}\\& \text{Choose:} && u= \ln x \quad \ dv = 1dx\\& \text{Form:} && du = \frac{1}{x} dx \quad v=x\\& \text{Evaluate:} && \int (\ln x)^2 dx= x(\ln x)^2 -2 [x \ln x-\int\frac{1}{x} xdx] \\& && \qquad \qquad \quad \ =x(\ln x)^2 -2 [x\ln x - \int dx] \quad \ldots \text{The new integral is simpler and can be evaluated.}\\& && \qquad \qquad \quad \ =x(\ln x)^2 - 2[x\ln x-x]+C\\& && \ \int (\ln x)^2 dx = x [(\ln x)^2 -2 \ln x-2]+C\\$

Fue necesario aplicar dos veces la integración por partes en $\int (\ln x)^2 dx$ antes de poder obtener una solución satisfactoria.

Ejemplo B

Calcula $\int x^2 e^x dx$ .

Solución:

$& \text{Use:} && \int udv = uv -\int vdu. \qquad \qquad \ \ \ldots \text{Pass 1}\\& \text{Choose:} && u=x^2 \qquad dv=e^x dx\\& \text{Form:} && du = 2 xdx \quad v=e^x\\& \text{Evaluate:} && \int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2e^x xdx \quad \ldots \text{The new integral is simpler, but}\\& && \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{requires more work! Try another iteration.}$

Como puedes ver, la integral $\int 2e^x xdx$ es más simple que la integral original $\int x^2 e^x dx$ .

Esto nos indica que hemos hecho la elección correcta. Sin embargo, para calcular $\int 2e^x xdx$ nuevamente aplicamos la integración por partes.

$& \text{Use:} && \int udv = uv - \int vdu. \qquad \qquad \ \ldots \text{Pass 2}\\& \text{Choose:} && u=2x \quad \ \ dv = e^x dx \\& \text{Form:} && du = 2dx \quad v=e^x\\& \text{Evaluate:} && \int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2e^x xdx \quad \ldots \text{The new integral is simpler, and can be evaluated.}\\& && \qquad \qquad \ = x^2 e^x - [2x e^x - \int 2e^x dx]\\& && \qquad \qquad \ = x^2 e^x -[2xe^x - 2e^x]+C \\& && \int x^2 e^x dx = [x^2 - 2x +2]e^x +C$

El método de integración por partes que hemos utilizado recién para calcular $\int x^2 e^x dx$ funciona para cualquier integral con la forma $\int x^n e^x dx$ , donde $n$ es un entero positivo $\ge 2$ . Entre mayor sea el valor de $n$ , más veces se necesitará aplicar la técnica. En situaciones como éstas, es mejor organizar los cálculos para reducir la cantidad de trabajo tedioso y evitar cometer errores impredecibles. La técnica de integración por partes en forma tabular puede ayudarnos con lo anterior.

Integración por partes en forma tabular

La técnica de integración en forma tabular te permite aplicar integraciones por partes sucesivas en integrales con la forma

$\int P(x) Q(x) dx$ , donde $u=p(x)$ y $dv=Q(x) dx$

sin tener que lidiar con un monton de detalles algebraicos que pueden demorar el proceso de resolución.

A continuación encontrarás un ejemplo de cómo puede ser utilizada.

Ejemplo C

Calcula $\int x^3 e^x dx$ utilizando la integración en forma tabular.

Solución:

Comienza por dejar $u=x^3$ y $dv=e^x dx$ .

Luego crea una tabla con tres columnas como la que se muestra a continuación:

**Integración por partes en forma tabular**
Signos alternados	$u=P(x)$ y sus derivadas	$dv[Q(x)]$ y sus antiderivadas
+	$x^3 \searrow$	$e^x$
-	$3x^2 \searrow$	$e^x$
+	$6x\searrow$	$e^x$
-	$6 \searrow$	$e^x$
+	0	$e^x$

La solución para el integral será la suma de los términos generados al realizar los siguientes pasos:

(1) 1er término: Toma el signo de la primera fila $(+1)$ ; multiplícalo por el factor $u$ de la 1a fila $(x^3)$ y luego multiplica por el factor $dv$ de la 2 ^a fila $(e^x)$ (observa la dirección de las flechas)

1 ^er término: $x^3e^x$

(2) 2 ^o término: Toma el signo de la 2a fila (-1); multiplícalo por el factor $u$ de la 2ª fila $(3x^2)$ y luego sigue la flecha para multiplicar el producto por el factor $dv$ en la 3 ^a fila $(e^x)$ .

2 ^o término: $-3x^2 e^x$

(3) 3 ^er término: Toma el signo de la 3 ^a fila (+1); multiplícalo por el factor $u$ de la 3 ^a fila $(6x)$ y luego sigue la flecha para multiplicar el producto por el factor $dv$ de la 4 ^a fila $(e^x)$ .

3 ^er término: $6xe^x$

(4) 4 ^o término: Toma el signo de la 4 ^a fila (-1): multiplícalo por el factor $u$ de la 4 ^a fila $(6)$ y luego sigue la flecha para multiplicar el producto por el factor $dv$ en la 5 ^a fila $(e^x)$ .

4 ^o término: $-6e^x$

(5) Detente*, ya que $u=0$ .

La solución es la suma de los términos:

$\int x^3 e^x dx = x^3 e^x -3x^2 e^x + 6xe^x - 6e^x +C=(x^3-3x^2+6x-6)e^x + C$

*Notas sobre el uso de la integración en forma tabular

La técnica permite aplicar integraciones por partes en integrales con la forma

$\int P(x)Q(x) dx$ , donde $u=P(x)$ y $dv=Q(x) dx$ .

Si $P(x)$ es un polinomio, como en el ejemplo anterior, entonces sólo habrá una cantidad finita de términos que sumar ya que una derivada de $u=P(x)$ llegará eventualmente a 0.

Análisis del Problema de la Sección

¿Cuántas veces se necesitará aplicar la técnica de integración por partes para calcular la integral $\int x^2 \sin 5xdx$ ?

¿Pudiste aplicar los pasos necesarios para la integración por partes? Es necesario aplicar dos veces la técnica para calcular la integral; la respuesta es la siguiente:

$\int x^2 \sin 5xdx = -\frac{1}{5} x^2 \cos 5x+\frac{2}{25} x\sin 5x + \frac{2}{125} \cos 5x +C$

Vocabulario

Integración por partes es un método de integración que utiliza la fórmula de reducción $\int udv = uv - \int vdu$ para transformar la integral de productos de funciones, con suerte, en otra integral más simple. La norma se basa en la regla de diferenciación para el producto.

Integración por partes en múltiples pasos se refiere a la necesidad de utilizar la técnica de integración por partes más de una vez para lograr obtener una solución de la integral.

Integración por partes en forma tabular es un procedimiento mecánico para aplicar la integración por partes en el que se utiliza una tabla con el fin de reducir el número de expresiones que se deben escribir.

Práctica guiada

Problema 1:

Calcula $\int x^2 \sin 3xdx$ utilizando la integración en forma tabular.

Solución:

Comienza por dejar $u=x^2$ y $dv=\sin 3xdx$ .

Luego crea una tabla con tres columnas como la siguiente:

**Integración por partes en forma tabular**
Signos alternados	$u$ y sus derivadas	$dv$ y sus antiderivadas
+	$x^2\searrow$	$\sin 3x$
-	$2x\searrow$	$-\frac{\cos 3x}{3}$
+	$2\searrow$	$-\frac{\sin 3x}{9}$
-	0	$\frac{\cos 3x}{27}$

La solución para el integral será la suma de los términos generados al realizar los siguientes pasos:

(1) 1er término: Toma el signo de la 1a fila (+1); multiplícalo por el factor $u$ de la 1ra fila $(x^2)$ y luego multiplica por el factor $dv$ de la 2 ^a fila $\left(-\frac{\cos 3x}{3}\right)$ (observa la dirección de las flechas).

1 ^er término: $x^2 \left(-\frac{\cos 3x}{3}\right)$

(2) 2 ^o término: Toma el signo de la 2a fila (-1): multiplícalo por el factor $u$ de la 2ª fila $(2x)$ y luego sigue la flecha para multiplicar el producto por el factor $dv$ de la 3 ^a fila $\left(-\frac{\sin 3x}{9}\right)$ .

2 ^o término: $-2x\left(-\frac{\sin 3x}{9}\right)$

Suma este término con el término anterior.

(3) 3 ^er término: Toma el signo de la 3 ^a fila (+1); multiplícalo por el factor $u$ de la 3 ^a fila $(2)$ y luego sigue la flecha para multiplicar el producto por el factor $dv$ en la 4 ^a fila $\left(\frac{\cos 3x}{27}\right)$ .

3 ^er término: $2 \left(\frac{\cos 3x}{27}\right)$

Suma este término con el término anterior.

(4) Detente cuando $u=0$ .

La solución es la suma de los términos:

$\int x^2 \sin 3xdx=\frac{-1}{3}x^2 \cos 3x +\frac{2}{9}x \sin 3x +\frac{2}{27}\cos 3x + C$

Problema 2:

Calcula $\int (\ln x)^3 dx$ utilizando la integración por partes

Solución:

En este ejemplo, parece ser que sólo tenemos un término en el integrando, $(\ln x)^3$ , pero siempre podemos asumir que este término está siendo multiplicado por 1, es decir, $\int (\ln x)^3 \cdot 1dx$ :

$& \text{Use:} && \int udv =uv - \int vdu. \qquad \qquad \ldots \text{Pass 1}\\& \text{Choose:} && u= (\ln x)^3 \qquad \quad \ dv=1 dx\\& \text{Form:} && du = 3 \frac{1}{x}(\ln x)^2 dx \quad v=x \\& \text{Evaluate:} && \int (\ln x)^3 dx= x(\ln x)^3 - \int 3x \frac{1}{x}(\ln x)^2 dx\\& && \qquad \qquad \quad =x(\ln x)^3 -3 \int(\ln x)^2 dx \qquad \ldots \text{The new integral is simpler, but requires}\\& && \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{more work! Try another iteration.}$

A partir del Ejemplo A de más arriba, sabemos que para calcular $\int (\ln x)^2 dx$ se necesita aplicar la integración por partes dos veces antes de obtener la solución.

$\int (\ln x)^2 dx = x[(\ln x)^2-2\ln x-2]+C.$

Utilizando este resultado se obtiene

$\int (\ln x)^3 dx &= x(\ln x)^3 -3 \left(x[(\ln x)^2-2\ln x-2]+C\right)\\&=x[(\ln x)^3-3(\ln x)^2 + 6\ln x+6]+C$

Práctica

Calcula las siguientes integrales (1-8) utilizando la integración por partes. ( Observación: En algunos casos puede que tengas que utilizar el método de sustitución $u$ y la integración por partes).

1. $\int x(\ln x)^2 dx$

2. $\int x^2 e^{-x}dx$

3. $\int x^2 \sin 2 xdx$

4. $\int \theta^5 \cos (\theta^2)d \theta$ (Pista: Sustituye antes de aplicar la integración por partes).

5. $\int \sec^3 xdx$

6. $\int\limits_{0}^{1} (x^2 + 3)e^{-2x} dx$

7. $\int \frac{(\ln x)^2}{x} dx$

8. $\int\limits_{0}^{1}x^2 e^x dx$

9. Utiliza la integración por partes para demostrar que $\int (\ln x)^n dx= x (\ln x)^n-n \int(\ln x)^{n-1}dx$

Utiliza el método de integración por partes en forma tabular para calcular las integrales (10-15):

10. $\int x^2 e^{5x}dx$

11. $\int \frac{x^2+3}{\sqrt[3]{3x+7}}dx$

12. $\int\limits_{0}^{1} x^2 e^{-x}dx$

13. $\int (y^2 -3y-7)e^y dy$

14. $\int x^4 e^{-3x}dx$

15. $\int (x^3 +4x^2 +3) \sin 2 xdx$

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